2021年河北省中考数学真题含详解

2021年河北省中考数学真题含详解

姓名：班级：考号：

一、选择题（共16题）

1、如图，已知四条线段。，b,c,d中的一条与挡板另一侧的线段活在同一直线上,

请借助直尺判断该线段是（）

A.&B.b

C.CD.d

2、不一定相等的一组是（）

A.a+B与i+aB.3a与a+a+a

C.a?与ay.aD.31。+切与2a+b

3、已知。>3则一定有-4a口-45,“W”中应填的符号是（）

A.>B.<

C.>D.=

4、与J?二落/结果相同的是（）.

A.3-2+1B.3+2-1

C.3+2+1D.3-2-1

3_6

4~5

5,能与相加得0的是（)

_3_663

A.-4-5B.54

6336

—一+一—一+一

C.54D.45

6、一个骰子相对两面的点数之和为7,它的展开图如图，下列判断正确的是（)

A.A代表：：B.8代表

C.C代表.8代表：：

7、如图1,aABCD^,AD>AB,乙48c为锐角.要在对角线直）上找点V,M,

使四边形画加为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案（）

D

8

阳

取8。中点O,作作ANLBD于N,作/N,CA/分别平

BN=NO,OM=MDCW18。于M分NB/1D,NBCD

图2

A.甲、乙、丙都是B.只有甲、乙才是

C.只有甲、丙才是D.只有乙、丙才是

8、图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时

液面工3=（）

图1图2

A.1cmB.2cm

C.3cmD.4cm

9、若仍取1.442，计算出-3%-98掂的结果是（）

A.-100B.-144.2

C.144.2D.-0.01442

10、如图，点。为正六边形对角线如上一点，S5=8,S"）o=2,则

SJE衣边力ASCDFF的值是（）

A.20B.30

C.40D.随点。位置而变化

11、如图，将数轴上-6与6两点间的线段六等分，这五个等分点所对应数依次为外,町,

%,4,“5,则下列正确的是（）

a\。24

—66

A,%>0B.M=M

Q+«2+以3+«4+45=0口々2+以5<0

12、如图，直线？，切相交于点。.尸为这两直线外一点，且。尸=2.8.若点F关于

直线？，M的对称点分别是点耳，鸟，则6,舄之间的距离可能是（）

Ip2

A.OB.5

C.6D.7

13、定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.

已知：如图，乙48是的外角.

求证：ZACD=ZA+ZB.

A

D

证法1：如图.

VZJ+Z5+Z4Cfi=180°（三角形内角和定理），

又•••乙〃'£>+△4（3=180°（平角定义），

：.ZACD+ZACB=4+NB+乙CB（等量代换）.

/.ZJCD=ZJ+ZZ/（等式性质）.

k）

证法2：如图，

VZJ=76°,N8=59°,

且N/C3=135°（量角器测量所得），

又mS。=76。+59。（计算所得）.

/.ZJCD=ZJ+Zfi（等后代换）.

k）

下列说法正确的是（）

A.证法1还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整

B.证法1用严谨的推理证明了该定理

C.证法2用特殊到一般法证明了该定理

D.证法2只要测量够一百个三角形进行验证，就能证明该定理

14、小明调查了本班每位同学最喜欢的颜色，并绘制了不完整的扇形图1及条形图2（柱

的高度从高到低排列）.条形图不小心被撕了一块，图2中“（）”应填的颜色

是（）

A.蓝B.粉

C.黄D.红

fill_11A=—1

15、由（2+c2）值的正负可以比较2+c与万的大小，下列正确的是（）

>1=工上W—

A.当，=-2时，加.当c=0时，2

„1„1

A>一4<一

c.当c<一2时，2D.当C<0时，2

16、如图，等腰印。8中，顶角=40°,用尺规按①到④的步骤操作:

①以。为圆心，OA为半径画圆;

②在上任取一点P（不与点A,8重合），连接AP.

③作A5的垂直平分线与。。交于M,N；

④作收的垂直平分线与0。交于名，F.

结论I:顺次连接M,S,N,尸四点必能得到矩形;

结论II：。。上只有唯一的点P,使得s扇形曲=$扇用加.

对于结论I和H,下列判断正确的是()

A.I和II都对B.I和II都不对

C.I不对II对D.I对II不对

二、解答题(共7题)

1、某书店新进了一批图书，甲、乙两种书的进价分别为4元/本、10元/本.现购进

根本甲种书和花本乙种书，共付款0元.

(1)用含搐，”的代数式表示Q；

(2)若共购进5x10’本甲种书及3x103本乙种书，用科学记数法表示0的值.

2、已知训练场球筐中有A、B两种品牌的乒乓球共101个，设A品牌乒乓球有x个.

(1)淇淇说：“筐里B品牌球是A品牌球的两倍.”嘉嘉根据她的说法列出了方程:

101-x=2x.请用嘉嘉所列方程分析淇淇的说法是否正确；

(2)据工作人员透露：8品牌球比A品牌球至少多28个，试通过列不等式的方法说明

A品牌球最多有几个.

3、某博物馆展厅的俯视示意图如图1所示，嘉淇进入展厅后开始自由参观，每走到一个十

字道口，她自己可能直行，也可能向左转或向右转，且这三种可能性均相同.

北

八

--►东

嘉淇出入口

图1

树状图:

下T口

结果朝向西

图2

（1）求嘉淇走到十字道口A向北走的概率；

（2）补全图2的树状图，并分析嘉淇经过两个十字道口后向哪个方向参观的概率较大.

4、下图是某机场监控屏显示两飞机的飞行图象，1号指挥机（看成点F）始终以3km/min

的速度在离地面5km高的上空匀速向右飞行，2号试飞机（看成点0）一直保持在1号

机F的正下方,2号机从原点。处沿45。仰角爬升，到4km高的A处便立刻转为水

平飞行，再过1mm到达8处开始沿直线8C降落，要求Imin后到达C（lO，3i处.

高度人（km）

2)求8c的也关于$的函数解析式,并预计2号机着陆点的坐标;

（3）通过计算说明两机距离产。不超过3km的时长是多少.

（注：（1）及（2）中不必写$的取值范围）

5、如图，。。的半径为6,将该圆周12等分后得到表盘模型，其中整钟点为4（%为

ri2的整数），过点片作。。的切线交441延长线于点P.

(2)连接A4i,则和尸4有什么特殊位置关系？请简要说明理由;

(3)求切线长尸4的值.

6、下图是某同学正在设计的一动画示意图，X轴上依次有A,0,儿三个点，且工。=2,

在加上方有五个台阶痣〜四(各拐角均为90。)，每个台阶的高、宽分别是1和1.5,

台阶看到x轴距离。乂=10.从点A处向右上方沿抛物线Z：丁=-/+必+12发出一个

带光的点

(1)求点A的横坐标，且在图中补画出丁轴，并直接指出点F会落在哪个台阶上；

(2)当点F落到台阶上后立即弹起，又形成了另一条与£形状相同的抛物线且最

大高度为11，求©的解析式，并说明其对称轴是否与台阶四有交点；

(3)在x轴上从左到右有两点D,E,且DE=\,从点后向上作演_Lx轴，且

BE=2.在ABDE沿x轴左右平移时，必须保证(2)中沿抛物线C下落的点P能落在

边BD(包括端点)上，则点B横坐标的最大值比最小值大多少？

(注：(2)中不必写x的取值范围)

7、在一平面内，线段上8=20,线段BC=CD=DA=W,将这四条线段顺次首尾相接.把

A3固定，让皿绕点A从A5开始逆时针旋转角到某一位置时，BC,8将

会跟随出现到相应的位置.

(1)论证如图1,当血”B。时，设力8与C3交于点。，求证：49=10；

(2)发现当旋转角a=60。时，/4DC的度数可能是多少？

(3)尝试取线段8的中点M,当点取与点B距离最大时，求点心到的距

离；

(4)拓展①如图2,设点。与B的距离为d,若NRCZ)的平分线所在直线交A9于

点尸，直接写出夕尸的长(用含d的式子表示)；

②当点C在工8下方，且心与垂直时，直接写出a的余弦值.

1、现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片(边长如图).

（1）取甲、乙纸片各1块，其面积和为

（2）嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片4块,

还需取丙纸片块.

2、下图是可调躺椅示意图（数据如图），工后与员0的交点为。，且NE,BB,保

持不变.为了舒适，需调整的大小，使^.EFD=UO°,则图中NZ）应（填

“增加”或“减少”）度.

=也

3、用绘图软件绘制双曲线幽：」二工与动直线八丁=”,且交于一点，图1为。=8时

的视窗情形.

(1)当a=15时，，与相的交点坐标为；

(2)视窗的大小不变，但其可视范围可以变化，且变化前后原点。始终在视窗中心.例

如，为在视窗中看到(1)中的交点，可将图1中坐标系的单位长度变为原来的万，其

可视范围就由-15«xW15及-10=丁工10变成了-30KxM30及-20经工20(如图

2).当。=-1.2和a=-L5时，，与制的交点分别是点A和B,为能看到摘在力和8

工

之间的一整段图象，需要将图1中坐标系的单位长度至少变为原来的k,则整数

k=

=参考答案:

一、选择题

1、A

【分析】

根据直线的特征，经过两点有一直线并且只有一条直线即可判断.

【详解】

解：设线段m与挡板的交点为A,a、b、c、d与挡板的交点分别为B,C,D,

E,

连结AB、AC>AD、AE,

根据直线的特征经过两点有且只有一条直线，

利用直尺可确定线段a与勿在同一直线上，

故选择A.

【点睛】

本题考查直线的特征，掌握直线的特征是解题关键.

2、D

【分析】

分别根据加法交换律、合并同类项、同底数幕的乘法以及去括号法则计算各项后，再进行判

断即可得到结论.

【详解】

解：A.a+b=b+a,故选项A不符合题意;

B.a+a+a=3a,故选项6不符合题意；

C.aaSR、故选项。不符合题意；

D.3（。+刀=弘+劭=3a+,故选项。符合题意，

故选：D.

【点睛】

此题主要考查了加法交换律、合并同类项、同底数累的乘法以及去括号法则，熟练掌握相关

运算法则是解答此题的关键.

3、B

【分析】

直接运用不等式的性质3进行解答即可.

【详解】

解：将不等式两边同乘以-4,不等号的方向改变得-4a〈-劭，

“W”中应填的符号是“，

故选：B.

【点睛】

此题主要考查了不等式的基本性质3：不等式的两边同乘以（或除以）同一个负数，不等号

的方向改变，熟练掌握不等式的基本性质是解答此题的关键.

4、A

【分析】

根据有理数运算和二次根式的性质计算，即可得到答案.

【详解】

V32-22-l2=j9-4-1=2

•;3-2+1=2,且选项B、C、D的运算结果分别为：4.6.0

故选：A.

【点睛】

本题考查了二次根式、有理数运算的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式、含乘方的有理

数混合运算的性质，即可得到答案.

5、C

【分析】

利用加法与减法互为逆运算，将o减去U即可得到对应答案，也可以利用相反数的

性质，直接得到能与14相加得0的是它的相反数即可.

【详解】

3636\3663

=O+==+

-----------一

0—454574554

解：方法一：

方法二：145)的相反数为145).

故选：C.

【点睛】

本题考查了有理数的运算和相反数的性质，解决本题的关键是理解相关概念，并能灵活运用

它们解决问题，本题侧重学生对数学符号的理解，计算过程中学生应注意符号的改变.

6、A

【分析】

根据正方体展开图的对面，逐项判断即可.

【详解】

解：由正方体展开图可知，A的对面点数是1；B的对面点数是2；C的对面点数是4；

•••骰子相对两面的点数之和为7,

・•

...A代表：：，

故选：A.

【点睛】

本题考查了正方体展开图，解题关键是明确正方体展开图中相对面间隔一个正方形，判断哪

两个面相对.

7、A

【分析】

甲方案：利用对角线互相平分得证；

乙方案：由^ABN^^CDM,可得BN=DM,即可得ON=0M,

再利用对角线互相平分得证；

丙方案：方法同乙方案.

【详解】

连接工交于点0

甲方案：二•四边形是平行四边形

AO=CO,BO=DO

,:BN=NOQM=MD

ON=OM

：.四边形为平行四边形.

乙方案:

•.•四边形45CZ）是平行四边形

/.AB=CD,ABHCD,AO=CO,BO=DO

乙ABN=4CDM

又-：ANLBD,CMLBD

AANB=^CMD

XAB仲X8M(AAS)

.­.BN=DM

'：BO=DO

ON=OM

.四边形wcw为平行四边形.

丙方案：

•.•四边形是平行四边形

.­.AB=CD,ABHCD,ABAD4BCD

&BN=4CDM

又...M,C舷分别平分/BAD,4BCD

-^BAD=-ZBCD

22,乙BAN=4DCN

..AABN^ACDM(ASA)

.­.BN=DM

'：BO=DO

ON=OM

：.四边形⑷1CM为平行四边形.

所以甲、乙、丙三种方案都可以.

故选A.

【点睛】

本题考查了平行四边的性质与判定，三角形全等的性质和判定，角平分线的概念等知识，能

正确的利用全等三角的证明得到线段相等，结合平行四边形的判定是解题关键.

8、C

【分析】

先求出两个高脚杯液体的高度，再通过三角形相似，建立其对应边的比与对应高的比相等的

关系，即可求出AB.

【详解】

解：由题可知，第一个高脚杯盛液体的高度为：15-7=8(cm),

第二个高脚杯盛液体的高度为：11-7=4(cm),

因为液面都是水平的，图1和图2中的高脚杯是同一个高脚杯，

所以图1和图2中的两个三角形相似，

AB_A

：.6~8,

AB=3(cm),

故选：C.

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是读懂题意，与图形建立关联，能灵

活运用相似三角形的判定得到相似三角形，并能运用其性质得到相应线段之间的关系等，本

题对学生的观察分析的能力有一定的要求.

9、B

【分析】

类比二次根式的计算，提取公因数，代入求值即可.

【详解】

=1.442

•.•册一炳-98卷=(1-3-98)出=-10昭

-100^=-144.2

故选B.

【点睛】

本题考查了根式的加减运算，类比二次根式的计算，提取系数，正确的计算是解题的关键.

10、B

【分析】

连接4。、AD、CF,与CF交于点"，可知"是正六边形石尸的中心，根

据矩形的性质求出S的=5,再求出正六边形面积即可.

【详解】

解：连接力。、AD.CF,与〃交于点〃，可知〃是正六边形命~底尸的中心,

•；多边形加8即是正六边形，

...AB=BC,4B=4BAF=120°,

AZBAC=30°,

AZFAC=90°,

同理，ZDCA=ZFDC=ZDFA=90°,

四边形ACDF是矩形,

；S定用血c=5

=/S箔形的c=10

SJEK边再的co即=6SZUJW=30,

故选：B.

【点睛】本题考查了正六边形的性质，解题关键是连接对角线，根据正六边形的面积公式求

解.

11、C

【分析】

根据题目中的条件，可以把"1，町，4，°4，分别求出来，即可判断.

【详解】

解：根据题意可求出：

以］二-4,盘2=-2,%=0,«4—2,0$--4

A,0=0,故选项错误，不符合题意；

B,㈤=4#|41=2,故选项错误，不符合题意；

C,，+%+。3+。4+牝=0,故选项正确，符合题意;

D,。2+%=2>0,故选项错误，不符合题意;

故选：c.

【点睛】

本题考查了等分点和实数与数轴上的点一一对应，解题的关键是：根据题意直接求出研,

%,4,%的值即可判断.

12、B

【分析】

连接凿，冏，。号尸&月鸟根据轴对称的性质和三角形三边关系可得结论.

【详解】

解：连接。月，时。月,时抽，如图，

•••耳是P关于直线1的对称点，

直线1是「耳的垂直平分线，

...Oy=OF=2.8

V片是P关于直线m的对称点,

直线m是理的垂直平分线，

...0月=。尸=2.8

当片。，与不在同一条直线上时，OPl-OP2<P^<0^+0^

即。〈月月<5.6

当召，。，巴在同一条直线上时，片舄=图+。2=5.6

故选：B

【点睛】

此题主要考查了轴对称变换，熟练掌握轴对称变换的性质是解答此题的关键

13、B

【分析】

根据三角形的内角和定理与平角的定义可判断力与6，利用理论与实践相结合可判断。与

D.

【详解】

解：/.证法1给出的证明过程是完整正确的，不需要分情况讨论，故A不符合题意；

8.证法1给出的证明过程是完整正确的，不需要分情况讨论，故选项8符合题意；

C.证法2用量角器度量两个内角和外角，只能验证该定理的正确性，用特殊到一般法证明

了该定理缺少理论证明过程，故选项。不符合题意；

。.证法2只要测量够一百个三角形进行验证，验证的正确性更高，就能证明该定理还需用

理论证明，故选项〃不符合题意.

故选择：B.

【点睛】

本题考查三角形外角的证明问题，命题的正确性需要严密推理证明，三角形外角分三种情形,

锐角、直角、和钝角，证明中应分类才严谨.

14、D

【分析】

根据同学最喜欢的颜色最少的是蓝色，可求出总人数，可求出喜欢红色的14人，则可知喜

欢粉色和黄色的人数分别为16人和15人，可知“（）”应填的颜色.

【详解】

解：同学最喜欢的颜色最少的是蓝色，有5人，占10%,5-10%=50（人），

喜欢红色的人数为50X28%=14（人），

喜欢红色和蓝色一共有14+5=19（人），

喜欢剩余两种颜色的人数为50-19=31（人），其中一种颜色的喜欢人数为16人，另一种

为15人，由柱的高度从高到低排列可得，第三条的人数为14人，“（）”应填

的颜色是红色；

故选：D.

【点睛】

本题考查了条形统计图和扇形统计图，解题关键是熟练准确从统计图中获取正确信息.

15、C

【分析】

jl+cl）jl+cl）1

先计算3的值，再根c的正负判断〔2+C3的正负，再判断A与万的大小即

可.

【详解】

l+c1_C

解：2+c24+2c,

当c=-2口寸，2+c=0A无意义，故A选项错误，不符合题意;

当c=0时，而；=°,'=故6选项错误，不符合题意;

—^->0A>-

当c<-2时，4+2c2,故。选项正确，符合题意;

—^<0A<-c---->0A>-

当—2<c<0时，4+2c2；当时，4+2c,2,故〃选项错误,

不符合题意;

故选：c.

【点睛】

本题考查了分式的运算和比较大小，解题关键是熟练运用分式运算法则进行计算，根据结果

进行准确判断.

16、D

【分析】

I、根据“弦的垂直平分线经过圆心”，可证四边形MENF的形状；

II、在确定点P的过程中，看ZMOF=40°是否唯一即可.

【详解】

,:MN是AB的垂直平分线，EF是AP的垂直平分线，

•••"V和好'都经过圆心0,线段助V和EF是。。的直径.

，OM=ON,OE=OF.

四边形MENF是平行四边形.

线段MN是。。的直径，

AZ»=90°.

，平行四边形MENF是矩形.

，结论I正确；

II、如图2,当点尸在直线MV左侧且AP=时，

AP=AB,

=AP.

■:MN工AB,EFA.AP,

/一”-1WfY-J1s,

AE=-AP,AN=-AB.

22

/.AE=AN.

AAOE=AAON=-AAOB=20\

2

：.£EON=40°.

/MOF=』EON=4V.

,/扇形明/与扇形物8的半径、圆心角度数都分别相等，

与再0fM=与再&3.

如图3,当点。在直线MN右侧且第=月8时，

同理可证：*扇影FOW=%%AOB.

*a•结论II错误.

故选：D

【点睛】

本题考查了圆的有关性质、矩形的判定、扇形面积等知识点，熟知圆的有关性质、矩形的判

定方法及扇形面积公式是解题的关键.

二、解答题

1、(1)0=4幽+10%

(2)0=2.3x105

【分析】

(1)进根本甲种书和花本乙种书共付款为2种书的总价，用单价乘以数量即可；

(2)将书的数量代入(1)中结论，求解，最后用科学记数法表示.

【详解】

(1)。=4冽+10加

(2)vw=5xl04,«=3xl03

g=4x5xl04+10x3xl03

=20xl04+3xl04=23xl04=2.3xl05

所以Q=2.3xl05.

【点睛】

本题考查了列代数式，科学记数法，塞的计算，正确的理解题意根据实际问题列出代数式,

正确的用科学计数法表示出结果是解题的关键.

2、(1)不正确；(2)36

【分析】

(1)解方程，得到方程的解不是整数，不符合题意，因此判定淇淇说法不正确；

(2)根据题意列出不等式，解不等式即可得到A品牌球的数量最大值.

【详解】

101

X=--

解：(1)101-x=2x,解得：3,不是整数，因此不符合题意；

所以淇淇的说法不正确.

(2)A品牌球有x个，B品牌球比A品牌球至少多28个，

101-x-x>28,

解得：x<36.5,

・；x是整数，

/.x的最大值为36,

：.A品牌球最多有36个.

【点睛】

本题考查了一元一次方程和一元一次不等式的应用，解决本题的关键是能根据题意列出方程

或不等式，并结合实际情况，对它们的解或解集进行判断，得出结论；本题数量关系较明显,

因此考查了学生的基本功.

3、(1)3,(2)嘉淇经过两个十字道口后向西参观的概率较大.

【分析】

(1)嘉淇走到十字道口A一共有三种可能，向北只有一种可能，根据概率公式求解即可;

(2)根据树状图的画法补全树状图，再根据向哪个方向出现的次数求概率即可.

【详解】

解：(1)嘉淇走到十字道口A一共有三种可能，向北只有一种可能，嘉淇走到十字道口

J

A向北走的概率为3；

(2)补全树状图如图所示：

结果朝向西南北南东西北西东

3

1_2

9-

嘉淇经过两个十字道口后共有9种可能，向西的概率为:3；向南的概率为9；向北的

22

概率为9.向东的概率为9；嘉淇经过两个十字道口后向西参观的概率较大.

【点睛】

本题考查了概率的应用，解题关键是根据题意准确画出树状图，正确进行求解判断.

”U

4、(1)h=s,3亚(km/min)(2)33,3min

【分析】

(1)根据图象分析得知，解析式为正比例函数，根据角度判断k值，即可求得.

(2)根据5、C两点坐标，待定系数法求表达式即可，着陆点令人=0,求解即可.

(3)根据点0的位置，观察图象，找到满足题意的范围，分类讨论计算即可.

【详解】

解：(1)设线段OA所在直线的函数解析式为：力=左式左*0)

V2号机从原点。处沿45。仰角爬升

k=s

1_4

又VI号机飞到A点正上方的时候，飞行时间一3(min)

va==3V2

A2号机的飞行速度为：3(km/min)

(2)设线段回所在直线的函数表达式为：％=

V2号机水平飞行时间为,同时1号机的水平飞行为1/nin,

点B的横坐标为：4+3=7；点B的纵坐标为：4，即即7,4i,

将8（7,4i,C（10,3|代入力=用S+仅修。0）中，得:

%+3=4

[10显+5=3

b=—

解得：I3

令4=0,解得：s=19

.••2号机的着陆点坐标为(1%°)

t>z_5-3_2

(3)当点Q在OA时，要保证产QV3,则：2—一3一一3.

当点。在A5上时，，此时产0=1,满足题意，时长为1(min)；

c11913

2=——s+—t、=—

当点0在8c上时，令33,解得：s=13,此时23(min),

132=11

当尸时，时长为：(min)

【点睛】

本题考查变量之间的关系、待定系数法求一次函数解析式，根据实际问题，数形结合讨论是

解题的关键.

5、(1)劣弧更长;

(2)441和尸4互相垂直，理由见解析；

(3)3=12栏.

【分析】

(1)分别求出劣弧和直径的长，比较大小；

(2)连接4、4,4、41,求出乙5414=90°,即可得出垂直的位置关系;

(3)根据圆的知识求出乙餐44=60°,又尸4是o。的切线，利用三角函数求解即可.

【详解】

=—X2TTX6=47r

(1）劣弧12

直径2r=12,

因为4k>12,故劣弧更长.

(2)如下图所示连接4、4,4、41,由图可知44是直径,

.4,对应的圆周角S4M=90°

441和F4互相垂直.

114

Z^1M4=±Z4O4=±X—X360心60。

(3)如上图所示，211212

...尸4是OO的切线

...294=90°,

•£^=44=12xg=12出

【点睛】

本题考查了圆的基本性质、特殊角的三角函数的基本知识.半圆(或直径)所对的圆周角是

直角.在同圆或等圆中同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对圆心角的一半.

6、(1)以一2,0),见解析，点尸会落在％的台阶上；(2)丁=一(“-7)2+11,其

对称轴与台阶四有交点；(3)如-2.

【分析】

(1)二次函数与坐标轴的交点坐标可以直接算出，根据点A的坐标可以确定丁轴，利用

函数的性质可以判断落在那个台阶上；

(2)利用二次函数图象的平移来求解抛物线。，再根据函数的对称轴的值来判断是否与

台阶《有交点；

(3)抓住二次函数图象不变，是后在左右平移，要求点B横坐标的最大值比最小值

大多少，利用临界点法，可以确定什么时候横坐标最大，什么时候横坐标最小，从而得解.

【详解】

解：(1)当『=0,-X2+4X+12=0,

解得：X=TX=6,

:力在左侧，力(-2,0),

x—____2

"=-/+4为+12关于一五一对称,

轴与饭重合，如下图：

由题意在坐标轴上标出相关信息，

当y=7时，—一+4X+12=7,

解得：x=-l,x=5,

V4.5<5<6,

；•点P会落在岂的台阶上，坐标为凡5,7）,

（2）设将抛物线L,向下平移5个单位，向右平移。的单位后与抛物线C重合，则抛

物线C的解析式为：丁=_（-2_4+11,

由（1）知，抛物线C过时7）,将R5,7）代入y=-（x-2-4+11,

7=-(3-a)2+ll,

解得：a=5,a=l（舍去，因为是对称轴左边的部分过RW））,

2

抛物线C：y=-（x-7）+ll>

一

•••y=-（x-7）2+ll关于'一五一，且6<7<7.5,

..其对称轴与台阶看有交点.

（3）由题意知，当&BDE沿x轴左右平移，恰使抛物线C下落的点F过点Q时，此时

点B的横坐标值最大；

当7=0,一（彳-7y+11=0,

解得：狗=7+曰，电=7-TH（取舍），

故点E的横坐标最大值为：8+JiI,

当沿X轴左右平移，恰使抛物线c下落的点P过点B时，此时点B的横坐标值最

小；

当y=2,-（—―7）2+11=2,

解得：再=10,%=4（舍去），

故点8的横坐标最小值为：10,

则点B横坐标的最大值比最小值大：8+JH-10=而-2,

故答案是：如-2.

【点睛】

本题综合性考查了二次函数的解析式的求法及图象的性质，图象平移，抛物线的对称轴，解

题的关键是：熟练掌握二次函数解析式的求法及图象的性质，通过已知的函数求解平移后函

数的解析式.

15vB20d2

7、(1)证明见解析；(2)60。或120°;(3)8；(4)①黯+300；②

5+中

8.

【分析】

(1)先根据平行线的性质可得乙=再根据三角形全等的判定定理与性质

可得AO=BO,由此即可得证；

(2)分如图(见解析)所示的两种情况，先根据等边三角形的判定与性质可得

荻=40=10,乙4即=/业困=60。，再根据菱形的判定与性质可得ABHCD,然后根据平行

线的性质、角的和差即可得；

(3)先根据三角形的三边关系可得当点3，C,舷共线时，如取得最大值，再画出图形(见

解析)，利用勾股定理求出§民)的长，然后求出sinB的值，最后在氐中，解直

角三角形即可得；

OB=-,CPLBD

(4)①如图(见解析)，先根据等腰三角形的三线合一可得2,再同

(3)的方法可求出房的长，然后证出t£OP~t£ED,根据相似三角形的性质即可得；

②如图(见解析)，只需考虑。<&<90。的情形，先利用勾股定理可得工C=10④，再同

(3)的方法可求出松加总的长，从而可得口的长，然后证出4A3YQE,根据相

似三角形的性质和0。+©。=©。=10可求出49的长，最后根据余弦三角函数的定义即可

得.

【详解】

证明：（1）VADIIBC,

zL4=Z5,ZD=ZC

'4i=NB

<AD=BC

在△工8和ABOC中，1N0=NC,

:.^OD=^BOC(ASA\

:.AO=BO,

■：AO+BO=AB=20,

\AO=10.

(2)由题意，由以下两种情况：

AE=BE=-AB=W

①如图，取A5的中点E,连接DE,则2

•拉?=松=10,乙4=a=60。，

V工是等边三角形，

DE=AD=10,ZAED=ZADE=60°

DE-DC—BC—BE=10,

四边形RC3E是菱形，

ABUCD,

匕CDE=&ED=60°,

ZADC=ZADE+ACDE=60°+60°=120°.»

②如图，当点C与工8的中点£重合，

D

则AD=AC=DC=W,

是等边三角形，

ZADC=60°,

综上，N4DC的度数为60。或120。；

(3)如图，连接BM,

•••BC=W,CM=-CD=5

2,

BM<BC+CM=15,当且仅当点尻C"共线时，等号成立,

如图，过点3作》_1力8于点E,过点M作朋曾于点N,则MZ即为所求,

D

A

■：BC=CD=\0,CM=5t

BD=BC+CD=20,BM=BC+CM=15

设AE=x,则BE=20—x,

■-AD2-AE2=DE2=BD2-BE2,

2222

10-x=20-(20-x)t

5

x=—

解得2,

35/屈E二等

BE=20-x=—

2,

5后

DE2

SL_

在RUBDE41,—BD208,

g=8财sina=15x姮=1^1

在RCNBMN中,88,

15VB

即当点肠与点B距离最大时，点取到的距离为一§一

(4)①如图，连接BD交C尸于点。，过点D作DE1力B于点S,

c

•:BC=CD,CP平分乙BCD,BD=d,

OB=OD=-BD=-

22,CPLBD（等腰三角形的三线合一），

设BE=y,则超=20-乙

AD2-AE2=DE2=BD2-BE2,

・1O2_QO_»=屋_y

/+300疗/+30。

y=----------BE=----------

解得40，即40,

Z5OP=ZB£Z)=90°

在ZiB。尸和小班中，\^OBP=AEBD

..h,BOP~hBED,

d

BP_万

BP_OB~T=。+3oo

~BD~JE,即一4CT

解得人需3；

②•••初中阶段没有学习钝角的余弦值，且38,

只需考虑。°<&<90。的情形,

如图，设为8与8交于点。，过点C作于点E,连接AC,

■：AD=CD=\Q,AD1CD

AC=立存+3=10立，

设BE=a,贝ijAS=20—a,

vAC2-AE2=CE2=BC2-BE2,

：.(10何-(20-4)2=102-1

_15

解得“=*,

1525

BE=—,AE=20-a=—

22,

CE=<5C2-5£2=邛

25

EO=--b

设AO=b,则2

乙AOD=4C0E

在△力。Z）和ACO£中,ND=NO£C=90。

nA.OD~4cOE,

8_DO_10

.AO_DO_AD近一纪_J南

CO~~EO~CE,即2,

8=®d0=瞰币-4回

解得47,

•：CO+DO=CD=\d,

,回、50々-46_]o

,200-40"

b=--------------

解得9,

/…AD105+、

cosa=COSZLMC?==-------------=-=-----

AO200-4。/8

则?

【点睛】

本题考查了菱形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股

定理、解直角三角形等知识点，较难的是题（4）,正确画