2021年河北省唐山市路南区中考数学二模试卷（解析版）

2021年河北省唐山市路南区中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共16小题，共42分，1-10小题各3分，11-16小题各2分.在每小题给

出的四个选项中，只有-项是符合题目要求的）

1.已知2X/n=l,则机表示数（）

A.—B.'C.2D.-2

22

2.以下问题，不适合全面调查的是（）

A.调查和一新冠肺炎感染者密切接触人群

B.调查我市中学生心理健康现状

C.检测长征运载火箭的零部件质量情况

D.调查某中学在职教师的身体健康状况

3.如图，直线/〃加，将三角形aABC（NA8C=45°）的直角顶点C放在直线机上，若N

1=20°,则N2的度数为（）

Cm

A.20°B.25°C.30°D.35°

4.一个整数815550-0用科学记数法表示为8.1555X1O10,则原数中“0”的个数为（）

A.4B.6C.7D.10

5.一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个图形是（）

A/\B匚1

D

cOC

6.语句“x的5与x的和超过2”可以表示为（）

A.5+乂42B.-^-+x>2C.菅+xK*2D.3+X>2

000X

7.根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功地找到三角形内心的是（）

X

8.对于46叙述正确的是（）

A.〃个"5相加B.16个〃相加C.〃个16相乘D.〃个16相加

9.如图为大众汽车的图标,是轴对称图形，则下列关于对称轴条数的说法中，正确的是（）

A.有无数条B.有4条C.有2条D.有1条

21

10.若x为正整数,则计算三二的结果是（）

xx+1

A.正整数B.负整数C.非负整数D.非正整数

11.如图是某几何体的三视图及相关数据，下列各式中正确的是)

D.b>c

12.如图，已知动点A,8分别在x轴，y轴正半轴上，动点P在反比例函数y=［（x>0）

X

图象上，PALx轴，当点A的横坐标逐渐增大时，△PA8的面积将会（)

B.越来越大

C.不变D.先变大后变小

13.如图，某停车场入口的栏杆AB,从水平位置绕点0旋转到4'B'的位置，已知A。的

长为4米.若栏杆的旋转角/AOA，=a,则栏杆A端升高的高度为（）

C-4米

A.B.4sina米D.4cosa米

14.如图，在AABC中，ZB=90°,AB=BC=20,三个全等的正方形的对称中心分别是

△ABC的顶点，且它们各边与△48C的两直角边平行或垂直，若正方形的边长为x,且0

<xW20,阴影部分的面积为y,则能反映y与x之间函数关系的大致图象是（）

15.小刚在解关于x的方程G?+bx+c=o（a#0）时，只抄对了。=2,c=l,解出其中一个

根是X=1.他核对时发现所抄的b比原方程的b值小1.则原方程的根的情况是()

A.不存在实数根B.有两个不相等的实数根

C.有另一个根是x=-lD.有两个相等的实数根

16.将矩形ABC。绕点A顺时针旋转a(0°<a<360°),得到矩形AEFG.当GC=GB

时，下列针对a值的说法正确的是()

A.60°或300°B.60°或330°C.30°D.60°

二、填空题(本大题共3个小题；17-18题3分，19题每空2分，共10分.把答案写在题中

横线上.)

17.已知&X4=4,则"=.

18.如图所示，以0ABec的顶点4为圆心，AB为半径作圆，交4。，BC于E,F,延长54

19.如图，在平面直角坐标系中，己知A(1,0),以线段为边在第四象限内作等边△

AOB,点C为x轴正半轴上一动点(OC>1),连接8C,以线段8c为边在第四象限内

作等边△CB。，连结D4并延长，交y轴于点E.则

(1)/。£4=°.

(2)当以A,E,C为顶点的三角形是等腰三角形时，点C的坐标为

三、简答题（本大题有7个小题，共68分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算

步骤）

20.如图，数轴上a、b.c三个数所对应的点分别为A、B、C,已知方=1,A与8距离2

个单位，C与8距离6个单位.

（1）①直接写出数c的值；②求代数式。2+加-2必的值；

（2）若将数轴折叠，使得点A与点C重合，求与点8重合的点表示的数.

-------•-----*■

ABC

21.小明到某水果店购买苹果和梨，他发现一人购买1千克苹果和2千克梨共花费了26元,

另一人购买2千克苹果和1千克梨共花费了22元.

（1）妈妈给小明带了20元钱，想购买1千克苹果和1千克梨，小明带的钱够用吗？说

明理由；

（2）到家后妈妈给小明出了一道题：如果给你带100元钱，①当购买草果和梨的重量相

等时，最多能够买多少千克苹果？（千克只取整数）②当购买苹果的重量是梨的重量的2

倍时，最多能够买多少千克苹果？（千克只取整数）

22.某小区为了改善生态环境，促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为三类：厨余、可

回收和其他，分别记为〃、氏c,并且设置了相应的垃圾箱，分别贴上“厨余垃圾”、“可

回收物”和“其他垃圾”，分别记为A,B,C.

（1）若将三类垃圾随机投入三类垃圾箱，请用画树状图或列表的方法求垃圾投放正确的

概率；

（2）为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该小区三类垃圾箱中总共10吨

生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：

ABC

a30.81.2

b0.240.32.46

c0.320.281.4

试估计“可回收垃圾”投放正确的概率.

(3)该小区所在城市每天大约产生500吨生活垃圾，根据以上信息，试估算其中“可回

收垃圾”每天投放正确的有多少吨？

23.甲、乙两个工程队同时开始维修某段路面，一段时间后，乙队被调往别处，甲队又用了

3小时完成了剩余的维修任务，已知甲队每小时维修路面的长度保持不变，乙队每小时维

修路面50米，甲、乙两队在此路段的维修总长度y(米)与维修时间x(时)之间的函

数图象如图所示.

(1)乙队调离时，甲、乙两队已完成的维修长度为米；

(2)求甲队每小时维修路面多少米？

(3)求乙队调离后y与x之间的函数关系式.

24.如图，在中，AB是直径，点。是。0上一点，且/2。。=60°,过点。作。。的

切线CD交AB延长线于点C,E为弧AO的中点，连接。E、EB,EB与OD交于点Q.

(1)求证：EB//CD-,

(2)已知图中阴影部分面积为6亿

①求OO的半径r；

②直接写出图中阴影部分的周长.

25.如图中曲线是抛物线的一部分，我们建立如图所示的平面直角坐标系，04=1.5,抛物

线最高点的坐标为(1,2).

(1)①求图中曲线对应的函数关系式；

②求自变量x的取值范围；

(2)图中曲线与x轴交点的坐标为；

(3)若抛物线形状不变，将其平移后仍过A点，且与x轴正半轴交于点B,0B=5,求

平移后抛物线的最大高度是多少？

A

26.如图，已知在RtZiA8C中，NABC=90°,tanZCAB=—.动点M以每秒2

3

个单位的速度，从点A出发，沿着4~8-C的方向运动，当点M到达点C时，运动停

止.点N是点M的关于点B的对称点，过点M作4c于点。，以MN,MQ为边

作。MNPQ,设点M的运动时间为f秒.

(1)求的长；

(2)分别求当t=2和f=5时，线段的长;

(3)是否存在这样的，值，使得。MNPQ为菱形？若存在，请求出f的值；若不存在，

请说明理由；

(4)作点P关于直线MQ的对称点P',当点P'落在AABC内部时，请直接写出t的取值

范围.

备用图

参考答案

一、选择题（本大题共16小题，共42分，1-10小题各3分，11-16小题各2分.在每小题给

出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.已知2X机=1,则机表示数（）

A.—B.」C.2D.-2

22

【分析】根据已知方程求出机的值即可.

解：方程2Xm=l,

解得：加=

则m表示的数为

故选：A.

2.以下问题，不适合全面调查的是（）

A.调查和一新冠肺炎感染者密切接触人群

B.调查我市中学生心理健康现状

C.检测长征运载火箭的零部件质量情况

D.调查某中学在职教师的身体健康状况

【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调

查得到的调查结果比较近似判断即可.

解：A.调查和一新冠肺炎感染者密切接触人群，适合全面调查，故本选项不合题意；

B.调查我市中学生心理健康现状，适合抽样调查，故本选项符合题意；

C.检测长征运载火箭的零部件质量情况，适合全面调查，故本选项不合题意；

D.调查某中学在职教师的身体健康状况，适合全面调查，故本选项不合题意；

故选：B.

3.如图，直线/〃〃?，将三角形AABC（NABC=45°）的直角顶点C放在直线小上，若/

1=20°,则/2的度数为（）

A.20°B.25°C.30°D.35°

【分析】过点3作直线.由平行线的性质和判定，可得到Nl、N2、N3、N4、Z

A8C间关系，利用角的和差关系计算可得结论.

解：过点8作直线〃〃/.

AZ3=Z2,Z1=Z4.

VZABC=45°,Zl=20°,

：.Z3=ZABC-Z4

=45°-20°

=25°.

AZ2=25°.

故选：B.

4.一个整数815550…0用科学记数法表示为8.1555X107则原数中“0”的个数为（）

A.4B.6C.7D.10

【分析】把8.1555X101。写成不用科学记数法表示的原数的形式即可得.

解：・・・8.1555义IO］。表示的原数为81555000000,

・・・原数中“0”的个数为6,

故选：B.

5.一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个图形是（）

B.口

A.

c.D.

【分析】利用多边形的外角和以及多边形的内角和定理即可解决问题.

解：•.•多边形的外角和是360度，多边形的内角和是外角和的2倍，

...内角和是720度，

720+180+2=6（边），

,这个多边形的边数为6.

故选：D.

6.语句“x的5与x的和超过2”可以表示为（）

A.春+x《2B.看+x>2C.看+x>2D.3+X>2

333x

【分析】根据“X的5与X的和超过2”，即可得出关于x的一元一次不等式，此题得解.

解：依题意得：^x+x>2.

故选：B.

7.根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功地找到三角形内心的是（）

【分析】利用基本作图和三角形内心的定义进行判断.

解：三角形内心为三角形内角平分线的交点，选项B中作了两个角的平分线.

故选：B.

8.对于加6叙述正确的是（）

A.〃个"5相加B.16个“相加C.〃个16相乘D.”个16相加

【分析】根据有理数的乘方解决此题.

n个

解：'*>16_15,J15..*15'

n-n*n-n+…+n

二”16表示n个"15相加.

故选：A.

9.如图为大众汽车的图标,是轴对称图形，则下列关于对称轴条数的说法中，正确的是（）

A.有无数条B.有4条C.有2条D.有1条

【分析】根据轴对称图形的概念求解.如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分

能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说

这个图形关于这条直线（成轴）对称.

解：该图案只有1条纵向的对称轴.

故选：D.

10.若X为正整数，则计算三2二L1.二-的结果是（）

xx+1

A.正整数B.负整数C.非负整数D.非正整数

【分析】根据分式的加减运算法则、乘除运算法则进行化简即可求出答案

21

解：原式

x+1

_（x+1）（x-1）

x+1

=X-1,

当且为整数时，

x-l20且为整数，

故选：C.

11.如图是某几何体的三视图及相关数据，下列各式中正确的是（

la

主视图左视图俯视图

A.a>cB.a2-^-b2=c2C.4a2+b2=c2D.b>c

【分析】根据圆锥的母线、圆锥的底面半径及圆锥的高组成直角三角形可以解答.

解：；圆锥的母线长为C,圆锥的高为乩圆锥的底面半径为a,

且圆锥的母线、圆锥的底面半径及圆锥的高组成直角三角形，

•••根据勾股定理得：“2+〃=c2,

故选：B.

12.如图，已知动点A,8分别在x轴，y轴正半轴上，动点尸在反比例函数产［(x>0)

x

图象上，PALx轴，当点4的横坐标逐渐增大时，的面积将会()

A.越来越小B.越来越大

C.不变D.先变大后变小

【分析】设点P(x,—)(x>0),过点8作8CLPA可得BC=OA=x,根据S“AS

X

——PA*BC———-•x~—")可得出结果.

22x2

解：如图，过点B作BC_LPA于点C,

则BC=OA,

设点P(x,—)(x>0),

x

则S^PAB=-^-PA*»—“乂二!，

22x2

当点A的横坐标逐渐增大时，SAPAB不变，始终等于

故选：C.

13.如图，某停车场入口的栏杆A8,从水平位置绕点。旋转到4'B'的位置，已知A。的

长为4米.若栏杆的旋转角/AOA，=a,则栏杆A端升高的高度为（）

琛5

3,

B.4sina米D.4cosa米

【分析】过点4'作A'C_LAB于点C,根据锐角三角函数的定义即可求出答案.

解：过点A'作4'CL48于点C,

由题意可知：A'。=4。=4,

.".A'C=4sina,

故选：B.

\\B'

14.如图，在aABC中，ZB=90°,AB=BC=20,三个全等的正方形的对称中心分别是

△ABC的顶点，且它们各边与△A8C的两直角边平行或垂直，若正方形的边长为x,且0

<xW20,阴影部分的面积为y,则能反映y与x之间函数关系的大致图象是（）

积，继而即可得出y与x的关系，得出答案.

解：根据题意，可知阴影部分由2个全等三角形和一个正方形组成，

122

其中三角形的面积=±xv=x=v=W—,正方形的面积=三一

22284

222

.•.阴影部分的面积=2义三-耳=工(04W20)；

842

与x之间函数关系的大致图象如图C所示.

故选：C.

15.小刚在解关于x的方程ax2+6x+c=0(aWO)时，只抄对了4=2,c=l,解出其中一个

根是x=1.他核对时发现所抄的b比原方程的b值小I.则原方程的根的情况是()

A.不存在实数根B.有两个不相等的实数根

C.有另一个根是x=-lD.有两个相等的实数根

【分析】利用根与系数的关系求出所抄方程的b的值为-3,则原方程的b的值为-2,

所以原方程为2x2-2x+1=0,然后计算判别式的值，从而得到方程根的情况.

解：根据题意得x=l为方程2/+以+1=0的一个根，

设此方程的另一根为7,则l+f=-㈢，lXt=《，

22

解得b=-3,

即所抄的人的值为-3,

所以原方程的〃的值为-2,

则原方程为2X2-2X+1=0,

因为△=(-2)2-4X2=-4<0,

所以原方程没有实数解.

故选：A.

16.将矩形ABCD绕点A顺时针旋转a(0°<a<360°),得到矩形AEFG.当GC=GB

时，下列针对a值的说法正确的是()

A.60°或300°B.60°或330°C.30°D.60°

【分析】当GC=GB时，点G在BC的垂直平分线上，分两种情况讨论，依据/D4G=

60°,即可得到旋转角a的度数.

解：如图1,当GC=G8时，点G在BC的垂直平分线上，

分两种情况讨论：

①当点G在A力右侧时，取BC的中点H,连接G"交AC于M,连接拉G,

'：GC=GB,

.".GH1BC,

二四边形A8HM是矩形，

：.AM=BH=—AD=—AG,

22

垂直平分A£),

；.GD=GA=DA,

ZVIOG是等边三角形，

AZDAG=60a,

旋转角a=60°；

②当点G在AO左侧时，如图2,同理可得△AOG是等边三角形,

图2

...NZMG=60°,

旋转角a=360°-60°=300°.

综上，a的度数为60°或300°；

故选：A.

二、填空题(本大题共3个小题；17-18题3分，19题每空2分，共10分.把答案写在题中

横线上.)

17.已知则九=2

【分析】根据二次根式的乘法运算法则即可求出答案.

解：由题意可知：V8Xn=^/16-

・18n=16,

，〃=2,

故答案为：2.

18.如图所示，以。4BCC的顶点A为圆心，AB为半径作圆，交AO,BC于E,F,延长54

当N0=60。时，NGFE=30°.

【分析】先根据平行四边形的性质和平行线的性质得到/GAO=NQ=60°,然后根据

圆周角定理求解.

解：：四边形ABCC为平行四边形,

C.AB//CD,

，NGA£)=NO=60°,

AZGFE=—ZGAE=—X60Q=30。.

22

故答案为30.

19.如图，在平面直角坐标系中，已知A(1,0),以线段为边在第四象限内作等边△

A08,点C为x轴正半轴上一动点(OC>1),连接BC,以线段BC为边在第四象限内

作等边△C8D,连结D4并延长，交)，轴于点£则

(1)ZOEA=30°.

(2)当以A,E,C为顶点的三角形是等腰三角形时，点C的坐标为(3,0).

【分析】（1）由“SAS”可证△OBCZA4BQ,可得NBOC=NBA£>=6（T,即可求解;

（2）由直角三角形的性质可求AE=4,由等腰三角形的性质可求AE=AC=2,即可求解.

解：（1）♦.•△A8O和△CB。都是等边三角形，

；.OB=4B,CB=BD,NABO=/CBD=60°,

:.NOBC=NABD,

在△OBC和△A8O中，

'OB=AB

<ZOBC=ZABD-

BC=BD

:.△OBgXABD（SAS）,

：.ZBOC=ZBAD=GOa,

：.ZOAE=60°,

：/AOE=90°,

/.ZOEA=30°,

故答案为：30；

（2）VZAEO=30°,

：.AE=2OA=2,

VZEAC=ZOAD=ZOAB+ZBAD=120°,

只有当AE=AC=2时，ZV1EC为等腰三角形，

...OC=3,

.•.点C（3,0）,

故答案为：（3,0）.

三、简答题（本大题有7个小题，共68分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算

步骤）

20.如图，数轴上。、b.c三个数所对应的点分别为A、B、C,己知6=1,A与B距离2

个单位，C与8距离6个单位.

（1）①直接写出数八c的值；②求代数式a2+/-2必的值；

（2）若将数轴折叠，使得点A与点C重合，求与点B重合的点表示的数.

-------------------------------------------A

ABC

【分析】（1）①根据数轴和8=1,A与8距离2个单位，C与B距离6个单位，可以写

出。、c的值；

②将①中。、b的值代入所求式子〃+岳一2",计算即可；

（2）根据题意，可以先计算线段AC的中点表示的数，即可得到与点8重合的点表示的

数.

解：（1）①由数轴可得，a<b<c,

：匕=1,A与B距离2个单位，C与8距离6个单位，

・•.〃=1-2=-1,1+6=7；

②由①知，a=-1,b=L

...理+6-2ab=（a-b）』（-1-1）』（-2）』4；

（2）Va=-1,c=7,

线段AC的中点所表示的数为

，与点8重合的点表示的数为3X2-1=5,

即与点B重合的点表示的数是5.

21.小明到某水果店购买苹果和梨，他发现一人购买1千克苹果和2千克梨共花费了26元,

另一人购买2千克苹果和1千克梨共花费了22元.

（1）妈妈给小明带了20元钱，想购买1千克苹果和1千克梨，小明带的钱够用吗？说

明理由；

（2）到家后妈妈给小明出了一道题：如果给你带10（）元钱，①当购买草果和梨的重量相

等时，最多能够买多少千克苹果？（千克只取整数）②当购买苹果的重量是梨的重量的2

倍时，最多能够买多少千克苹果？（千克只取整数）

【分析】（1）设1千克苹果的价格为x元，1千克梨的价格为y元，根据“购买1千克

苹果和2千克梨共花费了26元，购买2千克苹果和1千克梨共花费了22元”，即可得

出关于x,y的二元一次方程组，解之即可得出x,y的值，再将其代入（x+y）中可求出

购买1千克苹果和1千克梨所需费用，将其与20比较后可得出小明带的钱够用；

（2）①设可以购买“千克苹果，则购买加千克梨，利用总价=单价X数量，结合总价

不超过100元，即可得出关于，”的一元一次不等式，解之即可得出，"的取值范围，再结

合，”为正整数，即可得出最多能够买6千克苹果；

②设可以购买〃千克苹果，则购买■〃千克梨，利用总价=单价X数量，结合总价不超过

100元，即可得出关于〃的一元一次不等式，解之即可得出〃的取值范围，再结合"，

均为正整数，即可得出最多能够买8千克苹果.

解：（1）小明带的钱够用，理由如下：

设I千克苹果的价格为x元，I千克梨的价格为y元，

x+2y=26

依题意得:

2x+v=22

x=6

解得:

y=10

.,.x+y=6+10=16.

V20>16,

•••小明带的钱够用.

（2）①设可以购买加千克苹果，则购买机千克梨,

依题意得：6〃?+10mW100,

解得：“we],

又•••加为正整数,

m的最大值为6.

答：最多能够买6千克苹果.

②设可以购买"千克苹果，则购买千克梨，

依题意得：6n+10X—n^lOO,

2

解得：

又•••〃，《〃均为正整数，

2

••.〃的最大值为8.

答：最多能够买8千克苹果.

22.某小区为了改善生态环境，促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为三类：厨余、可

回收和其他，分别记为。、氏c,并且设置了相应的垃圾箱，分别贴上“厨余垃圾”、“可

回收物”和“其他垃圾”，分别记为A,B,C.

（1）若将三类垃圾随机投入三类垃圾箱，请用画树状图或列表的方法求垃圾投放正确的

概率；

（2）为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该小区三类垃圾箱中总共10吨

生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：

ABC

a30.81.2

h0.240.32.46

c0.320.281.4

试估计“可回收垃圾”投放正确的概率.

（3）该小区所在城市每天大约产生500吨生活垃圾，根据以上信息，试估算其中“可回

收垃圾”每天投放正确的有多少吨？

【分析】（1）画树状图得出所有等可能的情况数，找出垃圾投放正确的情况数，即可求

出所求的概率.

（2）根据概率公式计算即可：

（3）用每天大约产生生活垃圾500吨乘以“可回收垃圾”所占的概率即可得到答案.

解：（1）列树状图如下：

Ab

所有等可能的情况数有6种,其中垃圾投放正确的有1种,

...垃圾投放正确的概率为

6

(2)“可回收垃圾”投放正确的概率为0.3_1

0.24+2.46+0.3-l0

“可回收垃圾”每天投放正确的有500X匹亚第&^X±=15（吨）.

(3)

1010

23.甲、乙两个工程队同时开始维修某段路面，一段时间后，乙队被调往别处，甲队又用了

3小时完成了剩余的维修任务，已知甲队每小时维修路面的长度保持不变，乙队每小时维

修路面50米，甲、乙两队在此路段的维修总长度y（米）与维修时间x（时）之间的函

数图象如图所示.

（1）乙队调离时，甲、乙两队已完成的维修长度为270米:

（2）求甲队每小时维修路面多少米？

（3）求乙队调离后y与x之间的函数关系式.

【分析】（1）根据图象解答即可;

（2）根据题意得出甲、乙两队每小时维修路面的总长度解答即可；

（3）设所求函数关系式），=履+从利用待定系数法解答即可.

解：（1）乙队调离时，甲、乙两队已完成的维修道路长度为270米,

故答案为：270；

(2)乙队调离之前，甲、乙两队每小时的维修总长度为等=90(米)，

；乙队每小时维修50米，

甲队每小时的维修长度为90-50=40米；

(3)由题意，用=270+40X3=390.

此次任务的维修总长度为390米.

，点5的坐标为(6,390),

设乙队调离后y与x之间的函数关系式为(AW0),

•.,图象经过点A(3,270),B(6,390),

.<f270=3k+b

•i390=6k+b'

解得：『=40,

lb=150

乙队离队后y与x之间的函数关系式为y=40x+150.

24.如图，在。。中，AB是直径，点。是。。上一点，且/2。。=60°,过点。作。。的

切线CD交AB延长线于点C,E为弧AO的中点，连接。E、EB,EB与OD交于点Q.

(1)求证：EB//CD.

(2)已知图中阴影部分面积为6亿

①求。O的半径r；

②直接写出图中阴影部分的周长.

【分析】(1)根据切线的性质得出求出ODLBE,再根据平行线的判定得出

即可；

(2)①求出△EOD是等边三角形，根据等边三角形的性质得出£>E=OQ=O8,ZEDQ

=60°=NBOD,根据全等三角形的判定得出△EQO丝△8QO,求出S"QD=SABQ。，求

出阴影部分的面积=扇形BOD的面积，再求出半径即可；

②解直角三角形求出BQ,根据垂径定理求出BE,根据弧长公式求出弧BD的长，再求

出答案即可.

【解答】(1)证明：连接OE,

；C£>是。。的切线，

A0D1CD,即NO£>C=90°,

是。。的直径，NBOD=60°,E为众的中点,

ZEOD=60°=NBOD,

•：OE=OB,

：.OD1BE,

'：OD1DC,

：.EB//CD,

(2)解：①•.•/E00=60。，OE=OD,

.•.△EO。是等边三角形，

:.DE=OD=OB,ZEDQ=60a--ZBOD,

在△EQO和△BQ。中，

zZEDQ=ZB0Q

<ZEQD=ZBQ0-

DE=OB

：./\EQD^/\BQOCAAS),

••SAEQD=SGKQO,

.•.阴影部分的面积=扇形BOD的面积，

:图中阴影部分面积为6n,

2

,,6QKXQB=6Tr,

360

解得：OB=6,

即。。的半径是6；

②；OB=6,ZBOD=60°,Z006=90°,

OQ=-^OB=-^X6=3,

BQ=JOB2-OQ2=^6^3^=3«,

\'OD±BE,0。过O,

:.EQ=BQ=3班,

:,BE=6M，

人BD的的」长/曰是60―兀丽X一6=20m

,:DE=0B=6,

,阴影部分的周长是8E+QE+曲的长=6«+6+2n.

25.如图中曲线是抛物线的一部分，我们建立如图所示的平面直角坐标系，0A=1.5,抛物

线最高点的坐标为（1,2）.

（1）①求图中曲线对应的函数关系式；

②求自变量x的取值范围；

（2）图中曲线与x轴交点的坐标为（3,0）；

（3）若抛物线形状不变，将其平移后仍过4点，且与x轴正半轴交于点B,。8=5,求

平移后抛物线的最大高度是多少？

【分析】（I）①根据OA=1.5,抛物线最高点的坐标为（1,2）,可以得到点A的坐标,

设出抛物线的顶点式，再将点A的坐标代入，即可求得图中曲线对应的函数关系式;

②令y=0求出x的值，再对照图象，即可写出x的取值范围；

（2）根据（1）中②的结果，可以直接写出图中曲线与x轴交点的坐标；

（3）根据题意可以得到平移后a的值，再根据过点4和点8,即可求出抛物线的解析式,

然后化为顶点式，即可得到平移后抛物线的最大高度.

解：⑴OA=1.5,

...点A的坐标为（0,1.5）,

:抛物线最高点的坐标为（1,2）,

二设抛物线解析式为y=a（x-1）2+2,

•.•点A在此抛物线上，

A1.5=a(0-1)2+2,

解得〃=-《，

2

...图中曲线对应的函数关系式是)，=-](X-1)2+2：

②令-1(x-1)2+2=0,

2

解得加=-LX2=3,

・・・自变量x的取值范围是0<xW3；

(2)由(1)中的②可知，图中曲线与x轴交点的坐标为(3,0),

故答案为：(3,0)；

⑶：抛物线产-微(X-1)2+2中抛物线形状不变，将其平移后仍过点A

(0,1.5),

•••设平移后的抛物线解析式为y=-^bx+i.S,

；平移后的抛物线与x轴正半轴交于点B，08=5,

.•.点B(5,0),

.*.0=-2x52+56+1.5,

2

解得人=善，

5

平移后的抛物线解析式为尸-亲2+4+1.5=-A2+祟，

252525

.♦.平移后的抛物线的顶点坐标为(圣，擘)，

525

平移后抛物线的最大高度是饕.

25

A

26.如图，已知在RtZiA8C中，NABC=90°,AB=6,tanZCAB=—.动点M以每秒2

3

个单位的速度，从点A出发，沿着A-B-C的方向运动，当点M到达点C时，运动停

止.点N是点M的关于点B的对称点，过点M作MQLAC于点Q,以MN,V。为边

作。MNPQ,设点M的运动时间为/秒.

(1)求BC的长；

(2)分别求当1=2和f=5时，线段的长；

(3)是否存在这样的，值，使得。MNPQ为菱形？若存在，请求出f的值；若不存在，

请说明理由；

(4)作点P关于直线MQ的对称点P,,当点P落在△ABC内部时，请直接写出t的取值

范围.

备用图

【分析】(1)由锐角三角函数的定义即可得出答案；

(2)当f=2时，点M在线段48上，求出AM、8M即可得出结果；当r=5时，点M

在线段BC上，求出即可得出结果；

(3)①当点M在边AB上时，证明△AQMSAABC,得出整求出MQ=—t,

ACBC5

MV=2BM=12-4r,当MQ=MV时，即&■f=12-4f,解得餐国；

57

②当点M在边8C上时，证明△CMQsaCAB,得出粤=黑，求出例。=_|(14-2力，

ACAB