适用于新高考新教材广西专版2024届高考数学一轮总复习第八章立体几何与空间向量高考解答题专项四第2课时求空间角课件

第2课时求空间角高考解答题专项四考点一异面直线所成的角典例突破例1.如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是矩形,SA⊥平面ABCD,AD=SA=2,AB=1,点E是棱SD的中点.(1)证明:SC⊥AE;(2)求异面直线CE与BS所成角的余弦值.方法总结用向量法求异面直线所成角的步骤

对点训练1(2022安徽舒城中学模拟)如图,在多面体ABCDEF中,底面ABCD是正方形,AF∥DE,AF=AD=2DE,AF⊥底面ABCD.(1)证明:BD∥平面CEF;(2)求异面直线BD与CE所成角的余弦值.(1)证明如图①,连接AC,交BD于点M,取CF的中点N,连接MN,NE.又由AF∥DE,AF=2DE,所以MN∥DE,MN=DE,故四边形MNED是平行四边形,所以BD∥NE.又因为BD⊄平面CEF,NE⊂平面CEF,所以BD∥平面CEF.图①

(2)解以A点为坐标原点,建立空间直角坐标系如图②所示,图②

考点二直线与平面所成的角典例突破例2.(2022浙江,19)如图,已知ABCD和CDEF都是直角梯形,AB∥DC,DC∥EF,AB=5,DC=3,EF=1,∠BAD=∠CDE=60°,二面角F-DC-B的平面角为60°.设M,N分别为AE,BC的中点.(1)证明:FN⊥AD;(2)求直线BM与平面ADE所成角的正弦值.又CD⊥CF且CD⊥BC,∴∠BCF为二面角F-DC-B的平面角,∠BCF=60°,∴△BCF为等边三角形.又N为BC的中点,∴FN⊥BC.又CF⊂平面BCF,CB⊂平面BCF且CB∩CF=C,∴DC⊥平面BCF.又FN⊂平面BCF,∴FN⊥DC.又DC⊂平面ABCD,BC⊂平面ABCD且DC∩BC=C,∴FN⊥平面ABCD.又AD⊂平面ABCD,∴FN⊥AD.方法总结求直线与平面所成角的两种方法

对点训练2如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是正方形,AA1=2AB=2,E是DD1上的一点,且DE=.(1)求证:平面A1B1D⊥平面AEC;(2)求直线A1D与平面AEC所成角的正弦值.(1)证明

在长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1B1⊥平面AA1D1D.因为AE⊂平面AA1D1D,所以A1B1⊥AE.又因为A1D∩A1B1=A1,所以AE⊥平面A1B1D.因为AE⊂平面AEC,所以平面A1B1D⊥平面AEC.(2)解在长方体ABCD-A1B1C1D1中,DA,DC,DD1两两垂直,故以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.考点三二面角典例突破例3.在四棱锥Q-ABCD中,底面ABCD是正方形,若AD=2,QD=QA=,QC=3.(1)证明:平面QAD⊥平面ABCD;(2)求二面角B-QD-A的平面角的余弦值.(1)证明取AD的中点为O,连接QO,CO.因为QA=QD,OA=OD,则QO⊥AD.因为QC=3,则QC2=QO2+OC2,故△QOC为直角三角形,且QO⊥OC.因为OC∩AD=O,故QO⊥平面ABCD.因为QO⊂平面QAD,所以平面QAD⊥平面ABCD.(2)解在平面ABCD内,过点O作OT∥CD,交BC于点T,则OT⊥AD,由(1)知QO⊥平面ABCD,则以OT,OD,OQ所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图所示.则D(0,1,0),Q(0,0,2),B(2,-1,0),方法总结利用空间向量求二面角的两种常用方法

对点训练3(2022新高考Ⅰ,19)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1的体积为4,△A1BC的面积为2.(1)求A到平面A1BC的距离;(2)设D为A1C的中点,AA1=AB,平面A1BC⊥平面ABB1A1,求二面角A-BD-C的正弦值.(2)连接AB1交A1B于点E,如图.∵AA1=AB,∴AB1⊥A1B.又平面A1BC⊥平面ABB1A1,平面A1BC∩平面ABB1A1=A1B,∴AB1⊥平面A1BC.又BC⊂平面A1BC,∴BC⊥AB1,又BC⊥BB1,AB1,BB1⊂平