新教材2023-2024学年高中数学第六章导数及其应用6.1导数6.1.3基本初等函数的导数6.1.4求导法则及其应用课件新人教B版选择性必修第三册

第六章6.1.3基本初等函数的导数6.1.4求导法则及其应用课程标准1.熟记基本初等函数的导数公式,并能运用这些公式求基本初等函数的导数;2.掌握导数的运算法则,并能运用法则求复杂函数的导数;3.掌握复合函数的求导法则,会求复合函数的导数.基础落实·必备知识全过关重难探究·能力素养全提升成果验收·课堂达标检测目录索引

基础落实·必备知识全过关知识点1基本初等函数的求导公式C'=

,(xα)'=

,(ax)'=

,(logax)'=

,(sinx)'=

,(cosx)'=

.

名师点睛特殊函数的导数:(1)(ex)'=ex.0αxα-1

axlnacosx-sinxC2.已知f(x)=x2,则f'(3)=(

)A.0 B.2x

C.6

D.9C解析

f'(x)=2x,∴f'(3)=6.知识点2求导法则1.函数和(或差)的求导法则设f(x),g(x)是可导的,则[f(x)±g(x)]'=

.即两个函数之和(或差)的导数,等于这两个函数的

.

2.函数积的求导法则设f(x),g(x)是可导的,则[f(x)g(x)]'=

.即两个函数之积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数.

由上述法则立即可以得出[Cf(x)]'=Cf'(x).即常数与函数之积的导数,等于常数乘以

.

f'(x)±g'(x)导数之和(或差)f'(x)g(x)+f(x)g'(x)

函数的导数

3.函数的商的求导法则

=名师点睛正确理解函数的求导法则应注意以下几点:(1)两个函数和(差)的求导法则可以推广到若干个函数和(差)的情形:即[f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]'=f'1(x)±f'2(x)±…±f'n(x).(2)准确记忆公式形式,应注意:[f(x)g(x)]'≠f'(x)·g'(x)≠f'(x)g(x)-f(x)g'(x);过关自诊1.[2023河南三门峡灵宝校级月考]已知函数f(x)=3x+,则f'(1)=(

)A.1 B.2

C.3

D.4B2.[人教A版教材习题]已知函数f(x)=xlnx.(1)求这个函数的导数;(2)求这个函数的图象在点(1,0)处的切线方程.解(1)f'(x)=(xln

x)'=x'·ln

x+x(ln

x)'=ln

x+1.(2)因为k=f'(1)=ln

1+1=1,所以切线方程为y=x-1,即x-y-1=0.知识点3简单复合函数的求导法则一般地,如果函数y=f(u)与u=g(x)的复合函数为y=h(x)=f(g(x)),则可以证明,复合函数的导数h'(x)与f'(u),g'(x)之间的关系为h'(x)=[f(g(x))]'=f'(u)·g'(x)=f'(g(x))g'(x).这一结论也可以表示为y'x=y'uu'x.名师点睛复合函数求导的主要步骤是:(1)分解复合函数为基本初等函数,适当选取中间变量.(2)求每一层基本初等函数的导数.(3)每层函数求导后,需把中间变量转化为自变量的函数.过关自诊[北师大版教材例题]求函数y=的导数.u=φ(x)=3x+1复合而成的.由复合函数的求导法则,可得重难探究·能力素养全提升探究点一利用导数公式求函数的导数【例1】

求下列函数的导数:(4)∵y=5x,∴y'=5xln5.规律方法

简单函数求导的解题策略(1)若所求函数符合导数公式,则直接利用公式求解.(2)对于不能直接利用公式的类型,一般遵循“先化简,再求导”的基本原则,避免不必要的运算失误.(3)要特别注意“与ln

x”“ax与logax”“sin

x与cos

x”的导数区别.其中正确的有(

)A.0个

B.1个

C.2个

D.3个C(2)[人教A版教材习题]求下列函数在给定点的导数:①f(x)=x5在x=3处的导数;②f(x)=lnx在x=处的导数;③f(x)=sinx在x=2π处的导数;④f(x)=ex在x=0处的导数.解①因为f'(x)=5x4,所以f'(3)=5×34=405;③因为f'(x)=cos

x,所以f'(2π)=cos

2π=1;④因为f'(x)=ex,所以f'(0)=e0=1.探究点二利用导数的运算法则求导数【例2】

[人教A版教材习题]求下列函数的导数:(1)y=2x3-3x2-4;(2)y=3cosx+2x;(3)y=exlnx;解

y'=(2x3)'-(3x2)'-4'=6x2-6x;解

y'=(3cos

x)'+(2x)'=-3sin

x+2xln

2;(6)y=tanx.规律方法

运用导数求导法则求导的解题策略(1)对于函数求导问题,一般要遵循先化简再求导的基本原则.求导时,不但要重视求导法则的应用,而且要特别注意求导法则对求导的制约作用.在实施化简时,必须注意变换的等价性,避免不必要的运算错误.(2)若要求导的函数解析式与三角函数有关,往往需要先运用相关的三角公式对解析式进行化简与整理,然后套用公式求导.变式训练2[2023河南模拟]已知函数f(x)的导函数为f'(x),且f(x)=x2f'(1)+x+2,则f'(1)=

.

-1解析

因为f(x)=x2f'(1)+x+2,则f'(x)=2xf'(1)+1,故f'(1)=2f'(1)+1,解得f'(1)=-1.探究点三复合函数的求导【例3】

求下列函数的导数:(1)y=(3x-1)2;(2)y=ln(5x+2);解

设y=u2,u=3x-1.则y'=y'u·u'x=2u·3=6(3x-1)=18x-6.解

设y=ln

u,u=5x+2,(5)y=cos2x.解

设y=u2,u=cos

x,则y'=y'u·u'x=2u·(-sin

x)=-sin

2x.规律方法

1.复合函数的求导法则如下:复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为yx'=yu'·ux'(其中yx'表示y对x的导数).即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.2.复合函数的求导应注意以下几点:(1)分清复合函数是由哪些基本函数复合而成的,适当选定中间变量.(2)分步计算的每一步都要明确是对哪个变量进行求导,而其中要特别注意的是中间变量的导数.(3)根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则,求出各函数的导数,并把中间变量转换成自变量的函数.(4)复合函数的求导过程熟练后,中间步骤可以省略不写.变式训练3(1)[北师大版教材习题]求下列函数的导数:①y=e-x+2(2x+1)5;②y=cos(3x-1)-ln(-2x-1);③y=sin2x+cos2x;解①y'=-e-x+2×(2x+1)5+e-x+2×5(2x+1)4×2=(9-2x)(2x+1)4e-x+2;③y'=2cos

2x-2cos

xsin

x;(2)[北师大版教材习题]求曲线y=ln(3x-2)在x=1处的切线的方程.所以切线方程为y-0=3(x-1),即3x-y-3=0.探究点四导数运算法则的应用【例4】

(1)[2023山西晋城期末]有一机器人的运动方程为s(t)=t2+6t,t是时间,单位是秒,s是位移,单位是米,则该机器人在时刻t=2秒的瞬时速度为(

)A.5 B.7

C.10

D.13C解析

∵s(t)=t2+6t,∴s'(t)=2t+6,∴s'(2)=2×2+6=10,故选C.(2)已知函数f(x)=eax,设曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线与直线x+2y+1=0垂直,则a=

.

2解析

曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线的斜率为f'(0),又切线与直线x+2y+1=0垂直,所以f'(0)=2.因为f(x)=eax,所以f'(x)=(eax)'=eax·(ax)'=aeax,所以f'(0)=ae0=a,故a=2.(3)[北师大版教材例题]求曲线f(x)=+2xlnx在点(1,0)处的切线的方程.解根据导数公式表及导数的四则运算法则,可得

规律方法

利用导数运算法则可快速求解f'(x0),分两步完成:(1)根据y=f(x)求y=f'(x);(2)代入x0.这就给我们求瞬时变化率和切线的斜率带来了方便.变式训练4[北师大版教材习题]求曲线f(x)=x3+x-2与直线y=4x-1平行的切线的方程.因为切线斜率k=4,所以当切点为(1,0)时,切线方程为y-0=4(x-1),即4x-y-4=0;当切点为(-1,-4)时,切线方程为y-(-4)=4[x-(-1)],即4x-y=0.成果验收·课堂达标检测123451.下列各式正确的是(

)C.(3x)'=3x

D.(3x)'=3x·ln3D123452.已知函数f(x)=x+sinx+1,其导函数记为f'(x),则f(2022)+f'(2022)+f(-2022)-f'(-2022)=(

)A.2022 B.2

C.1

D.0B解析

因为f'(x)=1+cos

x,所以f'