新教材2023-2024学年高中数学第六章导数及其应用综合训练新人教B版选择性必修第三册

第六章综合训练一、单项选择题1.下列导数运算正确的是()A.(2x)'=1xx B.(log2xC.(sin2x)'=cos2x D.(2x)'=x·2x-12.[2023北京海淀校级期末]函数f(x)=x2在区间[0,2]上的平均变化率等于x=m时的瞬时变化率,则m=()A.12 B.1 C.2 D.3.[2023湖北期中]已知直线l是曲线f(x)=ex的切线,切点的横坐标为-1,直线l与x轴和y轴分别相交于A,B两点,则△OAB的面积为()A.12 B.1 C.2e D4.函数f(x)=exsinx在区间0,π2上的值域为A.[0,eπ2] B.(0,eπ2) C.[0,eπ25.[2023江苏南京鼓楼期中]已知f(x)=x3+3ax2+bx+a2在x=-1处有极值0,则a+b=()A.11或4 B.-4或-11 C.11 D.46.[2023河南洛阳月考]若函数f(x)=lnx-ax在区间(3,4)内有极值点,则实数a的取值范围是()A.(0,13) B.(14,+∞) C.[14,137.设函数f(x)=13x-lnx(x>0),则y=f(x)(A.在区间1e,B.在区间1e,C.在区间1e,1内有零点,D.在区间1e,1内无零点,8.f(x)是定义在R上的偶函数,当x<0时,xf'(x)-f'(x)<0,且f(-3)=0,则不等式f(x)x>0A.(-∞,-3)∪(3,+∞) B.(-∞,-3)∪(0,3)C.(-3,3) D.(-3,0)∪(3,+∞)二、多项选择题9.如图是函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象,则下面判断正确的有()A.在(-2,1)内f(x)是增函数B.在(3,4)内f(x)是减函数C.在x=-1处取得极小值D.在x=1处取得极大值10.[2023安徽模拟]已知函数f(x)=x3-x(x∈R),则()A.f(x)是奇函数B.f(x)的单调递增区间为(-∞,-33)和(33,+C.f(x)的最大值为2D.f(x)的极值点为(-33,239),(11.[2023湖北武汉青山校级月考]已知函数f(x)=1x-1+lnx,则(A.f(x)在点(1,0)处的切线为x轴B.f(x)在(0,+∞)内单调递减C.x=1为f(x)的极值点D.f(x)的最小值为012.[2023山东菏泽鄄城校级月考]对于函数f(x)=lnxx,下列说法正确的有(A.f(x)在x=e处取得极大值1B.f(x)有两个不同的零点C.f(2)<f(π)<f(3)D.若f(x)<k-1x在(0,+∞)内恒成立,则k>三、填空题13.[2023江西丰城校级月考]函数f(x)=lnx+1x的极值点为.14.[2023河南周口项城月考]已知函数f(x)=asinx+cosx在区间[2π3,5π6]上单调递减,15.用长为18cm的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为2∶1,则该长方体的长、宽、高分别为时,其体积最大.

16.若函数f(x)=mlnx-x3+32x2-4x+4在(2,+∞)内单调递减,则实数m的取值范围为.四、解答题17.设函数f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax+8,其中a∈R.已知f(x)在x=3处取得极值.(1)求f(x)的解析式;(2)求曲线y=f(x)在点A(1,16)处的切线方程.18.[2023山西太原期末]已知函数f(x)=(x-2)ex.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)求f(x)在[-1,2]上的值域.19.已知函数f(x)=x2-2lnx.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)求证:当x>2时,f(x)>3x-4.20.甲、乙两地相距400千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过100千米/时,已知该汽车每小时的运输成本P(单位:元)关于速度v(单位:千米/时)的函数关系是P=119200v4-1160v3+15(1)求全程运输成本Q(单位:元)关于速度v的函数关系式.(2)为使全程运输成本最少,汽车应以多大速度行驶?并求此时全程运输成本的最小值.21.已知函数f(x)=aex-1-lnx+lna.(1)当a=e时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;(2)若f(x)≥1,求a的取值范围.22.已知函数f(x)=ex-a(x+2).(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.

第六章综合训练1.B对于A,2x'=2x-12'=2×-12·x-32=-1xx,对于B,(log2x)'=1xln2,故B对于C,(sin2x)'=2cos2x,故C错误;对于D,(2x)'=2x·ln2,故D错误.故选B.2.B函数f(x)=x2在区间[0,2]上的平均变化率等于f(2)-由f(x)=x2,得f'(x)=2x,所以f'(m)=2m.因为f(x)=x2在区间[0,2]上的平均变化率等于x=m时的瞬时变化率,所以2=2m,解得m=1.故选B.3.C当x=-1时,f(-1)=e-1=1e而f'(x)=ex,f'(-1)=1e所以切线l:y-1e=1e(x+1),即x-ey+当y=0时,x=-2,即A(-2,0);当x=0时,y=2e,即B0,2e,所以△OAB的面积是S△OAB=12×2×2故选C.4.Af'(x)=ex(sinx+cosx).∵x∈0,π2,f'(x∴f(x)在0,π∴f(x)min=f(0)=0,f(x)max=fπ25.C根据题意,f'(x)=3x2+6ax+b.∵函数f(x)在x=-1处有极值0,∴f'(-1)=3-6a+b=0且f(-1)=-1+3a-b+a2=0,∴a=1,b=3或a=2,b=9,当a=1,b=3时f'(x)=3x2+6x+3≥0恒成立,函数f(x)在R上单调递增,此时函数无极值点,不符合题意.当a=2,b=9时,f'(x)=3x2+12x+9=3(x+1)(x+3).当x<-3或x>-1时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当-3<x<-1时,f'(x)<0,f(x)单调递减,∴x=-1是极小值点,f(-1)=-1+6-9+4=0,符合题意.∴a=2,b=9,∴a+b=11.故选C.6.D由已知得f'(x)=1-若函数f(x)=lnx-ax在(3,4)内有极值点,则关于x的方程1-ax=0在(3,4)内有解,即x=1a∈(3,4),解得14<a<13,即实数a的取值范围是1故选D.7.Df'(x)=13-1x=x-33x,令f'(x)=0,得x=3,当0<x<3时,f'(x)<0,所以函数f(x)在区间(0,3)内为减函数.又f(1)=13>0,f(e)=e3-1<0,f1e=13e+8.B设函数g(x)=f(x)x,则g'(x当x<0时,xf'(x)-f(x)<0,所以此时g'(x)=xf'(x)-f(x)x2又函数g(x)=f(x所以函数g(x)在x>0时单调递减,且f(3)=0.画出函数g(x)=f(x)x则不等式f(x)x>0的解集为0<x<3即不等式的解集为(-∞,-3)∪(0,3).9.BC根据导函数的正负,得到原函数的增减性,由图可得,当x变化时,f(x),f'(x)的变化情况如下表:x(-3,-1)-1(-1,2)2(2,4)4(4,+∞)f'(x)-0+0-0+f(x)↘极小值↗极大值↘极小值↗在(3,4)内f(x)是减函数,在x=-1处取得极小值.正确的有B,C.10.AB对于A,因为对∀x∈R,f(-x)=-x3+x=-f(x),所以f(x)是奇函数,故A正确;对于B,由f'(x)=3x2-1>0得x<-33或x>33,所以f(x)的单调递增区间为-∞,-33和33,+∞,故B正确;对于C,因为x→+∞时,f(x)→+∞,所以f(x)无最大值,故C错误;对于D,由f'(x)=3x2-1=0得x=±33,经检验x=-33是函数f(x)的极大值点,x=33是函数f(x)的极小值点,极值点是实数,故故选AB.11.ACD由题意知f(x)=1x-1+lnx(x>0),故f'(x)=-1故f(x)在点(1,0)处的切线的斜率为f'(1)=0,而f(1)=1-1+ln1=0,故f(x)在点(1,0)处的切线方程为y-0=0(x-1),即y=0,所以f(x)在点(1,0)处的切线为x轴,A正确;当0<x<1时,f'(x)<0,当x>1时,f'(x)>0,故f(x)在(0,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增,B错误;由此可得x=1为f(x)的极小值点,C正确;由于在(0,+∞)上f(x)只有一个极小值点,故函数的极小值也为函数的最小值,最小值为f(1)=0,D正确,故选ACD.12.ACDf(x)=lnxx的定义域为(0,+f'(x)=1x令f'(x)=0得x=e,所以在(0,e)内,f'(x)>0,f(x)单调递增,在(e,+∞)内,f'(x)<0,f(x)单调递减.对于A,由上可知f(x)在x=e处取得极大值,f(e)=1e,故A正确对于B,因为函数f(x)在(0,e)内单调递增,且f(1)=0,所以函数f(x)在(0,e)内只有一个零点.当x∈[e,+∞)时,f(x)>0恒成立,所以函数f(x)在[e,+∞)内没有零点.所以函数f(x)只有一个零点.选项B也可以直接令f(x)=0,即lnxx=0,解得x=1,所以函数f(x)只有一个零点.故B对于C,因为f(x)=lnx所以f(2)=f(4)=ln44因为f(x)在(e,+∞)内单调递减,所以f(3)>f(π)>f(4),所以f(2)<f(π)<f(3),故C正确;对于D,若f(x)<k-1x在(0,+∞)内恒成立则lnxx<k-1x在(0,+∞所以lnx+1x<k在(0,+∞令g(x)=lnx+1xg'(x)=1x所以在(0,1)内,g'(x)>0,g(x)单调递增,在(1,+∞)内,g'(x)<0,g(x)单调递减,所以g(x)max=g(1)=1,所以k>1,故D正确,故选ACD.13.1由f(x)=lnx+1x,x∈(0,+∞得f'(x)=1x当x∈(0,1)时,f'(x)<0,此时函数f(x)单调递减;当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,此时函数f(x)单调递增.∴1是函数f(x)的极小值点.14.aa≥-33因为f(x)=asinx+cosx在区间所以f'(x)=acosx-sinx≤0在区间2π3,5故a≥tanx在区间2π3,5因为y=tanx在区间2π3,5所以y=tanx的最大值为tan5π6=-故a≥-33即实数a的取值范围是aa15.2cm,1cm,32cm设长、宽、高分别为2x,x,h,则4(2x+x+h)=18,h=92-3∴V=2x·x·h=2x292-3x=-6x3+9x2,由V'=0,得x=1或x=∴x=1是函数V在(0,+∞)内唯一的极大值点,也是最大值点,故当长、宽、高分别为2cm,1cm,32cm时,体积最大16.(-∞,20]∵f(x)=mlnx-x3+32x2-4x+4(x>0),∴f'(x)=mx-3x2+3x-由于f(x)在(2,+∞)内单调递减,即f'(x)≤0在(2,+∞)内恒成立,即mx-3x2+3x-4≤0在(2,+∞)内恒成立设g(x)=3x3-3x2+4x(x>2),则m≤3x3-3x2+4x在(2,+∞)内恒成立,即m≤g(x)min在(2,+∞)内恒成立,g'(x)=9x2-6x+4,知Δ=36-4×9×4<0,∴x∈(2,+∞)时,g'(x)>0,g(x)单调递增,∴m≤g(x)min=g(2)=3×23-3×22+4×2=20,∴m≤20,即实数m的取值范围为(-∞,20].17.解(1)f'(x)=6x2-6(a+1)x+6a.∵f(x)在x=3处取得极值,∴f'(3)=6×9-6(a+1)×3+6a=0,解得a=3.∴f(x)=2x3-12x2+18x+8.(2)A点在f(x)上,由(1),可知f'(x)=6x2-24x+18,f'(1)=6-24+18=0,∴切线方程为y=16.18.解(1)函数f(x)=(x-2)ex,则f'(x)=(x-1)ex.当x>1时,f'(x)>0,当x<1时,f'(x)<0,故函数f(x)在(1,+∞)内单调递增,在(-∞,1)内单调递减.(2)由(1)可得函数f(x)在(1,2]上单调递增,在[-1,1)内单调递减,且f(-1)=-3e-1=-3e,f(2)=则f(x)在[-1,2]上的最大值f(x)max=f(2)=0,最小值f(x)min=f(1)=-e,故f(x)在[-1,2]上的值域为[-e,0].19.解(1)依题意,知函数的定义域为{x|x>0},∵f'(x)=2x-2x由f'(x)>0,得x>1;由f'(x)<0,得0<x<1.∴f(x)的单调递增区间为[1,+∞),单调递减区间为[0,1].(2)设g(x)=f(x)-3x+4=x2-2lnx-3x+4,∴g'(x)=2x-2x-3=2∵当x>2时,g'(x)>0,∴g(x)在(2,+∞)内为增函数,∴g(x)>g(2)=4-2ln2-6+4=2-2ln2>0,∴当x>2时,x2-2lnx>3x-4,即当x>2时,f(x)>3x-4.得证.20.解(1)Q=P·400v=119200v4-1160v3+15v·400v=119200v3-1160v2+15·400=v348-52v(2)Q'=v216-5令Q'=0,则v=0(舍去)或v=80,当0<v<80时,Q'<0,当80<v≤100时,Q'>0,则当v=80时,全程运输成本取得极小值,即最小值,且Qmin=Q(80)=20003故为使全程运输成本最少,汽车应从80千米/时的速度行驶,此时全程运输成本为20003元21.解f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=aex-1-1x(1)当a=e时,f(x)=ex-lnx+1,f'(1)=e-1,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-(e+1)=(e-1)(x-1),即y=(e-1)x+2.直线y=(e-1)x+2在x轴、y轴上的截距分别为-2e因此所求三角形的面积为2e(2)由题意a>0,当0<a<1时,f(1)=a+lna<1.当a=1时,f(x)=ex-1-lnx,f'(x)