新教材2023-2024学年高中数学第4章指数函数对数函数与幂函数4.1指数与指数函数4.1.2指数函数的性质与图象课件新人教B版必修第二册

第四章4.1.2指数函数的性质与图象基础落实·必备知识全过关重难探究·能力素养全提升目录索引

成果验收·课堂达标检测课程标准1.通过具体实例,了解指数函数的实际意义,理解指数函数的概念.2.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的单调性与特殊点.3.能够应用指数函数的图象及性质解决问题.基础落实·必备知识全过关知识点1

指数函数的概念1.一般地,函数

称为指数函数,其中a是常数,

.

自变量在指数位置2.指数函数的特征:(1)底数a>0且a≠1;(2)指数幂的系数是1.y=axa>0且a≠1名师点睛根据指数函数的定义,只有形如y=ax(a>0且a≠1)的函数才叫指数函数,如y=3·2x,

都不是指数函数,它们的函数表达式含有指数式,应将它们看作复合函数.过关自诊1.[2023上海奉贤高一]指数函数y=ax(a>0且a≠1)的图象经过点(2,9),则该指数函数的表达式为

.

y=3x

解析

由题可得,9=a2,解得a=±3.因为a>0,所以该指数函数的表达式为y=3x.2.指数函数中,为什么要规定a>0且a≠1?提示

如果a<0,那么ax对某些x值没有意义,如

无意义;如果a=0,那么当x>0时,ax=0,当x≤0时,ax无意义;如果a=1,y=1x=1是个常数函数,没有研究的必要.所以规定a>0且a≠1,此时x可以是任意实数.知识点2

指数函数的图象和性质1.指数函数的图象和性质a的取值a>10<a<1图象

性质定义域R值域

过定点

(0,+∞)(0,1)a的取值a>10<a<1性质函数值的变化当x>0时,y>1;当x<0时,0<y<1当x>0时,0<y<1;当x<0时,y>1单调性在R上是

在R上是

奇偶性非奇非偶函数2.一般地,指数函数y=ax和y=()x(a>0且a≠1)的图象关于y轴对称,且它们在R上的单调性相反.增函数

减函数

名师点睛1.画指数函数y=ax(a>0且a≠1)的简单图象时,需找三个关键点:(1,a),(0,1),(-1,).2.指数函数的图象永远在x轴的上方.底数越大,图象在第一象限内越高,简称“底大图高”.过关自诊1.函数y=()x+1的值域是(

)A.(0,+∞) B.(1,+∞)C.[1,+∞) D.(0,1)B2.函数y=2-x的图象是(

)B3.若指数函数y=(a-2)x是R上的增函数,则实数a的取值范围是

.

(3,+∞)解析

指数函数y=(a-2)x是R上的增函数,得a-2>1,即a>3.4.[2023上海宝山校级期末]函数f(x)=ax-1(a>0且a≠1)的图象经过一个定点,这个定点的坐标是

.

(1,1)解析

对于函数f(x)=ax-1(a>0且a≠1)的图象,令x-1=0,得x=1,f(x)=1,故函数f(x)的图象经过定点(1,1).重难探究·能力素养全提升探究点一指数函数的概念【例1】

(1)如果指数函数y=f(x)的图象经过点,那么f(4)f(2)=

.

64解析

设f(x)=ax(a>0且a≠1),∴a-2=,∴a=2.∴f(4)f(2)=24×22=64.(2)已知函数y=(2a2-3a+2)ax是指数函数,求实数a的值.规律方法

指数函数的结构特征指数函数是一个形式定义,其特征如下:变式训练1(1)若指数函数y=f(x)的图象过点(-2,4),则f(3)=

.

(2)给出下列函数:①y=4x;②y=x4;③y=-4x;④y=(-4)x;⑤y=πx;⑥y=;⑦y=xx;⑧y=(2a-1)x(a>且a≠1).其中为指数函数的有

.(填序号)

①⑤⑧

解析

②中函数不是指数函数,因为指数函数的底数不能是自变量;③中函数是-1与4x的乘积,不是指数函数;④中函数的底数-4<0,故不是指数函数;⑥中函数的指数不是自变量x,而是x2,不是指数函数;⑦中函数的底数x不是常数,不是指数函数.由指数函数的概念可知,①⑤⑧中的函数是指数函数.探究点二比较大小【例2】

比较下列各题中两个值的大小:(1)2.53,2.55.7;解

(单调性法)由于2.53与2.55.7的底数是2.5,故构造函数y=2.5x,而函数y=2.5x在R上是增函数.又3<5.7,则2.53<2.55.7.(2)1.5-7,()4;(3)2.3-0.28,0.67-3.1;解

(中间量法)由指数函数的性质,知2.3-0.28<2.30=1,0.67-3.1>0.670=1,则2.3-0.28<0.67-3.1.(4)(a-1)1.3,(a-1)2.4(a>1,且a≠2).解

因为a>1,且a≠2,所以a-1>0,且a-1≠1.若a-1>1,即a>2,则y=(a-1)x在R上是增函数,所以(a-1)1.3<(a-1)2.4;若0<a-1<1,即1<a<2,则y=(a-1)x在R上是减函数,所以(a-1)1.3>(a-1)2.4.故当a>2时,(a-1)1.3<(a-1)2.4;当1<a<2时,(a-1)1.3>(a-1)2.4.变式探究(1)若2.52a>2.5a+1,则实数a的取值范围是

.

(1,+∞)解析

构造函数f(x)=2.5x,而函数f(x)=2.5x在R上是增函数.因为f(2a)>f(a+1),所以2a>a+1,解得a>1,故实数a的取值范围是(1,+∞).(2)例2(1)改为“2.5a,2.5a+1”.解

因为a+1>a,所以2.5a<2.5a+1.规律方法

比较幂的大小的常用方法

变式训练2[北师大版教材习题]比较下列各题中两个数的大小:解

因为函数y=2x在R上是增函数,且-1.5<1.5,所以2-1.5<21.5.(4)20.1,30.2.解

由指数函数y=3x与y=2x的图象知,当x>0时,y=3x的图象在y=2x的图象的上方,且函数y=2x在R上是增函数,所以30.2>20.2>20.1,所以30.2>20.1.探究点三指数函数的图象及应用角度1

指数函数图象的识别【例3】

如图是指数函数:①y=ax,②y=bx,③y=cx,④y=dx的图象,则a,b,c,d与1的大小关系是(

)A.a<b<1<c<d

B.b<a<1<d<cC.1<a<b<c<d

D.a<b<1<d<cB解析

(方法一)①②中函数的底数小于1且大于0,在y轴右边,底数越小,图象越靠近x轴,故有b<a<1,③④中函数的底数大于1,在y轴右边,底数越大,图象越靠近y轴,故有1<d<c,故选B.(方法二)作直线x=1,与函数①②③④的图象分别交于A,B,C,D四点,将x=1代入各个函数可得函数值等于底数值,所以交点的纵坐标越大,则对应函数的底数越大.由图可知b<a<1<d<c.规律方法

指数函数图象的特点不同指数函数在同一平面直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系:在y轴右侧,图象从上到下相应的底数由大变小;在y轴左侧,图象从上到下相应的底数由小变大.无论指数函数的底数a如何变化,指数函数y=ax(a>0且a≠1)的图象与直线x=1相交于点(1,a),因此,直线x=1与各图象交点的纵坐标即为底数,由此可确定底数的大小.A.①

B.②

C.③

D.④

B角度2

指数函数的图象及其变换【例4】

先作出函数y=2x的图象,再通过图象变换作出下列函数的图象:(1)y=2x-2,y=2x+1;(2)y=2x+1,y=2x-2;(3)y=2-x,y=-2x,y=-2-x.解

列表:根据上表中x,y的对应值在平面直角坐标系中描点作图如图1所示.(1)函数y=2x-2的图象可以由y=2x的图象向右平移2个单位长度得到,函数y=2x+1的图象可以由y=2x的图象向左平移1个单位长度得到.图象如图1所示.(2)函数y=2x+1的图象可以由y=2x的图象向上平移1个单位长度得到,函数y=2x-2的图象可以由y=2x的图象向下平移2个单位长度得到.图象如图2所示.(3)函数y=2-x的图象由y=2x的图象关于y轴对称后得到;函数y=-2x的图象由y=2x的图象关于x轴对称后得到;函数y=-2-x的图象由y=2x的图象关于原点对称后得到.图象如图3所示.图1图2图3规律方法

指数函数图象及其变换(1)明确影响指数函数图象特征的关键是底数.(2)平移变换(a>0且a≠1,φ>0),如图1所示.图1(3)对称变换(a>0且a≠1),如图2所示.图2变式训练4画出函数

的图象,这个图象有什么特征?你能根据图象写出它的值域和定义域吗?而

和y=2x(x<0)的图象关于y轴对称,所以原函数的图象关于y轴对称.由图象可知值域是(0,1],定义域是R.角度3

指数函数图象过定点问题【例5】

已知函数f(x)=ax+1+3(a>0且a≠1)的图象一定过点P,则点P的坐标是

.

(-1,4)解析

当x+1=0,即x=-1时,f(x)=a0+3=4恒成立,故函数f(x)=ax+1+3恒过点(-1,4).规律方法

函数图象过定点问题的解法因为函数y=ax(a>0且a≠1)的图象恒过点(0,1),所以对于函数f(x)=kag(x)+b(k,a,b均为常数,且k≠0,a>0且a≠1).若g(m)=0,则f(x)的图象过定点(m,k+b).即令指数等于0,解出相应的x,y,则点(x,y)即为所求.变式训练5[2023黑龙江哈尔滨南岗校级期末]函数y=a2x-2+3(a>0且a≠1)的图象恒过定点

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(1,4)解析

令2x-2=0,可得x=1,此时f(1)=a2-2+3=4,即函数的图象恒过定点(1,4).成果验收·课堂达标检测12341.(多选题)函数y=a-x(a>0且a≠1)的图象可以是(

)5AB1