江苏专版2023-2024学年新教材高中数学第一章空间向量与立体几何1.4空间向量的应用1.4.2用空间向量研究距离夹角问题第1课时距离问题分层作业新人教A版选择性必修第一册

第1课时距离问题A级必备知识基础练1.[2023江苏徐州期末]［探究点一］已知直线过点,且方向向量为,则点到的距离为()A. B. C. D.2.［探究点一］在棱长为1的正方体中，为的中点，则点到直线的距离为()A. B. C. D.3.［探究点二］在棱长为的正方体中，是的中点，则点到平面的距离是()A. B. C. D.4.［探究点二］如图,直三棱柱的侧棱,在中,,,则点到平面的距离为.5.［探究点二、三］如图，已知正方形的边长为1,平面,且,,分别为,的中点.（1）求点到平面的距离;（2）求直线到平面的距离.B级关键能力提升练6.在空间直角坐标系中，定义：平面的一般方程为（,,,,且,,不同时为零），点到平面的距离,则在底面边长与高都为2的正四棱锥中，底面中心到侧面的距离等于()A. B. C.2 D.57.如图，在棱长为的正方体中，为的中点，为上任意一点，，为上两个动点，且的长为定值，则点到平面的距离()A.等于 B.和的长度有关C.等于 D.和点的位置有关8.（多选题）已知正方体的棱长为1,点是的中点，在正方体内部且满足,则下列说法正确的是()A.点到直线的距离是B.点到直线的距离是C.平面与平面间的距离为D.点到直线的距离为9.如图，棱长为1的正方体中，,分别为,的中点，为线段上的点，且,过,,的平面交于点,则到平面的距离为.10.如图，正方体的棱长为4,,,,分别为,,,的中点，则平面与平面的距离为.11.如图,在梯形中,,,,平面,且,点在上,且.（1）求点到平面的距离；（2）求到平面的距离.C级学科素养创新练12.［北师大版教材例题］已知向量,,,对任意的实数,,当向量的长度最小时,求,的值.第1课时距离问题A级必备知识基础练1.B[解析]点,点，,,又直线的方向向量为,点到的距离,，故选.2.C[解析]建立空间直角坐标系，如图，则,,,,,所以，，，，所以点到直线的距离故选.3.A[解析]建立如图所示的空间直角坐标系，则,,,,,,.设平面的法向量为,则即令,则,,可得点到平面的距离4.[解析]如图所示,建立空间直角坐标系,则,,,,,,,,.设平面的法向量为,则即令得,,点到平面的距离.5.（1）解建立以为坐标原点,,,分别为轴、轴、轴正方向的空间直角坐标系，如图所示.则,,,,,,,1,,所以,,,设平面的法向量,则即令,则,,所以,所以点到平面的距离,因此点到平面的距离为.（2）因为,分别为,的中点,所以.又因为平面,平面,所以平面.因为,所以点到平面的距离.所以直线到平面的距离为.B级关键能力提升练6.B[解析]以底面中心为坐标原点，建立空间直角坐标系,如图，则,,,.设平面的方程为,将，，三点的坐标代入计算得,,,所以方程可化为,即,所以.7.A[解析]取的中点，连接，，，则,点到平面的距离即点到平面的距离，与的长度无关，故错误.又平面，点到平面的距离即点到平面的距离，即点到平面的距离，与点的位置无关，故错误.如图，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，则,,,,0,,,,,0,.设是平面的法向量,则由得令,则,，所以是平面的一个法向量.设点到平面的距离为,则,故正确，错误.故选.8.BC[解析]如图，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，0，，所以,,0,.设,则，.故点到直线的距离,故错误,正确.,,.设平面的法向量为,则所以令,得,,所以所以点到平面的距离.因为易证得平面平面,所以平面与平面间的距离等于点到平面的距离,所以平面与平面间的距离为,故正确.因为，所以,,,又,则，所以点到的距离,故错误.9.[解析]以点为坐标原点，直线,,分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示,则,1,,,1,,,0,,,,,,,.又平面,平面，平面到平面的距离，即为到平面的距离.设平面的一个法向量为,则即令,则,,又,点到平面的距离,到平面的距离为.10.[解析]如图所示，建立空间直角坐标系,则,,,,,,,,,,,,,,,.平面平面.设是平面的法向量，则解得取,则,,得平面到平面的距离就是点到平面的距离.,平面与平面间的距离.11.（1）解由题意知,,两两垂直,建立空间直角坐标系,如图，则,,,,.设,则,,,,,即.设平面的法向量为,则解得取,得设点到平面的距离为,由,得（2）由于,,.设平面的法向量为,由得取,得设点到平面的距离为,,平面,平面,则为到