2022-2023学年宁夏贺兰县高一年级下册学期数学期末复习试题（二）【含答案】

2022-2023学年宁夏贺兰县高一下学期数学期末复习试题（二）一、单选题1．若，且是第二象限角，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先计算，再根据展开计算得到答案.【详解】因为，是第二象限角，所以，，故.故选：C.2．若向量，则在上的投影向量为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意，结合在上的投影向量为，准确运算，即可求解.【详解】由向量，可得且，所以在上的投影向量为.故选：A.3．已知在复平面内，复数、所对应的点分别为、，则（）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先表示出、，再根据复数代数形式的乘、除运算法则计算可得.【详解】因为在复平面内复数、所对应的点分别为、，所以、，所以.故选：A.4．如果、是平面内两个不共线的向量，那么在下列各说法中错误的有（

）①可以表示平面内的所有向量；②对于平面中的任一向量，使的，有无数多对；③若向量与共线，则有且只有一个实数，使；④若实数，使，则．A．①② B．②③ C．③④ D．仅②【答案】B【分析】根据平面向量基本定理，逐一对选项①②③分析判断，即可得出正误，对于选项④，反证法可判断出正误，从而得到结果.【详解】对于①，由平面向量基本定理可知，①是正确的．对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的，所以②错误；对于③，当两向量的系数均为零，即时，这样的有无数个，所以③错误；对于④，假设不全为0，不妨设，则，则，共线，与，是平面内两个不共线的向量矛盾，所以，所以④正确.故选：B.5．已知，则在复平面内的坐标是（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【分析】设，根据已知求出、可得，再根据复数的几何意义可得答案.【详解】设，由，得，，解得，，或，，所以，或，则在复平面内的坐标是或.故选：C.6．已知三棱锥的顶点都在球的球面上，底面是边长为3的等边三角形．若三棱锥的体积的最大值为，则球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设球O的半径为R，的外心为，由题意，可得外接圆的半径及面积，即可得，代入体积公式，结合题意，可求得R值，代入球的表面积公式，即可得答案.【详解】设球O的半径为R，的外心为，由题意得外接圆半径为，面积为，所以，所以最大值，所以，即，解得，所以球O的表面积为.故选:A.

7．中国农历的二十四节气是中华民族的智慧与传统文化的结晶，二十四节气歌是以春、夏、秋、冬开始的四句诗．某小学三年级共有学生600名，随机抽查100名学生并提问二十四节气歌，只能说出一句的有45人，能说出两句及以上的有38人，据此估计该校三年级的600名学生中，对二十四节气歌一句也说不出的有（

）A．17人 B．83人 C．102人 D．115人【答案】C【分析】先求出一句也说不出的学生频率，再据此估计该校三年级的600名学生中，对二十四节气歌一句也说不出的人数.【详解】由题意得：一句也说不出的学生频率为，所以估计该校三年级的600名学生中，对二十四节气歌一句也说不出的有（人）．故选：C．8．已知为等腰直角三角形，AB为斜边，为等边三角形，若二面角为，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据给定条件，推导确定线面角，再利用余弦定理、正弦定理求解作答.【详解】取的中点，连接，因为是等腰直角三角形，且为斜边，则有，又是等边三角形，则，从而为二面角的平面角，即，

显然平面，于是平面，又平面，因此平面平面，显然平面平面，直线平面，则直线在平面内的射影为直线，从而为直线与平面所成的角，令，则，在中，由余弦定理得：，由正弦定理得，即，显然是锐角，，所以直线与平面所成的角的正切为.故选：C二、多选题9．已知函数，则下列说法正确的是（

）A．B．函数的最小正周期为C．函数的图象的对称轴方程为D．函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到【答案】AB【分析】利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，再结合正弦函数的性质逐项判断作答.【详解】，故A正确；函数的最小正周期为，故B正确；由，得，故C错误；由的图象向左平移个单位长度，得，故D错误.故选：AB10．设点M是所在平面内一点，则下列说法正确的是（

）A．若，则点M是BC的中点B．若，则点M是的重心C．若，则点M，B，C三点共线D．若，则，【答案】AC【分析】根据平面向量的线性运算法则，以及重心的性质，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，如图（1）所示，根据向量的平行四边形法则，可得，若，可得为的中点，所以A正确；

对于B中，若为的重心，则满足，即，所以B不正确；对于C中，由，可得，即,所以三点共线，所以C正确；对于D中，如图（2）所示，由，可得，所以D不正确.故选：AC.

11．今年春节档两部电影票房突破20亿大关，《满江红》不负众望，凭借喜剧元素和家国情怀，以25.96亿票房成为档期内票房冠军，另一部科幻续作《流浪地球2》则成为最高口碑电影．下图是这两部电影连续7天的日票房情况，则（

）

A．《满江红》日票房平均数大于《流浪地球日票房平均数B．《满江红》日票房方差大于《流浪地球2》日票房方差C．《满江红》日票房极差小于《流浪地球2》日票房极差D．《满江红》日票房的第25百分位数小于《流浪地球2》日票房的第75百分位数【答案】ABD【分析】根据图表信息逐一判断即可.【详解】由图表可得《满江红》日票房都大于《流浪地球日票房，所以《满江红》日票房平均数大于《流浪地球2》日票房平均数，A正确;由图可得《满江红》日票房单日票房数据波动更大，《满江红》日票房方差大于《流浪地球2》日票房方差，所以B正确.《满江红》日票房极差大于《流浪地球日票房极差，故C错误；因为，《满江红》日票房的第25百分位数是从小到大排序第个数，因为，《流浪地球2》日票房的第75百分位数是从小到大排序第个数，《满江红》日票房的第25百分位数小于《流浪地球2》日票房的第75百分位数，所以D正确.故选：ABD.12．如图，正方体的棱长为4，M是侧面上的一个动点（含边界），点P在棱上，且，则下列结论正确的有（

）

A．沿正方体的表面从点A到点P的最短距离为B．保持与垂直时，点M的运动轨迹长度为C．若保持，则点M的运动轨迹长度为D．平面被正方体截得截面为等腰梯形【答案】BCD【分析】根据平面展开即可判断A；过做平面平面，即可判断B；根据点的轨迹是圆弧，即可判断C；作出正方体被平面所截的截面即可判断D.【详解】对于A，将正方体的下面和侧面展开可得如图图形，

连接，则，故A错误；对于B，如图：

因为平面，平面，，又，，，平面，所以平面，平面.所以'，同理可得，，，平面.所以平面.所以过点作交交于，过作交交于，由，可得，平面，平面，所以平面，同理可得平面.则平面平面.设平面交平面于，则的运动轨迹为线段，由点在棱上，且，可得，所以，故B正确；对于C，如图：

若，则在以为球心，为半径的球面上，过点作平面，则，此时.所以点在以为圆心，2为半径的圆弧上，此时圆心角为.点的运动轨迹长度，故C正确；对于D，如图：

延长，交于点，连接交于，连接，所以平面被正方体截得的截面为.，所以.，所以，所以，所以，且，所以截面为梯形，，所以截面为等腰梯形.故D正确.故选：BCD.三、填空题13．已知复数为纯虚数，则复数的虚部为.【答案】/【分析】根据纯虚数的定义可得，进而利用复数的除法运算即可化简求解.【详解】为纯虚数，则且，故，则，所以，故的虚部为，故答案为：14．已知向量，，则向量在向量上的投影向量是（坐标表示）.【答案】【分析】根据投影向量的公式计算直接得出答案.【详解】因为向量，，所以，，所以在上的投影向量的坐标为：，故答案为：.15．如图，在正方体中，异面直线与所成角的大小为.

【答案】/45o【分析】采用平移法，找到异面直线与所成角或其补角，解三角形即可得答案.【详解】在正方体中，因为,故和所成角即为异面直线与所成角或其补角，在中，，故异面直线与所成角的大小，故答案为：16．无人侦察机在现代战争中扮演着非常重要的角色，它能在万米高空观察敌方的地面设施和军事力量部署．我国无侦—8（如图1）是一款以侦察为主的无人机，它动力强劲，比大多数防空导弹都要快．已知空间中同时出现了A，B，C，D四个目标（目标与无人机的大小忽略不计），如图2，其中，，，且目标A，B，D所在平面与目标B，C，D所在平面恰好垂直，若无人机可以同时观察到这四个目标，则其最小侦测半径为．

【答案】【分析】由已知得当无人机在三棱锥的外接球球心处时，侦测半径最小，且最小半径为球的半径，棱锥的外接球的球心在平面上的射影就是正三角形的外接圆圆心，记为，连接，，运用面面垂直的性质和勾股定理建立方程组可求得外接球的半径得答案.【详解】如图所示，三棱锥的外接球的球心在平面上的射影就是正三角形的外接圆圆心，记为，连接，，则.设，连接，则①.过点作于，过点作于，连接，，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面.又平面，所以四边形为矩形，故，.在中，，，，所以，故，所以，.取的中点，则，连接，则，，故，故在中，，即②.由①②解得所以最小侦测半径为.故答案为：.

四、解答题17．某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率．甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为，．试验结果如下：试验序号12345678910伸缩率545533551522575544541568596548伸缩率536527543530560533522550576536记，记的样本平均数为，样本方差为．(1)求，；(2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高）【答案】(1)，；(2)认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.【分析】（1）直接利用平均数公式即可计算出，再得到所有的值，最后计算出方差即可；（2）根据公式计算出的值，和比较大小即可.【详解】（1），，，的值分别为:，故（2）由（1）知:，，故有,所以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.18．如图所示，在中，，，，.

(1)试用向量，来表示，；(2)若，求证：D，O，N三点共线.【答案】(1)，(2)证明见解析【分析】（1）根据几何关系，结合图象以及向量的运算法则，即可表示出，；（2）根据已知可推得，然后根据向量的运算即可得出，进而得出证明.【详解】（1）因为，所以，所以.因为，所以，所以.（2）因为，所以，则，，所以，即证D，O，N三点共线.19．在①；②；③；这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若______(1)若，求的外接圆面积；(2)若，且的面积，求的周长的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）若选①，可利用正弦定理的边角互化进行化简，结合余弦定理可求得；若选②，可根据正弦定理与同角关系对条件进行化简，可求得；若选③，利用正弦定理与三角形的内角和为即有对条件进行化简，可求得，最后再根据正弦定理可求解出外接圆的半径，即可求得结果；（2）利用面积公式可得的取值范围，结合余弦定理，将用进行表示，即可求得结果.【详解】（1）选①，由正弦定理可得，，，结合余弦定理可知，，，，由正弦定理可知，，.选②，，由正弦定理可得，，即，，，，，，由正弦定理可知，

，.选③，，又，，由正弦定理可得，，即，结合余弦定理可知，，，，由正弦定理可知，

，（2）的面积，，，，，，的周长，且，，即的周长的取值范围为.20．已知函数，.(1)求函数的最小正周期及单调递增区间；(2)函数的图像沿轴向左平移个单位长度得到函数的图像，求在区间上的最值.【答案】(1)，(2)，【分析】（1）利用三角恒等变换化简，再求其最小正周期和单调增区间即可；（2）根据（1）中所求，结合函数图像平移求得，再利用整体法即可求得函数的最值.【详解】（1），∴最小正周期，当即时单调递增，∴函数的增区间为；（2）由题可知：，当时，，，，.21．如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，平面平面．(1)证明：四边形是正方形；(2)若，为上一点，且满足，求三棱锥的体积．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）只需证，即可求证四边形是正方形.（2）根据椎体体积公式，即可求解.【详解】（1）证明：如图，过点作交于点；因为面面，面面,，面,所以面，而面，所以．又因为面，而面，，而，，面，面，故面，而面，故，由题意四边形是菱形，∴四边形是正方形．（2）∵设点到面的距离为，则由∵22．如图，在三棱锥中，，，，，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，，点F在AC上，.

(1)证明：平面；(2)证明：平面平面BEF；(3)求二面角