2022-2023学年山东省淄博市高二年级下册学期第三次教学质量检测数学试题【含答案】

2022-2023学年山东省淄博市高二下学期第三次教学质量检测数学试题一、单选题1．若为虚数单位，则复数的虚部为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据复数的除法运算化简复数，再根据复数的概念即可得答案.【详解】，其虚部为．故选：D．2．某地8名新冠肺炎病患者的潜伏期(单位：天)分别为7，8，8，12，11，10，14，16，则它们的75%分位数是（

）A．12 B．13 C．14 D．15【答案】B【分析】将已知数据按照从小到大的顺序排列，然后根据百分位数的求法即可得出答案.【详解】解：将已知数据按照从小到大的顺序排列，得7，8，8，10，11，12，14，16，，所以75%分位数是.故选：B.3．一个扇形的圆心角为，面积为，则该扇形弧长为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由扇形的面积公式求得扇形的半径，进而由弧长公式计算可得.【详解】设扇形的弧长为，半径为，根据已知的扇形的圆心角，面积，由扇形的面积公式，得，解得（负值舍去），由弧长公式，故选：B4．已知是平行四边形，，若，则（

）A． B．1 C． D．【答案】C【分析】根据平面向量线性运算法则及平面向量基本定理计算可得.【详解】因为，所以，所以，又，所以，．故选：C．5．设，，，则有（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用辅助角公式化简a，正切二倍角公式和放缩放化简b，余弦二倍角公式化简c，然后根据正弦函数的单调性比较可得.【详解】，，，当，单调递增，所以，所以.故选：C6．如图，正方体中，E，F分别是，DB的中点，则异面直线EF与所成角的正切值为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根据异面直线的夹角的求法和线面位置关系即可求解.【详解】如图所示，连接直线，因为分别为直线和直线的中点，所以为的中位线，所以，则异面直线EF与所成角的正切值即为直线与所成角的正切值，因为,所以平面,平面,所以,所以为直角三角形，所以.故选：B.7．已知圆台的上底面半径为2，下底面半径为4，若该圆台的体积为，则其母线长为（

）A． B． C．4 D．【答案】A【分析】根据圆台体积公式求出圆台高，再由高及底面半径求圆台母线.【详解】设圆台的高为，则圆台的体积，解得，故圆台母线长．故选：A8．已知，则下列结论错误的是（

）A．是周期函数B．在区间上是增函数C．的值域为D．关于对称【答案】D【分析】由周期函数的定义可判断A；由复合函数的单调性结论可判断B；判断出的单调性可判断C；由函数有对称轴的性质可判断D.【详解】由题知，，，是函数的一个周期，故A正确；在区间上是增函数，其值域为在区间上是增函数，根据复合函数同增异减法则知，在区间上是增函数，故B正确；的值域为在区间上是增函数，的值域为，故C正确；不关于对称，故错误，故选：D.二、多选题9．将函数的图象向左平移个单位长度得到一个偶函数，则的值可以为（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】化简函数的解析式，求出变换后的函数的解析式，根据正弦型函数的奇偶性可得出关于的等式，即可求得值.【详解】因为，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，因为函数为偶函数，则，解得，，则当时，，时，.故选：AC.10．在中，内角，，所对的边分别为，，，且，则（

）A．B．若，则C．若，，则D．若，则的面积的最小值为【答案】BC【分析】对于A选项，根据，由正弦定理求得判断；对于B选项，结合A选项，利用正弦定理求解判断；对于C选项，结合A选项，利用余弦定理求解判断；对于D选项，利用余弦定理结合基本不等式求解判断.【详解】对于A选项，由正弦定理有，有，有，可得，故A选项错误；对于B选项，由正弦定理有，有，故B选项正确；对于C选项，由余弦定理有，有，代入，可得，故C选项正确；对于D选项，由余弦定理有（当且仅当时取等号），有，故D选项错误．故选：BC．11．已知，是两个不同的平面，，，是三条不同的直线，则下列命题正确的是（

）A．若，，则B．若，，则C．若，，，，则D．若，，，则【答案】ACD【分析】根据空间中线、面位置关系逐项分析判断.【详解】对于选项A：因为，，所以由线面垂直的性质可得，故A正确；对于选项B：若，，则m与n可能异面或相交或平行，故B错误；对于选项C：因为，，，，由面面垂直的性质定理知，，故C正确；对于选项D：设，且，因为，则，设，且，因为，则，可得，又因为，，则，且，，则，可得，故D正确；故选：ACD.12．近年来，加强青少年体育锻炼，重视体质健康已经在社会形成高度共识，某校为了了解学生的身体素质状况，举行了一场身体素质体能测试，以便对体能不达标的学生进行有效的训练，促进他们体能的提升，现从全部测试成绩中随机抽取200名学生的测试成绩，进行适当分组后，画出如下频率分布直方图，则（

）A．B．在被抽取的学生中，成绩在区间内的学生有70人C．估计全校学生体能测试成绩的平均数为77.5D．估计全校学生体能测试成绩的69%分位数为84【答案】ACD【分析】根据频率分布直方图中频率和等于1可求出，判断A；求出成绩落在内的频率，再乘以总人数可判断B；根据频率分布直方图平均数的求解方法即可判断C；根据百分位数的定义求解可判断D.【详解】根据频率和等于1得，解得，故A正确；成绩在区间内的学生人数约为，故B错误；学生体能测试成绩的平均数约为，故C正确；，，所以这组数据第69%分位数的估计值落在区间内，，故学生体能测试成绩的69%分位数为84，故D正确；故选：ACD三、填空题13．已知角α的终边过点，则.【答案】2【分析】方法1：由角终边上一点的坐标得其正切值，再处理齐次式代入可得结果.方法2：由角终边上一点的坐标得其正弦值、余弦值代入计算可得结果.【详解】方法1：由题意知，，∴，方法2：由题意知，，，∴，故答案为：2.14．已知，，若与的夹角是锐角，则实数x的取值范围是．【答案】【分析】设与的夹角为，则，根据列式可求出结果.【详解】设与的夹角为，则，所以，解得且.故答案为：15．有三个男生的平均身高为170cm，方差为30；有七个女生的平均身高为160cm，方差为40，则这10人身高的方差为．【答案】58【分析】根据男女生权重计算出10人的平均身高，该根据男女生权重和方差公式计算出新的方差.【详解】由题意知，男生的平均身高、权重和方差分别为，，；女生的平均身高、权重和方差分别为，，；则，.故答案为：58.16．如图，三个相同的正方形相接，则.【答案】/【分析】根据给定的几何图形，利用差角的正切求解作答.【详解】依题意，，所以.故答案为：四、解答题17．的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，，，求A和a.【答案】，【分析】首先根据向量的数量积及三角形面积公式求出，，再利用余弦定理计算可得.【详解】解：，，，，，【点睛】本题考查余弦定理及三角形面积公式的应用，向量的数量积的计算，属于基础题.18．如图，正方形ABCD与平面BDEF交于BD，平面ABCD，平面ABCD，且.

(1)求证：平面AEC；(2)求证：平面AEC.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）根据题意，由条件可证四边形BOEF为平行四边形，则，再由线面平行的判定定理即可证明；（2）根据题意，先由线面垂直的判定定理可证平面BDEF，从而可得，即可得到证明.【详解】（1）

如图，设AC与BD交于点O，则O为正方形ABCD的中心，连接OE，不妨令.则.∵四边形ABCD为正方形，∴.∵平面ABCD，且平面平面，面，∴，∴，，即四边形BOEF为平行四边形，∴.又平面AEC，平面AEC，∴平面AEC.（2）连接OF.∵，且，，∴四边形ODEF为菱形.∵平面ABCD，∴四边形ODEF为正方形，∴.又四边形ABCD为正方形，∴.∵平面ABCD，平面ABCD，∴.而，且平面BDEF，平面BDEF，∴平面BDEF.∵平面BDEF，∴.又，OE，平面AEC，∴平面AEC.19．某校从高二年级学生中随机抽取60名学生，将其期中考试的政治成绩（均为整数）分成六段：后得到如下频率分布直方图.(1)根据频率分布直方图，估计该校高二年级学生期中考试政治成绩的平均分、众数、中位数；（小数点后保留一位有效数字）(2)用分层抽样的方法在各分数段的学生中抽取一个容量为20的样本，则分数段抽取的人数是多少？【答案】(1)平均数为，众数为75，中位数为(2)6【分析】（1）根据频率分布直方图中众数，平均数，中位数的计算方法解决即可；（2）由抽取比例为，分数段人数为18人，即可解决.【详解】（1）由图可知众数为75，因为，解得，设中位数为，所以，解得，所以中位数为，平均数为（2）因为总人数有60人，抽取20人，所以抽取比例为，因为60人中分数段人数为人，所以分数段抽取的人数是.20．已知函数.(1)求函数的单调递减区间；(2)若在（）上单调递增，求的取值范围.【答案】(1)，(2)【分析】（1）化简得到，取，解得答案.（2）取得到函数的单调递增区间，得到，解得答案.【详解】（1），令，，解得，，故的单调递减区间为，；（2）令，，解得，，所以的单调递减区间为，；所以，故的取值范围为.21．如图，三棱柱中､四边形是菱形，且，，，，(1)证明：平面平面；(2)求直线和平面所成角的正弦值；【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）连接交于O，连接，证明可得线面垂直，再由面面垂直的判定定理得证；（2）利用等体积法求出点到平面的距离，再由线面角公式求解即可.【详解】（1）连接交于O，连接，如图，四边形是菱形，所以，又，，是的中点，所以且，由，可知为正三角形，所以，，在中，，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）设到平面的距离为，因为中，，，所以，又，，所以由，可得,即,设直线和平面所成角为，则.22．如图，的面积为，记内角，，所对的边分别为，，，已知，.

(1)求