三角形的五心一次看个够

三角形的五心一次看个够三角形中有许多重要的特殊点，特别是三角形的“五心〞，在解题时有很多应用，在这里分别给予介绍．一、三角形外心的性质外心定理的证明：如图，设AB、BC的中垂线交于点O，则有OA=OB=OC，故O也在A的中垂线上，因为O到三顶点的距离相等，故点O是ΔABC外接圆的圆心．因而称为外心．设⊿ABC的外接圆为☉G(R)，角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2．1：〔1〕锐角三角形的外心在三角形；〔2〕直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合；〔3〕钝角三角形的外心在三角形外.2：∠BGC=2∠A，〔或∠BGC=2(180°-∠A).3：点G是平面ABC上一点，则点G是⊿ABC外心的充要条件是：点是的外心(或2=2=2)(点到三顶点距离相等)(+)·=(+)·=(+)·=0(为三边垂直平分线的交点)4：点G是平面ABC上一点，点P是平面ABC上任意一点，则点G是⊿ABC外心的充要条件是：=((tanB+tanC)+(tanC+tanA)+(tanA+tanB))/2(tanA+tanB+tanC).或=(cosA/2sinBsinC)+(cosB/2sinCsinA)+(cosC/2sinAsinB).5：R=abc/4S⊿ABC.正弦定理：2R=a/sinA=b/sinB=c/sinC。6.外心坐标：给定求外接圆心坐标O〔*，y〕①.首先，外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，我们根据圆心到顶点的距离相等，可以列出以下方程：②.化简得到：令；;；;即;;③.最后根据克拉默法则：因此，*，y为最终结果；7.假设O是△ABC的外心，则S△BOC：S△AOC：S△AOB=sin∠BOC：sin∠AOC：sin∠AOB=sin∠2A：sin∠2B：sin∠2C故sin∠2A·+sin∠2B·+sin∠2C·=证明：设点在部，由向量根本定理，有，则设：，则点为△DEF的重心，又，，，∴假设O是△ABC的外心，则S△BOC：S△AOC：S△AOB=sin∠BOC：sin∠AOC：sin∠AOB=sin∠2A：sin∠2B：sin∠2C故sin∠2A·+sin∠2B·+sin∠2C·=二、三角形的心心定理的证明：如图，设∠A、∠C的平分线相交于I、过I作ID⊥BC，IE⊥AC，IF⊥AB则有IE=IF=ID．因此I也在∠C的平分线上，即三角形三角平分线交于一点．上述定理的证法完全适用于旁心定理，请同学们自己完成．设△ABC的切圆为☉O(半径r)，角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2。1、三角形的三个角平分线交于一点，该点即为三角形的心。2、三角形的心到三边的距离相等，都等于切圆半径r。3、r=S/p。证明：S△ABC=S△OAB+S△OAC+S△OBC=(cr+br+ar)/2=rp,即得结论。4、△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2。5、∠BOC=90°+∠A/2。6、点O是平面ABC上任意一点，点O是△ABC心的充要条件是：。7、点O是平面ABC上任意一点，点L是△ABC心的充要条件是：/(a+b+c)。8、△ABC中，，则△ABC心L的坐标是：。9、(欧拉定理)△ABC中，R和r分别为外接圆为和切圆的半径，O和I分别为其外心和心，则OL2=R2-2Rr。10、角平分线分三边长度关系：如图：△ABC中，AD是∠A的角平分线，D在BC上，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，d=AD。设R1是△ABD的外接圆半径，R2是△ACD的外接圆半径，则有：BD/CD=AB/AC证明：由正弦定理得b/sinB=c/sinC，d=2R1sinB=2R2sinC，∴R1/R2=sinC/sinB=c/b.又BD=2R1sinBAD，CD=2R2sinCAD，∠CAD=∠BAD，∴BD/CD=R1/R2=c/b=AB/AC11、切圆半径r=三、三角形的重心1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。4.在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为。5.重心是三角形到三边距离之积最大的点。6.(莱布尼兹公式)三角形ABC的重心为G，点P为其部任意一点，则7.在三角形ABC中，过重心G的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则AB/AP+AC/AQ=38.从三角形ABC的三个顶点分别向以他们的对边为直径的圆作切线，所得的6个切点为，则均在以重心G为圆心，为半径的圆周上四、三角形的垂心证明垂心定理分析我们可以利用构造外心来进展证明。证明如图，AD、BE、CF为ΔABC三条高，过点A、B、C分别作对边的平行线相交成ΔA'B'C'，显然AD为B'C'的中垂线；同理BE、CF也分别为A'C'、A'B'的中垂线，由外心定理，它们交于一点，命题得证．设△ABC的三条高为AD、BE、CF，其中D、E、F为垂足，垂心为H，角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2．1、锐角三角形的垂心在三角形；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外.2、三角形的垂心是它垂足三角形的心；或者说，三角形的心是它旁心三角形的垂心；3、垂心H关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆上。4、△ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AH·HD=BH·HE=CH·HF。5、H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。6、△ABC，△ABH，△BCH，△ACH的外接圆是等圆。7、在非直角三角形中，过H的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则AB/AP·tanB+AC/AQ·tanC=tanA+tanB+tanC。8、设O，H分别为△ABC的外心和垂心，则∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC，∠BCO=∠HCA。9、锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其切圆与外接圆半径之和的2倍。10、锐角三角形的垂心是垂足三角形的心；锐角三角形的接三角形(顶点在原三角形的边上)中，以垂足三角形的周长最短〔施瓦尔兹三角形，最早在古希腊时期由海伦发现〕。11、西姆松定理〔西姆松线〕：从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。12、设锐角△ABC有一点P，则P是垂心的充分必要条件是PB*PC*BC+PB*PA*AB+PA*PC*AC=AB*BC*CA。13、设H为非直角三角形的垂心，且D、E、F分别为H在BC，CA，AB上的射影，H1，H2，H3分别为△AEF，△BDF，△CDE的垂心，则△DEF≌△H1H2H3。14、三角形垂心H的垂足三角形的三边，分别平行于原三角形外接圆在各顶点的切线。15、三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。〔垂心伴随外接圆，必有平行四边形〕推论〔垂心余弦定理〕：锐角三角形ABC的垂心为H，则AH/cosA=BH/cosB=CH/cosC=2R〔可引入有向距，推广到任意三角形〕16、等边三角形的垂心把三角形的高分成2:1两段，靠近顶点的那段长度为高的三分之二。17、垂心的重心坐标反而比外心简单一点。先计算以下临时变量〔与外心一样〕：d1,d2,d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。垂心坐标：(c1/c，c2/c，c3/c)△ABC中，，垂心H(m,n);分别做高线:AH⊥BC;BH⊥AC;且解得:五、三角形的旁心1：三角形的一条角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心。2：旁心到三角形三边的距离相等。3：三角形有三个旁切圆，三个旁心。旁心一定在三角形外。4：直角三角形斜边上的旁切圆的半径等于三角形周长的一半。5:的心为，而边外的旁心分别为；分别是三条角平分线，交三角形外接圆于，交外接圆于，交于，显然，三角形过同一顶点的、外角平分线互相垂直，并且有、；、；、；；、；；、；、；〔称为对称比定理〕．、，〔俗称“鸡爪〞定理〕．6:7：旁心与心的关系如图，为△ABC的心，是△ABC的三个旁心。注意：的中点D、E、F都在△ABC外接圆上。这一点对心来确定旁心的位置大有作用。又由心角公式得：，又因为、C、、B四点共圆，故同理，;这便是旁心角公式第8条性质第8条性质8：旁心于半周长(p)形影不离如图：是△ABC的旁心，作垂直于AB于E，垂直于AC于F。易得：BE=BD,CF=CD,AE=AF,AE+AF=(AB+BD)+(AC+CD)=AB+BC+AC,故AE=AF=p9：旁心与三角形三个顶点构成三组三点共线如图：分别是△ABC的三个旁心，由于是对顶角的平分线亦为反向延长线，故三点共线。特别性质：1.三角形所在平面一点的向量与面积关系结论：设点在部，假设，则证明：点在部，且设：，则点为△DEF的重心，又，，，∴说明:此结论说明当点在部时，点把所分成的三个小三角形的面积之比等于从此点出发分别指向与三个小三角形相对应的顶点的三个向量所组成的线性关系式前面的系数之比。应用举例：设点在部，且，则的面积与的面积之比是：A．2：1B．3：1C．4：3D．3：2分析：由上述结论易得：，所以，应选D当把这些点特定为三角形的“四心〞时，我们就能得到有关三角形“四心〞的一组统一的向量形式。引申：设点在部，且角所对应的边分别为结论1：假设为重心，则分析：重心在三角形的部，且重心把的面积三等分.结论2：为心，则分析：心在三角形的部，且易证S△BOC：S△COA：S△AOB=结论3：为的外心，则分析：易证S△BOC：S△COA：S△AOB=sin2A：sin2B：sin2C.由结论3及结论：为的外心，为的垂心，则可得结论4。结论4：假设为垂心，则即证明：∵对任意有，其中为外心，为垂心，∴，则由平面向量根本定理得：存在唯一的一组不全为0的实数，使得，即，由结论3得：所以有：，所以可得：化简后可得：应用举例：例1：为的心，且，则角的余弦值为。分析：由结论2可得，所以由余弦定理可得：例2：的三边长为，设的外心为，假设，数的值。分析：，整理后即得：.由结论3可得：，又易得，∴.点评：此题的通用解法应该是构造与基底相关的如下方程组：解方程组可得结果。例3：设是的垂心，当时，，数的值.分析：由结论4可得：.而，整理后得：由，可得，∴.而，解得，∴.点评：此题的通用解法应该是仿例2的点评，构造与基底相关的方程组。通过这样的思考、探究，不仅得到了与三角形的“四心〞相关的有用结论，更为重要的是对提高发现问题和解决问题的能力有很大帮助，正契合了新课标对学生能力的要求。所以在平时的教学中要注意引导学生经常做一些类似的思考与探究，将极提高学生的数学素质及思维能力。特别性质：2.三角形四心与面积关系设O是任一点，以O为坐标原点，OA所在直线为*轴，建立直角坐标系。并设显然不共线，由平面向量根本定理，可设则〔ⅰ〕假设O是的心，则故必要性得证．同时还可得到以下结论〔ⅱ〕假设O是的重心，则故〔ⅲ〕假设O是的外心则OFEOFEDCBA〔ⅳ〕假设O是(非直角三角形)的垂心，则故证明：〔A、E、O、F四点共圆〕同理因此只需证先证第一个等式〔E、C、D、O四点共圆,为的补角；E、O、F、A四点共圆,为的补角〕所以上式成立，即第一个等式成立。同理可证：该连等式成立，原题得证。特别性质：3.三角形四心与面积关系1.欧拉点：三个顶点到垂心连线的中点，又称费尔巴哈点。2.欧拉圆：又称“九点圆〞，即3个欧拉点、三边中点和三高垂足九点共圆。3.欧拉线：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线。证明：作△ABC的外接圆，连结并延长BO，交外接圆于点D。连结AD、CD、AH