概率统计试题及答案

填空题〔每题2分，共20分〕A1、记三事件为A，B，C.则用A，B，C及其运算关系可将事件，“A，B，C中只有一个发生〞表示为.A3、P(A)=0.3，P〔B〕＝0.5，当A，B相互独立时，。A4、一袋中有9个红球1个白球，现有10名同学依次从袋中摸出一球〔不放回〕，则第6位同学摸出白球的概率为1/10。A5、假设随机变量在区间上服从均匀分布，则对以及任意的正数，必有概率A6、设服从正态分布，则N(3-2μ,4σ2).A7、设A8、袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取出3只，以表示取出3只球中的最大。则的数学期望4.5。A9、设随机变量的分布律为*Y12310.120.100.2820.1800.12300.150.05则条件概率2/5.A10、设来自正态总体,,当常数=1/4时，服从分布。A二、计算题〔每题10分，共70分〕A1、三台机器因故障要人看管的概率分别为0.1，0.2，0.15，求：〔1〕没有一台机器要看管的概率〔2〕至少有一台机器不要看管的概率〔3〕至多一台机器要看管的概率解：以Aj表示“第j台机器需要人看管〞，j=1，2，3，则:P(A1)=0.1,P(A2)=0.2,P(A3)=0.15,由各台机器间的相互独立性可得A2、甲袋中有n只白球、m只红球；乙袋中有N只白球、M只红球。今从甲袋任取一球放入乙袋后，再从乙袋任取一球。问此球为白球的概率是多少？解：以W甲表示“第一次从甲袋取出的为白球〞，R甲表示“第一次从甲袋取出的为红球〞，W乙表示“第二次从乙袋取出的为白球〞，则所求概率为A3、设随机变量*的概率密度为,试求〔1〕常数A;(2)分布函数;(3)概率。解：〔1〕由归一性可得：，从而A4、〔1〕*的分布律为-10123计算。〔5分〕解：〔2〕、设，求的概率密度.〔5分〕解：Y的密度函数为：A5、设的概率密度为.(1)试求分布函数；(2)求概率其中区域由轴,轴以及直线所围成.解:A6、设二维随机变量的概率密度为,求常数及边缘概率密度.并讨论随机变量的相互独立性。解：由归一性知：显然，故*与Y不相互独立。A7、设总体的概率密度为,其中为未知参数.假设是来自母体的简单子样，试求的矩估计与极大似然估计.解：〔1〕令解得的矩估计为〔2〕似然函数对数似然函数令解得的极大似然估计为A三、证明题〔每题5分，共10分〕A1、为来自总体*的样本，证明当时，为总体均值的无偏估计。证明：设总体均值=μ，由于为来自总体*的样本，因此而为总体均值的无偏估计，故应该有从而A2、设是相互独立的随机变量，它们分别服从参数为的泊松分布，证明服从参数为的泊松分布。证明：由题知，即令，且由的相互独立性可得：即服从参数为的泊松分布B一、填空〔每题2分，共10分〕B1.假设随机变量的概率分布为，，则__________。B2.设随机变量，且，则__________。B3.设随机变量,则__________。B4.设随机变量，则__________。B5.假设随机变量的概率分布为则__________。B二、单项选择(每题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号。每题2分，共20分)B1.设与分别是两个随机变量的分布函数，为使是*一随机变量的分布函数，在以下给定的各组数值中应取〔〕。(A)(B)(C)(D)B2.设随机变量的概率密度为，则〔〕。(A)(B)(C)(D)B3.以下函数为随机变量分布密度的是()。(A)(B)(C)(D)B4.以下函数为随机变量分布密度的是()。(A)(B)(C)(D)B5.设随机变量的概率密度为，，则的概率密度为〔〕。(A)(B)(C)(D)B6.设服从二项分布，则〔〕。(A)(B)(C)(D)B7.设，则〔〕。(A)(B)(C)(D)B8．设随机变量的分布密度为,则〔〕。(A)2 (B)1(C)1/2 (D)4B9．对随机变量来说，如果，则可断定不服从〔〕。(A)二项分布 (B)指数分布(C)正态分布 (D)泊松分布B10．设为服从正态分布的随机变量，则()。(A)9(B)6(C)4(D)-3B三、计算与应用题〔每题8分，共64分〕B1.盒有12个乒乓球，其中9个是新球，3个是旧球。采取不放回抽取，每次取一个，直到取到新球为止。求抽取次数的概率分布。B2.车间中有6名工人在各自独立的工作，每个人在1小时有12分钟需用小吊车。求〔1〕在同一时刻需用小吊车人数的最可能值是多少？〔2〕假设车间中仅有2台小吊车，则因小吊车不够而耽误工作的概率是多少？B3.*种电子元件的寿命是随机变量，其概率密度为求〔1〕常数；〔2〕假设将3个这种元件串联在一条线路上，试计算该线路使用150小时后仍能正常工作的概率。B4.*种电池的寿命〔单位：小时〕是一个随机变量，且。求〔1〕这样的电池寿命在250小时以上的概率；〔2〕，使电池寿命在的概率不小于0.9。B5.设随机变量。求概率密度。B6.假设随机变量服从泊松分布，即，且知。求。B7.设随机变量的概率密度为。求和。B8.一汽车沿一街道行使，需要通过三个均没有红绿灯信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，求红或绿两种信号灯显示的时间相等。以表示该汽车未遇红灯而连续通过的路口数。求〔1〕的概率分布；〔2〕。B四、证明题〔共6分〕设随机变量服从参数为2的指数分布。证明：在区间上，服从均匀分布。试卷二参考答案一、填空1.6由概率分布的性质有即，得。2.，则3.0.54.5.0.25由题设，可设即010.50.5则二、单项选择1.()由分布函数的性质，知则，经历证只有满足，选2.()由概率密度的性质，有3.()由概率密度的性质，有4.()由密度函数的性质，有5.()是单减函数，其反函数为，求导数得由公式，的密度为6.()由服从二项分布，则又由方差的性质知,7.()于是8.(A)由正态分布密度的定义,有9.(D)∴如果时,只能选择泊松分布.10.(D)∵*为服从正态分布N(-1,2),E*=-1∴E(2*-1)=-3三、计算与应用题1.解：设为抽取的次数只有个旧球,所以的可能取值为：由古典概型，有则12342.解：设表示同一时刻需用小吊车的人数，则是一随机变量，由题意有，，于是〔1〕的最可能值为，即概率到达最大的〔2〕3.解：〔1〕由可得〔2〕串联线路正常工作的充要条件是每个元件都能正常工作，而这里三个元件的工作是相互独立的，因此，假设用表示“线路正常工作〞，则而故4.解：〔1〕〔查正态分布表〕〔2〕由题意即查表得。5.解:对应的函数单调增加，其反函数为，求导数得，又由题设知故由公式知：6.解:，则而由题设知即可得故查泊松分布表得，7.解:由数学期望的定义知,而故8.解:〔1〕的可能取值为且由题意,可得即0123〔2〕由离散型随机变量函数的数学期望，有四、证明题证明：由则又由得连续，单调，存在反函数且当时，则故即试卷三C一、填空〔请将正确答案直接填在横线上。每题2分，共10分〕C1.设二维随机变量的联合分布律为，则__________，__________.C2.设随机变量和相互独立，其概率分布分别为，则__________.C3.假设随机变量与相互独立，且，，则服从__________分布.C4.与相互独立同分布，且则__________.C5.设随机变量的数学期望为、方差，则由切比雪夫不等式有__________.C二、单项选择(在每题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号。每题2分，共20分)C1.假设二维随机变量的联合概率密度为，则系数〔〕.(A)(B)(C)(D)C2.设两个相互独立的随机变量和分别服从正态分布和，则以下结论正确的选项是〔〕.(A)(B)(C)(D)C3.设随机向量(*,Y)的联合分布密度为,则〔〕.(A)(*,Y)服从指数分布(B)*与Y不独立(C)*与Y相互独立 (D)cov(*,Y)≠0C4.设随机变量相互独立且都服从区间[0,1]上的均匀分布，则以下随机变量中服从均匀分布的有〔〕.(A)(B)(C)(D)C5.设随机变量与随机变量相互独立且同分布,且,则以下各式中成立的是〔〕.(A)(B)(C)(D)C6．设随机变量的期望与方差都存在,则以下各式中成立的是〔〕.(A)(B)(C)(D)C7.假设随机变量是的线性函数，且随机变量存在数学期望与方差，则与的相关系数〔〕.(A)(B)(C)(D)C8.设是二维随机变量，则随机变量与不相关的充要条件是〔〕.(A)(B)(C)(D)C9.设是个相互独立同分布的随机变量，，则对于，有〔〕.(A)(B)(C)(D)C10.设,为独立同分布随机变量序列，且*i(i=1,2,…)服从参数为λ的指数分布，正态分布N(0,1)的密度函数为,则〔〕.C三、计算与应用题〔每题8分，共64分〕C1.将2个球随机地放入3个盒子，设表示第一个盒子放入的球数，表示有球的盒子个数.求二维随机变量的联合概率分布.C2.设二维随机变量的联合概率密度为〔1〕确定的值；〔2〕求.C3.设的联合密度为〔1〕求边缘密度和；〔2〕判断与是否相互独立.C4.设的联合密度为求的概率密度.C5.设，，且与相互独立.求〔1〕的联合概率密度；〔2〕；〔3〕.C6.设的联合概率密度为求及.C7.对敌人阵地进展100次炮击。每次炮击命中目标的炮弹的数学期望是4，标准差是1.5.求100次炮击中有380至420课炮弹命中目标的概率.C8.抽样检查产品质量时，如果发现次品数多于10个，则认为这批产品不能承受.问应检查多少个产品才能使次品率为10%的这批产品不被承受的概率达0.9.C四、证明题〔共6分〕C设随机变量的数学期望存在，证明随机变量与任一常数的协方差是零.试卷三参考解答一、填空1.由联合分布律的性质及联合分布与边缘分布的关系得2.3.相互独立的正态变量之和仍服从正态分布且，，∴4.5.二、单项选择1.(B)由即∴选择(B).2.(B)由题设可知，故将标准化得∴选择(B).3.(C)∴选择(C).4.(C)∵随机变量相互独立且都服从区间[0,1]上的均匀分布,则∴选择(C).5.(A)∴选择(A).6.(A)∵由期望的性质知∴选择(A).7.(D)∴选择(D).8.(B)与不相关的充要条件是即则∴选择(B).9.(C)∴选择(C).10.(A)*i(i=1,2,…)服从参数为λ的指数分布，则故∴选择(A).三、计算与应用题1