2024届新高考数学一轮复习配套练习专题9.4 双曲线 （新教材新高考）（练）含答案

2024届新高考数学一轮复习配套练习专题9.4双曲线练基础练基础1．（2021·江苏高考真题）已知双曲线的一条渐近线与直线平行，则该双曲线的离心率是（）A． B． C．2 D．2．（2021·北京高考真题）若双曲线离心率为，过点，则该双曲线的程为（）A． B． C． D．3．（2021·山东高考真题）已知是双曲线（，）的左焦点，点在双曲线上，直线与轴垂直，且，那么双曲线的离心率是（）A． B． C．2 D．34．（2021·天津高考真题）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（）A． B． C．2 D．35．（2019·北京高考真题（文））已知双曲线（a＞0）的离心率是则a=（）A． B．4 C．2 D．6．（全国高考真题（文））双曲线的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则的焦距等于（）．A.2 B. C.4 D.7.（2017·天津高考真题（文））已知双曲线的左焦点为，点在双曲线的渐近线上，是边长为2的等边三角形（为原点），则双曲线的方程为（）A. B. C. D.8．（2021·全国高考真题（理））已知双曲线的一条渐近线为，则C的焦距为_________．9．（2019·江苏高考真题）在平面直角坐标系中，若双曲线经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是_____.10.（2020·全国高考真题（文））设双曲线C：(a>0，b>0)的一条渐近线为y=x，则C的离心率为_________．练提升TIDHNEG练提升TIDHNEG1.（2018·全国高考真题（理））设,是双曲线（）的左、右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为()A． B． C． D．2．（2020·云南文山·高三其他（理））已知双曲线上关于原点对称的两个点P，Q，右顶点为A，线段的中点为E，直线交x轴于，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．3．（2020·广东天河·华南师大附中高三月考（文））已知平行于轴的直线与双曲线：的两条渐近线分别交于、两点，为坐标原点，若为等边三角形，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．4．（2021·广东广州市·高三月考）已知，分别是双曲线：的左、右焦点，点是其一条渐近线上一点，且以线段为直径的圆经过点，则点的横坐标为（）A． B． C． D．5.（2020·广西南宁三中其他（理））圆上有且仅有两点到双曲线的一条渐近线的距离为，则该双曲线离心率的取值范围是（）A． B． C． D．6．【多选题】（2021·湖南高三）已知双曲线（，）的左，右焦点为，，右顶点为，则下列结论中，正确的有（）A．若，则的离心率为B．若以为圆心，为半径作圆，则圆与的渐近线相切C．若为上不与顶点重合的一点，则的内切圆圆心的横坐标D．若为直线（）上纵坐标不为0的一点，则当的纵坐标为时，外接圆的面积最小7．【多选题】（2021·重庆巴蜀中学高三月考）已知点是圆：上一动点，点，若线段的垂直平分线交直线于点，则下列结论正确的是（）A．点的轨迹是椭圆B．点的轨迹是双曲线C．当点满足时，的面积D．当点满足时，的面积8．（2021·全国高二课时练习）双曲线的焦距为4，且其渐近线与圆相切，则双曲线的标准方程为______．9．（2021·全国高二单元测试）已知双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，若双曲线上一点使，则的值为______．10．（2021·全国高二课时练习）如图，以为直径的圆有一内接梯形，且．若双曲线以，为焦点，且过，两点，则当梯形的周长最大时，双曲线的离心率为______．练真题TIDHNEG练真题TIDHNEG1.（2021·全国高考真题（理））已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（）A． B． C． D．2．（2020·浙江省高考真题）已知点O（0，0），A（–2，0），B（2，0）．设点P满足|PA|–|PB|=2，且P为函数y=图像上的点，则|OP|=（）A． B． C． D．3.（2019·全国高考真题（理））设F为双曲线C：（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为（）A． B．C．2 D．4.（2019·全国高考真题（理））双曲线C：=1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若，则△PFO的面积为（）A． B． C． D．5.（2021·全国高考真题（文））双曲线的右焦点到直线的距离为________．6．（2019·全国高考真题（理））已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，，则C的离心率为____________．专题9.4双曲线练基础练基础1．（2021·江苏高考真题）已知双曲线的一条渐近线与直线平行，则该双曲线的离心率是（）A． B． C．2 D．【答案】D【分析】写出渐近线，再利用斜率相等，进而得到离心率【详解】双曲线的渐近线为，易知与直线平行，所以.故选：D.2．（2021·北京高考真题）若双曲线离心率为，过点，则该双曲线的程为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】分析可得，再将点代入双曲线的方程，求出的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】，则，，则双曲线的方程为，将点的坐标代入双曲线的方程可得，解得，故，因此，双曲线的方程为.故选：B3．（2021·山东高考真题）已知是双曲线（，）的左焦点，点在双曲线上，直线与轴垂直，且，那么双曲线的离心率是（）A． B． C．2 D．3【答案】A【分析】易得的坐标为，设点坐标为，求得，由可得，然后由a，b，c的关系求得，最后求得离心率即可.【详解】的坐标为，设点坐标为，易得，解得，因为直线与轴垂直，且，所以可得，则，即，所以，离心率为．故选：A.4．（2021·天津高考真题）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（）A． B． C．2 D．3【答案】A【分析】设公共焦点为，进而可得准线为，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得，再由双曲线离心率公式即可得解.【详解】设双曲线与抛物线的公共焦点为，则抛物线的准线为，令，则，解得，所以,又因为双曲线的渐近线方程为，所以，所以，即，所以，所以双曲线的离心率.故选：A.5．（2019·北京高考真题（文））已知双曲线（a＞0）的离心率是则a=（）A． B．4 C．2 D．【答案】D【解析】∵双曲线的离心率，，∴，解得，故选D.6．（全国高考真题（文））双曲线的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则的焦距等于（）．A.2 B. C.4 D.【答案】C【解析】设双曲线的焦距为2c，双曲线的渐进线方程为，由条件可知，，又，解得，故答案选C．7.（2017·天津高考真题（文））已知双曲线的左焦点为，点在双曲线的渐近线上，是边长为2的等边三角形（为原点），则双曲线的方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意结合双曲线的渐近线方程可得：，解得：，双曲线方程为：.本题选择D选项.8．（2021·全国高考真题（理））已知双曲线的一条渐近线为，则C的焦距为_________．【答案】4【分析】将渐近线方程化成斜截式，得出的关系，再结合双曲线中对应关系，联立求解，再由关系式求得，即可求解.【详解】由渐近线方程化简得，即，同时平方得，又双曲线中，故，解得（舍去），，故焦距.故答案为：4.9．（2019·江苏高考真题）在平面直角坐标系中，若双曲线经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是_____.【答案】.【解析】由已知得，解得或，因为，所以.因为，所以双曲线的渐近线方程为.10.（2020·全国高考真题（文））设双曲线C：(a>0，b>0)的一条渐近线为y=x，则C的离心率为_________．【答案】【解析】由双曲线方程可得其焦点在轴上，因为其一条渐近线为，所以，.故答案为：练提升TIDHNEG练提升TIDHNEG1.（2018·全国高考真题（理））设,是双曲线（）的左、右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为()A． B． C． D．【答案】B【解析】由题可知在中，在中,故选B.2．（2020·云南文山·高三其他（理））已知双曲线上关于原点对称的两个点P，Q，右顶点为A，线段的中点为E，直线交x轴于，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由已知得M为的重心，∴，又，∴，即.故选:D.3．（2020·广东天河·华南师大附中高三月考（文））已知平行于轴的直线与双曲线：的两条渐近线分别交于、两点，为坐标原点，若为等边三角形，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为为等边三角形，所以渐近线的倾斜角为，所以所以.故选：A4．（2021·广东广州市·高三月考）已知，分别是双曲线：的左、右焦点，点是其一条渐近线上一点，且以线段为直径的圆经过点，则点的横坐标为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意可设，根据圆的性质有，利用向量垂直的坐标表示，列方程求即可.【详解】由题设，渐近线为，可令，而，，∴，，又，∴.故选：C5.（2020·广西南宁三中其他（理））圆上有且仅有两点到双曲线的一条渐近线的距离为，则该双曲线离心率的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】双曲线的一条渐近线为，圆，圆心，半径因为圆上有且仅有两点到的距离为1，所以圆心到的距离的范围为即，而所以，即故选C项.6．【多选题】（2021·湖南高三）已知双曲线（，）的左，右焦点为，，右顶点为，则下列结论中，正确的有（）A．若，则的离心率为B．若以为圆心，为半径作圆，则圆与的渐近线相切C．若为上不与顶点重合的一点，则的内切圆圆心的横坐标D．若为直线（）上纵坐标不为0的一点，则当的纵坐标为时，外接圆的面积最小【答案】ABD【分析】由，得到，利用离心率的定义，可判定A正确；由双曲线的几何性质和点到直线的距离公式，可判定B正确；由双曲线的定义和内心的性质，可判定C不正确；由正弦定理得到外接圆的半径为，得出最大时，最小，只需最大，设，得到，结合基本不等式，可判定D正确．【详解】对于A中，因为，所以，故的离心率，所以A正确；对于B中，因为到渐近线的距离为，所以B正确；对于C中，设内切圆与的边分别切于点，设切点，当点在双曲线的右支上时，可得，解得，当点在双曲线的左支上时，可得，所以的内切圆圆心的横坐标，所以C不正确；对于D中，由正弦定理，可知外接圆的半径为，所以当最大时，最小，因为，所以为锐角，故最大，只需最大．由对称性，不妨设（），设直线与轴的交点为，在直角中，可得，在直角中，可得，又由，当且仅当，即时，取最大值，由双曲线的对称性可知，当时，也取得最大值，所以D正确．故选：ABD．7．【多选题】（2021·重庆巴蜀中学高三月考）已知点是圆：上一动点，点，若线段的垂直平分线交直线于点，则下列结论正确的是（）A．点的轨迹是椭圆B．点的轨迹是双曲线C．当点满足时，的面积D．当点满足时，的面积【答案】BCD【分析】根据的结果先判断出点的轨迹是双曲线，由此判断AB选项；然后根据双曲线的定义以及垂直对应的勾股定理分别求解出的值，即可求解出，据此可判断CD选项.【详解】依题意，，，因线段的垂直平分线交直线于点，于是得，当点在线段的延长线上时，，当点在线段的延长线上时，，从而得，由双曲线的定义知，点的轨迹是双曲线，故A错，B对；选项C，点的轨迹方程为，当时，，所以，故C对；选项D，当时，，所以，故D对，故选：BCD.8．（2021·全国高二课时练习）双曲线的焦距为4，且其渐近线与圆相切，则双曲线的标准方程为______．【答案】【分析】根据焦距，可求得c值，根据渐近线与圆相切，可得圆心到直线的距离等于半径1，根据a，b，c的关系，即可求得a，b值，即可得答案.【详解】因为双曲线的焦距为4，所以．由双曲线的两条渐近线与圆相切，可得．又，所以，，所以双曲线的标准方程为．故答案为：9．（2021·全国高二单元测试）已知双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，若双曲线上一点使，则的值为______．【答案】3【分析】在中，设，则或．分别运用余弦定理可求得答案.【详解】解：由已知得．在中，设，则或．当时，由余弦定理，得，解得，所以．当时，由余弦定理，得，无解．故．故答案为：3.10．（2021·全国高二课时练习）如图，以为直径的圆有一内接梯形，且．若双曲线以，为焦点，且过，两点，则当梯形的周长最大时，双曲线的离心率为______．【答案】【分析】连接，设，将梯形的周长表示成关于的函数，求出当时，有最大值，即可得到答案；【详解】连接，设，，作于点，则，，所以，梯形的周长．当，即时，有最大值，这时，，，，．故答案为：练真题TIDHNEG练真题TIDHNEG1.（2021·全国高考真题（理））已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出，结合余弦定理可得答案.【详解】因为，由双曲线的定义可得，所以，；因为,由余弦定理可得，整理可得，所以，即.故选：A2．（2020·浙江省高考真题）已知点O（0，0），A（–2，0），B（2，0）．设点P满足|PA|–|PB|=2，且P为函数y=图像上的点，则|OP|=（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，所以点在以为焦点，实轴长为，焦距为的双曲线的右支上，由可得，，即双曲线的右支方程为，而点还在函数的图象上，所以，由，解得，即．故选：D.3.（2019·全国高考真题（理））设F为双曲线C：（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为（）A． B．C．2 D．【答案】A【解析】设与轴交于点，由对称性可知轴，又，为以为直径的圆的半径，为圆心．，又点在圆上，，即．，故选A．4.（2019·全国高考真题（理））双曲线C：=1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若，则△PFO的面积为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由．，又P在C的一条渐近线上，不妨设为在上，，故选A．5.（2021·全国高考真题（文））双曲线的右焦点到直线的距离为________．【答案】【分析】先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解.【详解】由已知，，所以双曲线的右焦点为，所以右焦点到直线的距离为.故答案为：6．（2019·全国高考真题（理））已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，，则C的离心率为____________．【答案】2.【解析】如图，由得又得OA是三角形的中位线，即由，得则有，又OA与OB都是渐近线，得又，得．又渐近线OB的斜率为，所以该双曲线的离心率为．专题9.5抛物线练基础练基础1.（2020·全国高考真题（理））已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（）A．2 B．3 C．6 D．92．（2020·北京高三二模）焦点在x轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为4的抛物线的标准方程是（）A．x2＝4y B．y2＝4x C．x2＝8y D．y2＝8x3.（全国高考真题）设为抛物线的焦点，曲线与交于点，轴，则（）A． B． C． D．4．（2020·全国高考真题（文））设为坐标原点，直线与抛物线C：交于，两点，若，则的焦点坐标为（）A． B． C． D．5.（2019·四川高三月考（文））若抛物线的准线为圆的一条切线，则抛物线的方程为（）A. B. C. D.6.（2019·北京高考真题（文））设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l.则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为__________．7.（2019·山东高三月考（文））直线与抛物线相交于，两点，当时，则弦中点到轴距离的最小值为______.8.（2021·沙湾县第一中学（文））设过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且直线AB的倾斜角为，则线段AB的长是____，焦点F到A，B两点的距离之积为_________.9．（2021·全国高三专题练习）已知抛物线顶点在原点，焦点在坐标轴上，又知此抛物线上的一点到焦点的距离为，则的值为__________；抛物线方程为__________.10.（2019·广东高三月考（理））已知为抛物线的焦点，直线与相交于两点.若，求的值；点，若，求直线的方程.练提升TIDHNEG练提升TIDHNEG1．（2021·吉林长春市·高三（理））已知是抛物线上的一点，是抛物线的焦点，若以为始边，为终边的角，则等于（）A． B． C． D．2.（2017·全国高考真题（文））过抛物线的焦点，且斜率为的直线交于点（在轴上方），为的准线，点在上且，则点到直线的距离为（）A. B. C. D.3．（2020·广西南宁三中其他（理））已知抛物线的焦点为，是抛物线的准线上的一点，且的纵坐标为正数，是直线与抛物线的一个交点，若，则直线的方程为（）A． B．C． D．4.（2020·浙江高三月考）如图，已知抛物线和圆，直线经过的焦点，自上而下依次交和于A，B，C，D四点，则的值为（）A． B． C．1 D．25．【多选题】（2022·全国高三专题练习）已知抛物线与双曲线有相同的焦点，点在抛物线上，则下列结论正确的有（）A．双曲线的离心率为2 B．双曲线的渐近线为C． D．点P到抛物线的焦点的距离为46．【多选题】（2021·海南鑫源高级中学）在下列四个命题中，真命题为（）A．当a为任意实数时，直线(a-1)x-y+2a+1=0恒过定点P，则过点P且焦点在y轴上的抛物线的标准方程是B．已知双曲线的右焦点为(5，0)，一条渐近线方程为2x-y=0，则双曲线的标准方程为C．抛物线y=ax2(a≠0)的准线方程D．已知双曲线，其离心率，则m的取值范围(-12，0)7．（2021·全国高二课时练习）已知点为抛物线上一点，若点到两定点，的距离之和最小，则点的坐标为______．8．（2021·全国高二课时练习）抛物线的焦点为，已知点，为抛物线上的两个动点，且满足，过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为______.9．（2020·山东济南外国语学校高三月考）抛物线：的焦点坐标是________；经过点的直线与抛物线相交于，两点，且点恰为的中点，为抛物线的焦点，则________.10.（2019·四川高考模拟（文））抛物线：的焦点为，抛物线过点.（Ⅰ）求抛物线的标准方程与其准线的方程；（Ⅱ）过点作直线与抛物线交于，两点，过，分别作抛物线的切线，证明两条切线的交点在抛物线的准线上.练真题TIDHNEG练真题TIDHNEG1．（2021·全国高考真题）抛物线的焦点到直线的距离为，则（）A．1 B．2 C． D．42．（2021·天津高考真题）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（）A． B． C．2 D．33．（2020·北京高考真题）设抛物线的顶点为，焦点为，准线为．是抛物线上异于的一点，过作于，则线段的垂直平分线（）．A．经过点 B．经过点C．平行于直线 D．垂直于直线4.（2021·全国高考真题）已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为______.5．（2020·山东海南省高考真题）斜率为的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则=________．6．（2020·浙江省高考真题）如图，已知椭圆，抛物线，点A是椭圆与抛物线的交点，过点A的直线l交椭圆于点B，交抛物线于M（B，M不同于A）．（Ⅰ）若，求抛物线的焦点坐标；（Ⅱ）若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值．专题9.5抛物线练基础练基础1.（2020·全国高考真题（理））已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（）A．2 B．3 C．6 D．9【答案】C【解析】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知，即，解得.故选：C.2．（2020·北京高三二模）焦点在x轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为4的抛物线的标准方程是（）A．x2＝4y B．y2＝4x C．x2＝8y D．y2＝8x【答案】D【解析】根据题意，要求抛物线的焦点在x轴的正半轴上，设其标准方程为，又由焦点到准线的距离为4，即p＝4，故要求抛物线的标准方程为y2＝8x，故选：D.3.（全国高考真题）设为抛物线的焦点，曲线与交于点，轴，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由抛物线的性质可得，故选D.4．（2020·全国高考真题（文））设为坐标原点，直线与抛物线C：交于，两点，若，则的焦点坐标为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为直线与抛物线交于两点，且，根据抛物线的对称性可以确定，所以，代入抛物线方程，求得，所以其焦点坐标为，故选：B.5.（2019·四川高三月考（文））若抛物线的准线为圆的一条切线，则抛物线的方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵抛物线的准线方程为，垂直于x轴．而圆垂直于x轴的一条切线为，则，即．故抛物线的方程为．故选：C．6.（2019·北京高考真题（文））设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l.则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为__________．【答案】(x-1)2+y2=4.【解析】抛物线y2=4x中，2p=4，p=2，焦点F（1,0），准线l的方程为x=-1，以F为圆心，且与l相切的圆的方程为(x-1)2+y2=22,即为(x-1)2+y2=4.7.（2019·山东高三月考（文））直线与抛物线相交于，两点，当时，则弦中点到轴距离的最小值为______.【答案】【解析】由题意，抛物线的焦点坐标为（0，），根据抛物线的定义如图，所求d=故答案为：．8.（2021·沙湾县第一中学（文））设过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且直线AB的倾斜角为，则线段AB的长是____，焦点F到A，B两点的距离之积为_________.【答案】88【分析】由题意可得直线AB的方程为，然后将直线方程与抛物线方程联立方程组，消去后，利用根与系数的关系，结合抛物线的定义可求得答案【详解】解：由题意得，则直线AB的方程为，设，由，得，所以，所以，因为，所以，故答案为：8，89．（2021·全国高三专题练习）已知抛物线顶点在原点，焦点在坐标轴上，又知此抛物线上的一点到焦点的距离为，则的值为__________；抛物线方程为__________.【答案】答案见解析答案见解析【分析】由于抛物线的开口方向未定，根据点在抛物线上这一条件，抛物线开口向下，向左、向右均有可能，以此分类讨论，利用焦半径公式列方程可得的值，根据点在抛物线上可得的值.【详解】根据点在抛物线上，可知抛物线开口向下，向左、向右均有可能，当抛物线开口向下时，设抛物线方程为（），此时准线方程为，由抛物线定义知，解得.所以抛物线方程为，这时将代入方程得.当抛物线开口向左或向右时，可设抛物线方程为（），从知准线方程为，由题意知，解此方程组得，，，，综合（1）、（2）得，；，；，；，；，.故答案为：，，，，；，，，，.10.（2019·广东高三月考（理））已知为抛物线的焦点，直线与相交于两点.若，求的值；点，若，求直线的方程.【答案】（1）（2）【解析】（1）由题意，可得，设，联立方程组，整理得，则，，又由.（2）由题意，知，，，由，可得又，，则，整理得，解得，所以直线的方程为.练提升TIDHNEG练提升TIDHNEG1．（2021·吉林长春市·高三（理））已知是抛物线上的一点，是抛物线的焦点，若以为始边，为终边的角，则等于（）A． B． C． D．【答案】D【分析】设点，取，可得，求出的值，利用抛物线的定义可求得的值.【详解】设点，其中，则，，取，则，可得，因为，可得，解得，则，因此，.故选：D.2.（2017·全国高考真题（文））过抛物线的焦点，且斜率为的直线交于点（在轴上方），为的准线，点在上且，则点到直线的距离为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设直线与轴相交于点，与直线相交于点，，设，因为，所以，所以，解得：，设，由焦半径公式得：，所以，，所以，所以点到直线的距离为.3．（2020·广西南宁三中其他（理））已知抛物线的焦点为，是抛物线的准线上的一点，且的纵坐标为正数，是直线与抛物线的一个交点，若，则直线的方程为（）A． B．C． D．【答案】B【解析】过点作于，因为，由抛物线的定义得，所以在中，，所以，所以直线的斜率为，所以直线的方程为，即，故选B.4.（2020·浙江高三月考）如图，已知抛物线和圆，直线经过的焦点，自上而下依次交和于A，B，C，D四点，则的值为（）A． B． C．1 D．2【答案】C【解析】因为抛物线的焦点为，又直线经过的焦点，设直线，由得，设，则由题意可得：，同理，所以.故选C5．【多选题】（2022·全国高三专题练习）已知抛物线与双曲线有相同的焦点，点在抛物线上，则下列结论正确的有（）A．双曲线的离心率为2 B．双曲线的渐近线为C． D．点P到抛物线的焦点的距离为4【答案】ACD【分析】由双曲线方程写出离心率、渐近线及焦点，即可知A、B、C的正误，根据所得抛物线方程求，即知D的正误.【详解】双曲线的离心率为，故A正确；双曲线的渐近线为，故B错误；由有相同焦点，即，即，故C正确；抛物线焦点为，点在上，则，故或，所以P到的焦点的距离为4，故D正确．故选：ACD．6．【多选题】（2021·海南鑫源高级中学）在下列四个命题中，真命题为（）A．当a为任意实数时，直线(a-1)x-y+2a+1=0恒过定点P，则过点P且焦点在y轴上的抛物线的标准方程是B．已知双曲线的右焦点为(5，0)，一条渐近线方程为2x-y=0，则双曲线的标准方程为C．抛物线y=ax2(a≠0)的准线方程D．已知双曲线，其离心率，则m的取值范围(-12，0)【答案】ACD【分析】求出直线定点设出抛物方程即可判断A；根据渐近线方程与焦点坐标求出即可判断B；根据抛物线方程的准线方程公式即可判断C；利用双曲线离心率公式即可判断D．【详解】对A选项，直线(a-1)x-y+2a+1=0恒过定点为，则过点且焦点在y轴上的抛物线的标准方程设为，将点代入可得，所以，故A正确；对B选项，知，又，解得，所以双曲线的标准方程为，故B错；对C选项，得，所以准线方程，正确；对D选项，化双曲线方程为，所以，解得，故正确．故选：ACD7．（2021·全国高二课时练习）已知点为抛物线上一点，若点到两定点，的距离之和最小，则点的坐标为______．【答案】【分析】过点作抛物线准线的垂线，垂足为，根据抛物线的定义可得，易知当，，三点共线时取得最小值且为，进而可得结果.【详解】过点作抛物线准线的垂线，垂足为，由抛物线的定义，知点到焦点的距离与点到准线的距离相等，即，所以，易知当，，三点共线时，取得最小值，所以，此时点的坐标为．故答案为：8．（2021·全国高二课时练习）抛物线的焦点为，已知点，为抛物线上的两个动点，且满足，过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为______.【答案】【分析】设，，根据中位线定理以及抛物线定义可得，在中，由余弦定理以及基本不等式可得，即可求得的最大值．【详解】设，，作垂直抛物线的准线于点，垂直抛物线的准线于点.由抛物线的定义，知，.由余弦定理得.又，∴，当且仅当时，等号成立，∴，∴，即的最大值为.故答案为：．9．（2020·山东济南外国语学校高三月考）抛物线：的焦点坐标是________；经过点的直线与抛物线相交于，两点，且点恰为的中点，为抛物线的焦点，则________.【答案】9【解析】抛物线：的焦点．

过作准线交准线于，过作准线交准线于，过作准线交准线于，

则由抛物线的定义可得．

再根据为线段的中点，，∴，

故答案为：焦点坐标是，．10.（2019·四川高考模拟（文））抛物线：的焦点为，抛物线过点.（Ⅰ）求抛物线的标准方程与其准线的方程；（Ⅱ）过点作直线与抛物线交于，两点，过，分别作抛物线的切线，证明两条切线的交点在抛物线的准线上.【答案】（Ⅰ）抛物