2024届新高考数学一轮复习配套练习专题7.6 数学归纳法 （新教材新高考）（练）含答案

2024届新高考数学一轮复习配套练习专题7.6数学归纳法练基础练基础1．（2021·全国高三专题练习（理））用数学归纳法证明等式时，从到等式左边需增添的项是（）A．B．C．D．2．（2020·全国高三专题练习）已知n为正偶数，用数学归纳法证明1-+…+=2时，若已假设n=k(k≥2，k为偶数)时命题成立，则还需要用归纳假设证（）A．n=k+1时等式成立 B．n=k+2时等式成立C．n=2k+2时等式成立 D．n=2(k+2)时等式成立3．（2020·全国高三专题练习（理））用数学归纳法证明不等式“1＋＋＋…＋＜n(n∈N*，n≥2)”时，由n＝k(k≥2)时不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项数是（）A．2k－1 B．2k－1C．2k D．2k＋14．（2021·全国高三专题练习（理））用数学归纳法证明不等式时，可将其转化为证明（）A．B．C．D．5．（2019·浙江高二月考）利用数学归纳法证明“”的过程中，由假设“”成立，推导“”也成立时，左边应增加的项数是（）A． B． C． D．6．（2020·上海徐汇区·高三一模）用数学归纳法证明能被整除时，从到添加的项数共有__________________项（填多少项即可）．7.（2019·湖北高考模拟（理））已知正项数列满足，前项和满足，则数列的通项公式为______________．8.（2019届江苏省扬州市仪征中学摸底）已知正项数列an中，a1=1,9.（2021·全国高三专题练习）数列满足.（1）计算，并猜想的通项公式；（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.10．（2021·全国高三专题练习（理））已知数列{an}满足：，点在直线上．（1）求的值，并猜想数列{an}的通项公式；（2）用数学归纳法证明（1）中你的猜想．练提升TIDHNEG练提升TIDHNEG1．（2021·全国）已知数列满足，，则当时，下列判断一定正确的是（）A． B．C． D．2．（2021·浙江高三专题练习）已知数列，满足，，则（）A． B．C． D．3．（2020·浙江省桐庐中学）数列满足，，则以下说法正确的个数（）①；②；③对任意正数，都存在正整数使得成立；④.A．1 B．2 C．3 D．44．（2021·全国高三其他模拟（理））已知数列满足：，，前项和为（参考数据：，，则下列选项错误的是（）.A．是单调递增数列，是单调递减数列B．C．D．5．（2021·上海市建平中学高三开学考试）有限集的全部元素的积称为该数集的“积数”，例如的“积数”为2，的“积数”为6，的“积数”为，则数集的所有非空子集的“积数”的和为___________.6．（2021·浙江高三期末）已知数列满足，前项和为，若，且对任意的，均有，，则_______；______.7．（2020·江苏南通·高三其他）数列的前n项和为，记，数列满足，，且数列的前n项和为．（1）请写出，，满足的关系式，并加以证明；（2）若数列通项公式为，证明：．8.（2020届浙江省“山水联盟”高三下学期开学）已知等比数列的公比，且，是，的等差中项，数列满足：数列的前项和为．（1）求数列、的通项公式；（2）数列满足：，，证明9．（2020届浙江省嘉兴市3月模拟）设数列的前项和为，已知，，成等差数列，且，．（1）求数列的通项公式；（2）记，，证明：，．10.已知点Pn(an,bn)满足（1）求过点P1（2）试用数学归纳法证明：对于n∈N*，点Pn练真题TIDHNEG练真题TIDHNEG1．（2020·全国高考真题（理））设数列{an}满足a1=3，．（1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；（2）求数列{2nan}的前n项和Sn．2.（2017浙江）已知数列满足：，．证明：当时（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）．3．(湖北省高考真题)已知数列的各项均为正数，，e为自然对数的底数．（Ⅰ）求函数的单调区间，并比较与e的大小；（Ⅱ）计算，，，由此推测计算的公式，并给出证明；（Ⅲ）令，数列，的前项和分别记为,,证明：．4.（2021·全国高三专题练习）设数列{an}满足a1=3，．（1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；（2）求数列{2nan}的前n项和Sn．5.(江苏省高考真题)已知函数，设为的导数，．（Ⅰ）求的值；（2）证明：对任意的，等式成立．6.（2021·上海普陀区·高三其他模拟）如图，曲线与直线相交于，作交轴于，作交曲线于，……，以此类推.（1）写出点和的坐标；（2）猜想的坐标，并用数学归纳法加以证明.专题7.6数学归纳法练基础练基础1．（2021·全国高三专题练习（理））用数学归纳法证明等式时，从到等式左边需增添的项是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】分别写出和时，等式左边的表达式，比较2个式子，可得出答案.【详解】当时，左边，共个连续自然数相加，当时，左边，所以从到，等式左边需增添的项是.故选：C.2．（2020·全国高三专题练习）已知n为正偶数，用数学归纳法证明1-+…+=2时，若已假设n=k(k≥2，k为偶数)时命题成立，则还需要用归纳假设证（）A．n=k+1时等式成立 B．n=k+2时等式成立C．n=2k+2时等式成立 D．n=2(k+2)时等式成立【答案】B【解析】直接利用数学归纳法的证明方法，判断选项即可．【详解】解：由数学归纳法的证明步骤可知，假设为偶数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证下一个偶数，即时等式成立，不是，因为是偶数，是奇数，故选：．3．（2020·全国高三专题练习（理））用数学归纳法证明不等式“1＋＋＋…＋＜n(n∈N*，n≥2)”时，由n＝k(k≥2)时不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项数是（）A．2k－1 B．2k－1C．2k D．2k＋1【答案】C【解析】根据数学归纳法、不等式特点知有左侧，有左侧，即可判断增加的项数.【详解】时，左边=，而n＝k＋1时，左边＝，增加了，共(2k＋1－1)－(2k－1)＝2k项，故选：C.4．（2021·全国高三专题练习（理））用数学归纳法证明不等式时，可将其转化为证明（）A．B．C．D．【答案】B【解析】各选项左侧一样，要转化证明不等式只需右端的部分小于，利用排除法即可.【详解】根据放缩法证明不等式，首先排除A，C；D选项当时，左端值为，右端为，不等式不成立，故只要证明B成立，原不等式即成立.故选：B.5．（2019·浙江高二月考）利用数学归纳法证明“”的过程中，由假设“”成立，推导“”也成立时，左边应增加的项数是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】利用数学归纳法证明“”的过程中，假设“”成立;当时，左边为故增加的项数为项.故答案为：C.6．（2020·上海徐汇区·高三一模）用数学归纳法证明能被整除时，从到添加的项数共有__________________项（填多少项即可）．【答案】5【解析】分别写出和时的对应的结果，再比较差异，得到答案.【详解】当时，原式为：，当时，原式为，比较后可知多了，共5项.故答案为：57.（2019·湖北高考模拟（理））已知正项数列满足，前项和满足，则数列的通项公式为______________．【答案】【解析】当时，；当时，；当时，；当时，，猜想得，故，下面用数学归纳法证明：①，满足，②假设时，结论成立，即，可得，则，，也满足，结合①②可知，，故答案为．8.（2019届江苏省扬州市仪征中学摸底）已知正项数列an中，a1=1,【答案】见解析.【解析】当n=1时，a2=1+a11+a假设n=k（k∈N*）时，ak<ak+2-=a所以，n=k+1时，不等式成立．综上所述，不等式an9.（2021·全国高三专题练习）数列满足.（1）计算，并猜想的通项公式；（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.【答案】(1)；；；.(2)证明见解析.【详解】分析：（1）将n进行赋值，分别求得前三项的数值，猜想归纳处通项；（2）利用数学归纳法的证明步骤，证明猜想即可.详解：（1）当时，，∴；当时，，∴；当时，，∴；由此猜想；（2）证明：①当时，结论成立，②假设（，且）时结论成立，即，当时，，∴，∴，∴当时结论成立，由①②可知对于一切的自然数，成立.10．（2021·全国高三专题练习（理））已知数列{an}满足：，点在直线上．（1）求的值，并猜想数列{an}的通项公式；（2）用数学归纳法证明（1）中你的猜想．【答案】（1），，；；（2）证明见解析.【解析】（1）先将点坐标代入直线方程，得到递推关系，再依次求出前几项，猜想通项公式；（2）结合递推关系，用数学归纳法证明.【详解】(1)点在直线上可知，数列满足：，

，．可猜得．

(2)当时，成立，

假设当时，成立，则当时，成立，

就是说，猜想正确；综上，．练提升TIDHNEG练提升TIDHNEG1．（2021·全国）已知数列满足，，则当时，下列判断一定正确的是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】根据特殊值法，分别令，，即可判断ABD错误；再由数学归纳法证明C选项正确.【详解】因为数列满足，，若，则，不满足，故A错误；若，则，，，不满足，故D错误；又此时，不满足，故B错误；因为，所以，当且仅当，即时，等号成立；构造函数，，，所以，则在上显然恒成立，所以在上单调递增；因此在上单调递增，所以，猜想，对任意恒成立；下面用数学归纳法证明：（1）当时，，显然成立；（2）假设当时，不等式成立，即恒成立；则时，，因为函数在上单调递增；所以，即成立；由（1）（2）可得；，对任意恒成立；故C正确.故选：C.2．（2021·浙江高三专题练习）已知数列，满足，，则（）A． B．C． D．【答案】B【解析】转化条件为，令，通过导数可得单调递增，通过数学归纳法可证明如果，则，再令，通过导数证明后，适当放缩可得，进而可证明，即可得解.【详解】因为，所以，令，则，当时，，单调递增，由题意，，如果，则，设，则，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，即，因为，所以，所以，所以对于任意的，均有，所以.故选：B.3．（2020·浙江省桐庐中学）数列满足，，则以下说法正确的个数（）①；②；③对任意正数，都存在正整数使得成立；④.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】利用二次函数的性质及递推关系得，然后作差，可判断①，已知等式变形为，求出平方和可得②成立，利用简单的放缩可得，可判断③，利用数学归纳法思想判断④．【详解】，若，则，∴，∴，①正确；由已知，∴，②正确；由及①得，，∴，显然对任意的正数，在在正整数，使得，此时成立，③正确；(i)已知成立，(ii)假设，则，又，即，∴，由数学归纳法思想得④正确．∴4个命题都正确．故选：D．4．（2021·全国高三其他模拟（理））已知数列满足：，，前项和为（参考数据：，，则下列选项错误的是（）.A．是单调递增数列，是单调递减数列B．C．D．【答案】C【解析】设，则有，，，构建，求导分析可知导函数恒大于零，即数列，都是单调数列，分别判定，，即得单调性，数列与的单调性一致，可判定A选项正确；B、C选项利用分析法证明，可知B正确，C错误；D选项利用数学归纳法证分两边证，即可证得.【详解】∵，，∴，，，设，，，则，令，则，∴单调递增，将，看作是函数图象上两点，则，∴数列，都是单调数列，，同理，，，即，，∴单调递增，单调递减，而数列与的单调性一致，∴是单调递增数列，是单调递减数列，A正确；由得，要证，即证，即，即证，也即要证，等价于，显然时，，时，，故成立，∴不等式成立．B正确；欲证，只需证，即即，显然成立，故，所以，故C选项错误；欲证，因单调性一致则只需证，只需证因为，若，则；又因为，若，则，由数学归纳法有，则成立故D选项正确。故选：C5．（2021·上海市建平中学高三开学考试）有限集的全部元素的积称为该数集的“积数”，例如的“积数”为2，的“积数”为6，的“积数”为，则数集的所有非空子集的“积数”的和为___________.【答案】1010【解析】先利用数学归纳法证明一个结论：对于有限非空数集，积数和，由此即可计算得到答案.【详解】先利用数学归纳法证明一个结论：对于有限非空数集，积数和当时，，成立；假设时，当时，综上可得，，则数集的所有非空子集的“积数”的和为：故答案为：1010.6．（2021·浙江高三期末）已知数列满足，前项和为，若，且对任意的，均有，，则_______；______.【答案】12146【解析】由递推关系计算出，再计算出，然后可以计算，归纳出的通项公式（可用数学归纳法证明），求得和．【详解】因为，，由已知，，，，，，，，，归纳结论，，证明：（1），由上面知已经成立；假设时，假设成立，即，，则，，，由数学归纳法知，，对一切成立．．故答案为：1；2146．7．（2020·江苏南通·高三其他）数列的前n项和为，记，数列满足，，且数列的前n项和为．（1）请写出，，满足的关系式，并加以证明；（2）若数列通项公式为，证明：．【答案】（1），证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1），，之间满足的关系式是：，证明如下：当时，，所以成立，假设当时，成立，即，当时，，所以成立，所以成立.（2）由（1）得，即，因为，所以，当时，，成立；假设当时，成立，，当时，，所以当时，不等式成立，所以.证毕.8.（2020届浙江省“山水联盟”高三下学期开学）已知等比数列的公比，且，是，的等差中项，数列满足：数列的前项和为．（1）求数列、的通项公式；（2）数列满足：，，证明【答案】（1），；（2）详见解析.【解析】（1）由题意，得，即，解得或，已知故．，．当时，，当时，，当时，满足上式，，．（2）法1．，，累加得当，，当，∴法2．先用数学归纳法证明当，．①当时，，左式>右式，不等式成立．②假设时，不等式成立，即当时，，因为在上单调递增，由，得，即，可得，不等式也成立．③由①②得证当，．.9．（2020届浙江省嘉兴市3月模拟）设数列的前项和为，已知，，成等差数列，且，．（1）求数列的通项公式；（2）记，，证明：，．【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）因为，，成等差数列，即，当时，，两式相减得，所以是公比为2的等比数列，即，即，由，得，所以的通项公式．（2）方法一（放缩法）：因为，，所以，当时，所以，当时，，取到“”号，综上所述，，方法二（数学归纳法）：因为，，所以，当时，左边，右边，原不等式成立；假设当时，原不等式成立，即，那么，当时，左边，即时也成立，由此可知，原不等式对于任意的均成立．10.已知点Pn(an,bn)满足（1）求过点P1（2）试用数学归纳法证明：对于n∈N*，点Pn【答案】（1）2x+y-1=0.（2）见解析.【解析】(1)由P1的坐标为(1,−1)知：a1=1，b1=−1.∴b2=b11-4a12=13,∴点P2的坐标为13∴直线l的方程为2x+y-1=0.(2)要证明原问题成立只需证明点Pn都满足2x+y=1即可①当n=1时，2a1+b1=2×1+(−1)=1，成立.②假设n=k(k∈N*,k⩾1)时，2ak+bk=1成立，即则2ak+1+bk+1=2ak⋅bk+1+bk+1=bk1-4∴当n=k+1时，命题也成立.由①②知，对n∈N∗，都有2an+bn=1，即点Pn在直线l上练真题TIDHNEG练真题TIDHNEG1．（2020·全国高考真题（理））设数列{an}满足a1=3，．（1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；（2）求数列{2nan}的前n项和Sn．【答案】（1），，，证明见解析；（2）.【解析】（1）由题意可得，，由数列的前三项可猜想数列是以为首项，2为公差的等差数列，即，证明如下：当时，成立；假设时，成立.那么时，也成立.则对任意的，都有成立；（2）由（1）可知，，①，②由①②得：，即.2.（2017浙江）已知数列满足：，．证明：当时（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）．【答案】见解析【解析】（Ⅰ）用数学归纳法证明：当时，假设时，，那么时，若，则，矛盾，故．因此所以因此（Ⅱ）由得记函数函数在上单调递增，所以=0，因此故（Ⅲ）因为所以得由得所以故综上，．3．(湖北省高考真题)已知数列的各项均为正数，，e为自然对数的底数．（Ⅰ）求函数的单调区间，并比较与e的大小；（Ⅱ）计算，，，由此推测计算的公式，并给出证明；（Ⅲ）令，数列，的前项和分别记为,,证明：．【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）；；．（Ⅲ）见解析.【解析】（Ⅰ）的定义域为，．当，即时，单调递增；当，即时，单调递减．故的单调递增区间为，单调递减区间为．当时，，即．令，得，即．①（Ⅱ）；；．由此推测：．②下面用数学归纳法证明②．（1）当时，左边右边，②成立．（2）假设当时，②成立，即．当时，，由归纳假设可得．所以当时，②也成立．根据（1）（2），可知②对一切正整数n都成立．（Ⅲ）由的定义，②，算术-几何平均不等式，的定义及①得，即．4.（2021·全国高三专题练习）设数列{an}满足a1=3，．（1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；（2）求数列{2nan}的前n项和Sn．【答案】（1），，，证明见解析；（2）.【解析】（1）利用递推公式得出，猜想得出的通项公式，利用数学归纳法证明即可；（2）由错位相减法求解即可.【详解】（1）由题意可得，，由数列的前三项可猜想数列是以为首项，2为公差的等差数列，即，证明如下：当时，成立；假设时，成立.那么时，也成立.则对任意的，都有成立；（2）由（1）可知，，①，②由①②得：，即.5.(江苏省高考真题)已知函数，设为的导数，．（Ⅰ）求的值；（2）证明：对任意的，等式成立．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）证明：见解析.【解析】（Ⅰ）由已知，得于是所以故（Ⅱ）证明：由已知，得等式两边分别对x求导，得，即，类似可得，，.下面用数学归纳法证明等式对所有的都成立.(i)当n=1时，由上可知等式成立.(ii)假设当n=k时等式成立,即.因为，所以.所以当n=k+1时,等式也成立.综合(i),(ii)可知等式对所有的都成立.令，可得().所以()．6.（2021·上海普陀区·高三其他模拟）如图，曲线与直线相交于，作交轴于，作交曲线于，……，以此类推.（1）写出点和的坐标；（2）猜想的坐标，并用数学归纳法加以证明.【答案】（1），，；，，；（2），证明见解析.【解析】（1）将直线，曲线方程联立，由即可求得，由垂直关系可得直线方程，令即可求得坐标，依次类推即可求得结果；（2）由（1）可归纳出；设，，由直线方程可求得坐标，由直线斜率为可推导得到递推关系式；根据递推关系式，利用数学归纳法即可证得结论.【详解】（1）由得：，即；直线方程为：，即，令，解得：，；直线方程为：，由得：，即；直线方程为：，即，令，解得：，；直线方程为：，由得：，即；直线方程为，即，令，解得：，；（2）由（1）猜想的坐标为，设，，则直线的方程为：，令，解得：，，直线的斜率为，即，即，，用数学归纳法证明的坐标如下：①当时，满足；②假设当时，成立，那么当时，由得：，解得：，即当时，成立；综上所述：.专题8.1空间几何体及其三视图和直观图练基础练基础1.（2020·广西兴宁�南宁三中高一期末）已知一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的组成方式为（）A．上面为圆台，下面为圆柱 B．上面为圆台，下面为棱柱C．上面为棱台，下面为棱柱 D．上面为棱台，下面为圆柱2.（2021·江西师大附中高二月考（理））如图是一个棱锥的正视图和侧视图，它们为全等的等腰直角三角形，则该棱锥的俯视图不可能是（）A． B．C． D．3.（2021·江苏高一期末）已知一个圆锥的母线长为2，其侧面积为，则该圆锥的高为（）A．1 B． C． D．24.（2020·河北易县中学高三其他（文））若圆台的母线与高的夹角为，且上、下底面半径之差为2，则该圆台的高为（）A． B．2 C． D．5.（2020届浙江绍兴市诸暨市高三上期末）某几何体的正视图与侧视图如图所示：则下列两个图形①②中，可能是其俯视图的是（）A．①②都可能 B．①可能，②不可能C．①不可能，②可能 D．①②都不可能6．（2021·石家庄市第十七中学高一月考）如图，某沙漏由上、下两个圆锥组成，每个圆锥的底面直径和高均为，现有体积为的细沙全部漏入下圆锥后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则此锥形沙堆的高度为（）A． B． C． D．7.（2021·云南弥勒市一中高一月考）如图，正方形的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（）A．8 B．6 C． D．8．（2021·浙江高三三模）如图，等腰直角三角形在平面上方，，若以为旋转轴旋转，形成的旋转体在平面内的投影不可能的是（）A． B． C． D．9．（2020·上海市进才中学高二期末）设是半径为的球的直径，则两点的球面距离是________．10．（2020·全国）如图为一几何体的平面展开图，按图中虚线将它折叠起来，画出它的直观图．练提升TIDHNEG练提升TIDHNEG1.（2021·四川高一期末（理））某圆柱的高为，底面周长为，其三视图如图.圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为（）A． B． C． D．2.【多选题】（2021·宁波市北仑中学高一期中）如图，棱长为的正四面体形状的木块，点是的中心．劳动课上需过点将该木块锯开，并使得截面平行于棱和，则下列关于截面的说法中正确的是（）A．截面不是平行四边形B．截面是矩形C．截面的面积为D．截面与侧面的交线平行于侧面3.（2021·湖北随州市·广水市一中高一月考）如图所示，矩形是水平放置一个平面图形的直观图，其，，则原图形是（）A．正方形B．矩形C．菱形D．梯形4．（2021·肇州县第二中学高一月考）如图是利用斜二测画法画出的的直观图，已知，且的面积为16，过点作轴于点，则的长为（）A． B． C． D．15．（2021·宁夏大学附属中学高一月考）三棱锥及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱的长为（）A． B．C． D．6．（2021·江苏省镇江中学）点是平面外一点，且，则点在平面上的射影一定是的（）A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心7.（2021·上海高二期末）圆锥的高为1，底面半径为，则过圆锥顶点的截面面积的最大值为____________8．（2021·浙江绍兴市·高一期末）已知四面体的所有棱长均为4，点满足，则以为球心，为半径的球与四面体表面所得交线总长度为______.9.（2020届浙江杭州四中高三上期中）某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是_____，最长棱长为_____．10．（2019·全国高考真题（理））中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．练真题TIDHNEG练真题TIDHNEG1.（2021·全国高考真题）已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）A． B． C． D．2．（2021·北京高考真题）定义：24小时内降水在平地上积水厚度（）来判断降雨程度．其中小雨（），中雨（），大雨（），暴雨（），小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，如图，则这天降雨属于哪个等级（）A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨3.（2020·全国高考真题（理））如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为，在俯视图中对应的点为，则该端点在侧视图中对应的点为（）A． B． C． D．4．(2019年高考全国Ⅲ卷理)如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则()A．BM=EN，且直线BM，EN是相交直线

B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线

C．BM=EN，且直线BM，EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线5.（2018·北京高考真题（文））某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（）A.1 B.2C.3 D.46.（2021·全国高考真题（理））以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为_________（写出符合要求的一组答案即可）．专题8.1空间几何体及其三视图和直观图练基础练基础1.（2020·广西兴宁�南宁三中高一期末）已知一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的组成方式为（）A．上面为圆台，下面为圆柱 B．上面为圆台，下面为棱柱C．上面为棱台，下面为棱柱 D．上面为棱台，下面为圆柱【答案】A【解析】结合图形分析知上面为圆台，下面为圆柱.故选：A.2.（2021·江西师大附中高二月考（理））如图是一个棱锥的正视图和侧视图，它们为全等的等腰直角三角形，则该棱锥的俯视图不可能是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】根据棱锥的三视图想象原几何体的结构，可以在正方体中想象描出原几何体，确定其结构．【详解】若几何体为三棱锥，由其正视图和侧视图可知，其底面在下方且为直角三角形，故ABD均有可能，若几何体是四棱锥，由其正视图和侧视图可知，其底面在下方，且为正方形，俯视图为正方形，但对角线应从左上到右下，C不正确．故选：C．3.（2021·江苏高一期末）已知一个圆锥的母线长为2，其侧面积为，则该圆锥的高为（）A．1 B． C． D．2【答案】C【解析】由侧面积求出圆锥的底面圆半径，再根据勾股定理可求得其高.【详解】设圆锥的底面圆的半径为，母线为，则，所以其侧面积为，解得，所以圆锥的高为.故选：C.4.（2020·河北易县中学高三其他（文））若圆台的母线与高的夹角为，且上、下底面半径之差为2，则该圆台的高为（）A． B．2 C． D．【答案】D【解析】设上、下底面半径分别为，，圆台高为，由题可知：，即，所以．故选：D5.（2020届浙江绍兴市诸暨市高三上期末）某几何体的正视图与侧视图如图所示：则下列两个图形①②中，可能是其俯视图的是（）A．①②都可能 B．①可能，②不可能C．①不可能，②可能 D．①②都不可能【答案】A【解析】若是①，可能是三棱锥；若是②，可能是棱锥和圆锥的组合；所以①②都有可能，故选：A.6．（2021·石家庄市第十七中学高一月考）如图，某沙漏由上、下两个圆锥组成，每个圆锥的底面直径和高均为，现有体积为的细沙全部漏入下圆锥后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则此锥形沙堆的高度为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据圆锥的体积公式列方程求出沙堆的高．【详解】解：细沙漏入下部后，圆锥形沙堆的底面半径为，设高为，则沙堆的体积为，解得，所以圆锥形沙堆的高度为．故选：．7.（2021·云南弥勒市一中高一月考）如图，正方形的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（）A．8 B．6 C． D．【答案】A【解析】根据斜二测画法的规则，得到原图形的形状为平行四边形，进而求得其边长，即可求解.【详解】由斜二测画法的规则，可得原图形为是一个平行四边形，如图所示，因为水平放置的一个平面图形的直观图的边长为1的正方形，可得，所以原图形中，在直角中，可得，所以原图形的周长为.故选：A.8．（2021·浙江高三三模）如图，等腰直角三角形在平面上方，，若以为旋转轴旋转，形成的旋转体在平面内的投影不可能的是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】对直线与平面的位置关系进行分类讨论，判断出投影的形状，即可得出合适的选项.【详解】若，则形成的旋转体在平面内的投影如D选项所示；若，则形成的旋转体在平面内的投影为正方形；若与所成的角的取值范围是时，则形成的旋转体在平面内的投影如A、B选项所示.投影不可能如C选项所示.故选：C.9．（2020·上海市进才中学高二期末）设是半径为的球的直径，则两点的球面距离是________．【答案】【解析】是半径为的球的直径，则两点所对的球心角为，球面距离为．故答案为：．10．（2020·全国）如图为一几何体的平面展开图，按图中虚线将它折叠起来，画出它的直观图．【答案】见解析【解析】由题设中所给的展开图可以得出，此几何体是一个四棱锥，其底面是一个边长为2的正方形，垂直于底面的侧棱长为2，其直观图如图所示.练提升TIDHNEG练提升TIDHNEG1.（2021·四川高一期末（理））某圆柱的高为，底面周长为，其三视图如图.圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据三视图分析出所在的位置，然后结合圆柱的侧面展开图即可求出结果.【详解】由三视图还原几何体，如图：即点在距离点在底面投影的圆弧处，沿所在的母线得到如图所示的侧面展开图，圆柱的底面周长即为侧面展开图的长，圆柱的高即为侧面展开图的宽，而线段的距离即为所求到的路径中的最短路径，因为底面周长为,所以，又因为高为，则，所以,故选：B.2.【多选题】（2021·宁波市北仑中学高一期中）如图，棱长为的正四面体形状的木块，点是的中心．劳动课上需过点将该木块锯开，并使得截面平行于棱和，则下列关于截面的说法中正确的是（）A．截面不是平行四边形B．截面是矩形C．截面的面积为D．截面与侧面的交线平行于侧面【答案】BCD【解析】过点构建四边形，通过相关直线间的平行关系进一步证明为平行四边形，找对应线之间的垂直证明截面为矩形，从而计算截面面积【详解】解：如图所示，在正四面体中，4个面均为正三角形，由于点为的中心，所以位于的中线的外，分别取的三等分点，则∥，∥，∥，∥，所以∥，∥，所以截面为平行四边形，所以A错误，延长交于，连接，由于为的中心，所以为的中点，因为，所以，因为，所以平面，所以，因为∥，∥，所以，所以截面为矩形，所以B正确，因为，所以，所以C正确，对于D，截面平面，∥，平面，平面，所以∥平面，所以D正确，故选：BCD3.（2021·湖北随州市·广水市一中高一月考）如图所示，矩形是水平放置一个平面图形的直观图，其，，则原图形是（）A．正方形B．矩形C．菱形D．梯形【答案】C【解析】由已知得原图为平行四边形，，利用勾股定理计算边长得到,可判断原图形的形状.【详解】因为，，所以直观图还原得，，四边形为平行四边形，，则，，，，，所以，故原图形为菱形．故选：C.4．（2021·肇州县第二中学高一月考）如图是利用斜二测画法画出的的直观图，已知，且的面积为16，过点作轴于点，则的长为（）A． B． C． D．1【答案】A【解析】利用面积公式，求出直观图的高，求出，然后在直角三角形中求解即可【详解】解：由直观图可知，在中，，因为的面积为16，,所以，所以，所以，因为，轴于点，所以，故选：A5．（2021·宁夏大学附属中学高一月考）三棱锥及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱的长为（）A． B．C． D．【答案】B【解析】根据几何体的三视图，结合几何体的数量关系，在直角中，即可求解.【详解】如图所示，根据三棱锥及其三视图中的正视图和侧视图，可得底面中，点为的中点，，且底面，又由点为的中点，且根据侧视图，可得，在直角中，可得又由，在直角中，可得.故选：B.6．（2021·江苏省镇江中学）点是平面外一点，且，则点在平面上的射影一定是的（）A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心【答案】A【解析】过点作平面，因为，得到，即可求解.【详解】如图所示，过点作平面，可得因为，可得，所以为的外心.故选：A.7.（2021·上海高二期末）圆锥的高为1，底面半径为，则过圆锥顶点的截面面积的最大值为____________【答案】2【解析】求出圆锥轴截面顶角大小，判断并求出所求面积最大值．【详解】如图，是圆锥轴截面，是一条母线，设轴截面顶角为，因为圆锥的高为1，底面半径为，所以，，所以，，设圆锥母线长为，则，截面的面积为，因为，所以时，．故答案为：2．8．（2021·浙江绍兴市·高一期末）已知四面体的所有棱长均为4，点满足，则以为球心，为半径的球与四面体表面所得交线总长度为______.【答案】【解析】根据正四面体的结构特征求得到面的距离，进而利用球的截面的性质求得各面所在平面与球的截面圆的半径，注意与各面的三角形内切圆的半径比较，确定此截面圆是否整个在面所在的三角形内，进而确定球与各面的交线，得到球与四面体表面所得交线总长度．【详解】已知四面体ABCD的所有棱长均为4，所以四面体ABCD是正四面体，因为点O满足，所以为正四面体ABCD的中心设正三角BCD的中心为F，正三角ACD的中心为G，CD的中点为E，则连接则．

则，，，

．

因为球O的半径为，所以球O被平面截得圆半径为，

因为正三角形BCD的边长为4，所以正三角形内切圆半径为，故球O与四面体ABCD的每一个面所得的交线为正好为内切圆，每个内切圆的周长为，所以球与四面体ABCD表面所得交线总长度．

故答案为：．9.（2020届浙江杭州四中高三上期中）某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是_____，最长棱长为_____．【答案】【解析】由已知中的三视图可得该几何体是一个以直角梯形为底面的四棱锥，且梯形上下边长为1和2，高为2，如图：，，，，，平面，，∴底面的面积，∴几何体的体积，可得，最长棱长为：，故答案为：；．10．（201