2021年高考数学模拟训练卷 (60)(含答案解析)

2021年高考数学模拟训练卷(60)

一、单项选择题(本大题共12小题，共60.()分)

1.设集合/=(x\x2<2%],B={x\l<%<4},则4U8=()

A.(-00,4)B.[0,4]C.(1,2]D.(1,+8)

2.设，是虚数单位，则平=()

A.6+5iB.6—5iC.-6+5iD.-6—5i

3.容量为100的样本，其数据分布在[2,18],将样本数据分为4组:[2,6),[6,10),[10,14),[14,18],

A.样本数据分布在［6,10)的频率为0.32

B.估计总体数据大约有10%分布在［10,14)

C.样本数据分布在［2,10)的频数为40

D.样本数据分布在［10,14)的频数为40

4.己知向量五=(一1,1),石=(3,m)，a//(a+K)，则m=()

A.-2B.2C.-3D.3

5.双曲线条一s=l(a>0)的离心率为()

A.V5B.在C.2D.V3

2

6.《九章算术》是我国数学史上堪与欧儿里得《几何原本相媲美的数学名著.其第五卷而功

少中有如下问题：“今有委粟平地，下周一十二丈，高二丈问积及为粟几何？”翻译成现代文

为：“现将谷子堆放在平地成圆锥形，圆锥底面圆的周长为12丈，高2丈问这堆谷子的体积应

有多少斛？”已知一丈=10尺，1斛谷子的体积约为27立方尺，若兀取3,则估计这堆谷子的体

积为()

A.2957斛B.2960斛C.2963斛D.2966斛

7.函数f(x)(一兀WXWTT)的图象大致为()

8.已知f（x）=cos（x+：）sinx,则/（x）满足

A.最小正周期7=27rB.图像关于点吟,—?）对称

C.在区间（0谭）上为减函数D.关于x=g对称

Oo

9,正方体被切去一个角后得到的几何体如图所示，其侧视图（由左往右看）是

10.等边A/IBC的边长为遥，则而.而=（）

A.|B.-jC.5D.-5

0.5%2+l,x>0

11.已知直线y=与函数/(%)=2-(iy,%<o的图象恰好有3个不同的公共点,则实数，〃的

取值范围是()

A.(V3,4)B.(a,+8)C.(V2.5)D.(低2鱼)

12.己知点4(-2,3)在抛物线C：y2=2p%的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B,记

C的焦点为尸，则直线B尸的斜率为()

7B.|C.：D.J

二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.若函数/(x)=x2)2x,则f。)在点(go)处的切线方程为

p-y>0,

已知实数x,y满足约束条件(x+yW2,,贝ijz=|3x—4y—12］的最小值等于______

14.

(720-

15.如图是一个边长为4的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形

区域内随机投掷400个点，其中落入黑色部分的有225个点，据此可估计黑色部

分的面积为.

16.已知数列｛即｝的前"项积为q=5叫nGN*,则。2009=

三、解答题(本大题共7小题，共82.0分)

17.在2L4BC中，角A,B,C所对的边分别为4,b,c.已知(2c—a)cos3ba>sA.

(I)求角B的大小;

(11)若。-2©=1,且△ABC的面积为罢，求边a的长.

18.四棱柱4BCD-4/165中，底面ABC。为正方形，4D=力&=

AXD=2,”为A£»中点，S.ArH1BD.

⑴证明AB1441；

(2)求点C到平面的距离.

19.“微信运动”是一个类似计步数据库的公众账号.用户只需以运动手环或手机协处理器的运动

数据为介，然后关注该公众号，就能看见自己与好友每日行走的步数，并在同一排行榜上得以

体现.现随机选取朋友圈中的50人，记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下：

步数/步0-30003001-60006001-80008001-1000010000以上

男生人数/人127155

女性人数/人03791

规定：人一天行走的步数超过8000步时被系统评定为“积极性”，否则为“懈怠性”.

填写下面列联表(单位：人)，并根据列表判断是否有90%的把握认为“评定类型与性别有关”；

积极性懈怠性总计

男

女

总计

n(ad-dc)2

附:参考公式和临界值表K2=

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>fc0)0.100.050.0100.0050.001

ko2.7063.8416.6357.87910.828

20.已知点&,尸2是椭圆+l(a>b>0)的左、右焦点，点尸是该椭圆上一点，当Z&PF2=彳

时，面积达到最大，且最大值为6.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)直线/：y=x+rn与y轴交于点Q,与椭圆交于M,N两点,若丽=2而，求实数m的值.

21.已知函数/1(%)=%2-ax—a21nx(a#0).

(1)当。=1时,求函数f(x)的最值;

(n)试讨论函数/(%)在(1,+8)的单调性.

22.在直角坐标系xOy中，直线/的参数方程为｛x=：+tcosa,«为参数),以坐标原点为极点,

y=tsina

以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为p2=4pcos0+5.

(1)求证：直线/与圆C必有两个公共点；

(2)已知点M的直角坐标为(1,0),直线/与圆C交于A,B两点,若=1,求cosa的

值.

23.已知函数/(%)=。-2|+1—;〃%+2)旧0的解集为(一8,-1]0(1,+00).

(1)求实数2的值：

(2)若关于x的不等式/(x)+|x—a|20对恒成立，求实数〃的取值范围.

【答案与解析】

1.答案：B

解析：解：,集合4={x\x2<2%］={x|0<x<2},

B={x|l<x<4},

A(JB={x|0<x<4}=［0,4］.

故选：B.

先分别求出集合A,B,由此能求出4UB.

本题考查并集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

2.答案：D

解析：

本题考查了复数的运算法则，属于基础题.

利用复数的运算法则即可得出.

解：\更=-(5-6i)i=-6-5L故选D.

3.答案：B

解析：

本题考查了频率分布直方图的应用问题，是基础题.

根据频率分布直方图逐一分析判断即可.

解：4样本数据分布在［6,10)的频率为：0.08x4=0.32,正确；

员样本数据分布在［10,14)的频率为0.1x4=0.4=40绪，不正确；

C样本数据分布在［2,10)的频数为(0.02+0.08)x4x100=40,正确；

D样本数据分布在［10,14)的频数为：0.1x4x100=40,正确.

故选&

4.答案:C

解析：解：向量3=(—1,1),b=(3,m)>a+6=(2,1+m)>

va//(a+K),

1x2=-1(1+m),

:，m=-3.

故选：C.

由题意求出0+办利用五〃(五+石)，求出m即可.

本题考查向量共线与向量的平行的坐标运算，考查计算能力.

5.答案：A

解析：解：双曲线马一马=l(a>0)的b=2a,

a24az'

c—yja24-b2=V5a»

即有e=£=通.

a

故选A.

求得双曲线的b=2a,由双曲线的“，b,c,的关系和离心率公式计算即可得到.

本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的离心率的求法，属于基础题.

6.答案：C

解析：

本题主要考查利用圆锥体积公式能估计谷子的体积，属于基础题.

先利用公式求出圆锥的体积，再令7T=3近似计算这堆谷子的体积.

解：这堆谷子的体积为：

「1J2\2。24000士m

V=-7Tx(―)x2xl1f0l3-*-----------=立方尺，

取7T=3,得/=8000立方尺=—X2963斛.

故选：C.

7.答案：A

解析：解："一%)=需*=一/(乃则函数/(%)是奇函数，排除C,

分母2+cosx>0,则当0<x<兀时，sinx>0,则/'(x)>0,排除D,

/©)=*=&</6)=?则B不满足条件•

故选：A.

利用函数的奇偶性得到图象关于原点对称，利用/6)</©),进行排除即可.

本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性和函数值的对应性，利用排除法是解决本题

的关键.

8.答案：D

解析：

利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性、单调性以及它的图象的对称性，

得出结论本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、单调性以及它的图象的对称性，属于基

础题.

解：；函数/(x)=cos(x+-)sinx=(―cosx——sinx)-sinx=—sin2x——■

422422

=(stn2x+cos2x)-，=|sin(2x+》+中，

故它的最小正周期为:=兀，故A不正确；

令》=之，求得/(切=/,=竽，为函数/'(X)的最大值，故函数/(x)的图象关于直线“？寸称,

且f(x)的图象不关于点(也?)对称，故8不正确、。正确；

在区间(0*)上，2x+Je(p=),/(x)=min(2x+》+9为增函数，故C不正确，

故选ZX

9.答案：A

解析:

本题考查由几何体观察三视图，属于基础题型.

解：根据几何体，转换为三视图，

所以平面图形的侧视图为：

故选A.

10.答案：B

解析：解：「△ABC是等边三角形，

••乙B=p

：.<AB,BC>=y,

又rBC=居,\AB\=\BC\=V5,

.-.AB-BC^\AB\x\BC|cos<AB,BC>=V5-V5cosy=-j.

故选B.

运用向量的数量积的定义，注意夹角为兀-B,计算即可得到.

本题考查平面向量的数量积的定义，注意向量的夹角的概念，考查运算能力，属于基础题和易错题.

11.答案：B

解析：解：做出/(x)的函数图象如图所示：

尸24

由图象可知当mW0时，y=6%与f(X)只有一个交点，不符合题意;

设直线y=k%与y=/(%)的图象相切,

则方程0.5/+l-kx=0只有一解，

fc2-2=0,解得k=&或k=一注(舍).

二当m＞四时，y=mx与/'(尤)有3个交点.

故选B.

做出/(x)的函数图象，判断直线与/(x)相切时的斜率即可得出机的范围.

本题考查了函数的零点个数与函数图象的关系，属于中档题.

12.答案：D

解析：抛物线y2=2px的准线为直线x=-今而点4(一2,3)在准线上，所以咛=-2,即p=4,从

而C：y2=8%,焦点为尸(2,0),设切线方程为y-3=k(x+2),代入y2=8x,得Jy?—y+2/c4-3=

0(kH0),①由于d=l-4x：(2k+3)=0,所以k=-2或卜=纲为切点在第一象限，所以

将k=之代入①中，得y=8,再代入y2=8x中得x=8,所以点B的坐标(8,8),所以直线B尸的斜

84

率为-=-

63

13.答案：2%—4y—1=0

解析：

本题考查了导数的几何意义，先求导代入切点横坐标得出切线斜率，即可得出切线方程.

解：函数/(%)=/伍2%,则/'(I)271n2/+/,

所以切线斜率为/c=f'G)=点

所以切线方程为y=1(x-即2%-4y-1=0,

故答案为2x—4y-1=0.

14.答案：6

3x-4y-12=0距离的5倍，

由可行域可知，B到直线3x-4y-12=0的距离最小，

得B(2,0),

则|3x-4y-12|的最小值为：|3x2-4x0-12|=6.

故答案为：6.

作出不等式组表示的平面区域，由目标函数的几何意义，结合图象可求z的最小值.

本题主要考查了线性目标函数在线性约束条件下的最值的求解，解题的关键是明确z的几何意义.

15.答案：9

解析：解：设黑色部分的面积为S,

・••如图是一个边长为4的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积,

在正方形区域内随机投掷400个点，其中落入黑色部分的有225个点，

S225

_3Z___

"4X4-400)

解得S=9.

据此可估计黑色部分的面积为9.

故答案为：9.

设黑色部分的面积为S,利用几何概型概率计算公式列出方程能估计黑色部分的面积.

本题考查面积的求法，考查几何概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基

础题.

16.答案：5钝17

解析：

解析：

本题主要考查数列的递推公式求通项公式，属于基础题.

根据前〃项积为7；=5M可得。2009=鬻==5的17即可求解.

答案:

解：••,数列｛an｝的前〃项积为Tn=5砂,

所以痴。产鬻=^=54。”.

故答案为:54。".

17.答案：解：(I)v(2c-a)cosB=bcosA,

由正弦定理得(2sinC-sinA)cosB=sinBcosA.

17T

即2s讥CcosB=sinAcosB+cosAsinB=sin(4+8)=sinC.­-cosB=即8=

(n)•・・△/BC的面积为S*BC=^ctcsinB=号.ac=10.

又Ta—2c=l,.•・Q=5.

解析：本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用，属于基本知识的考

查.

(I)由正弦定理化简已知得(2sinC-sinA)cosB=sinBcosA由三角函数恒等变换化简可得cosB=1,

结合B的范围即可求出3.

(n)iSAi4FC=-acsinB=2.可解得ac=10.又:a-2c=1,即可得解.

18.答案：证明：(1)等边中，，为中点，.••4H_L4D,

又4mlBD,S.ADQBD=D,

41H1面ABCD,■■■ABu平面ABCD,4/1AB,

在正方形ABC。中，ADLAB,ArHCtAD=H,

■■■AB_1_面40。出，

AB1AAX.

解：(2)在△4BD中，&D=2,BD=25A、B=2仇，：•S^BD=近，

由(1)知，ArH1®ABCD,

"匕i-8CD=j^AFCDXArH=手,

由等体积法，得：

=x

^C-A1BD3S^A'BDxd=^xV7xd=VA1_BCD=~S^BCDXArH--y->

解得d=空红.

7

•••点C到平面4BD的距离为d=竽.

解析：(1)推导出4,J_4D,从而41Hl面A8CD,进而由正方形性质得4。_L4B,从而

AB_1_面4。。"1，由此能证明A8144「

(2)由匕「BCD=^C-A^Df能求出点C到平面48。的距离.

本题考查线线垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间

思维能力，考查转化化归思想、数形结合思想，是中档题.

19.答案：解：根据题意完成下面的列联表：

积极性懈怠性总计

男201030

女101020

总计302050

根据列联表中的数据，

得到K2的观测值k=50(20X10-10X10)2=交。]389<2,706.

30X20X30X2018

所以没有90%的把握认为“评定类型与性别有关”.

解析：本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了计算能力的应用问题，是基础题目.

根据题目所给的数据填写2X2列联表即可，计算K2的观测值左，对照题目中的表格，得出统计结论.

20.答案：解：(1)由题可知当点尸在短轴端点时，△P&F2面积最大值为比=百①，

此时4&PF2=g乙OPFI=%所以b=gc，

aO

又知Q2=力2+C?③，联立①②③解得Q=2,C=l,b=翼,

22

所以椭圆C的标准方程为二+匕=1.

43

(2)设M(Xi，y[),W(x2,y2)-Q(。,小)

X2y2

Z+l"-1,联立化简得：7M+8/nx+47n2-12=0,

{y=x4-m

△=(8m)2-28(4m2-12)>0,即<7,

x

VMQ=2丽，(-%1，m-%)=2(%2>y2一血)，**-i=-2x2,

詈，联立解得：Xi=-yTn,x=|m

与+X22

代入…2=中，解得丑…m=土萼

验证：当八士等时，3。成立，符合题意,

故m=土等

解析：(1)利用△PF/2面积最大值为be=V3®.b=V3c@.a2=b2+。2③，求出”，b,得到椭

圆方程.

(2)设M(xi，%),/V(x2,y2),(2(O,7n),联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及向量相等关系，转化

求解机即可.

本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力.

21.答案：解：(1)当。=1时，/(x)=%2-x-Inx,定义域为(0,+8),

:.f'(x)=2x-1-i

令/'(x)=0,解得x=一：(舍去)，或x=l,

当(0,1)时,f(x)<0,/(x)在(0,1)上单调递减，

当x6(1,+8)时,f(x)>0,f(x)在(1,+8)上单调递增，

.••当x=1时，/'(x)rn[n=/(I)=0,

当a=1时，f(x)的最小值为0,

(口)：/(乃=2%--=”等2

令((x)=0,解得x=或工=a,

①当a<-2时，一]>1，

当xe(1,一个时，八为<0,/(x)在(1,一)上单调递减,

当*《(一5+8)时,f(x)>0,在(一9+8)上单调递增,

②当一2Wa<0时，0<一三式1,

当*6(1,+8)时,f'(x)>0,/(%)在(1,+8)上单调递增,

(3)0<a<1时，

当%€(1,+8)时，f'(x)>0,f(x)在上单调递增，

④当a>1时

当xE(a,+8)时,f'(x)>0,f(x)在(a,+oo)上单调递增，

当xe(l,a)时,f(x)<0,f(x)在(l,a)上单调递减,

综上所述：当a<-2时，在(1,一方上单调递减，在(冷,+8)上单调递增，

当-24a〈l时，/(x)在(1,+8)上单调递增，

当a>l时，f(x)在(a,+8)上单调递增，在(l,a)上单调递减.

解析：(I)求导，判断函数的单调性，根据单调性确定