2021年福建省南平市镇前中学高三数学理联考试卷含解析

2021年福建省南平市镇前中学高三数学理联考试卷含

解析

一、选择题：本大题共1()小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选

项中，只有是一个符合题目要求的

1.设<={x|x>0},E={x[x>D,则

硝"5=()

A{x|0<x<l}B.{x|0<xMl}c(x|x<0}D."lx)D

参考答案：

B

2.设函数的定义域为Z>,如果存在正实数k,对于任意xeD,都有X+twD,且

/(x+左)恒成立，则称函数/(公为£)上的“上型增函数”，已知函数/(x)是定义

在R上的奇函数，且当x>0时，若/(x)为R上的“2014型增函

数”，则实数&的取值范围是(▲)

A.a<-1007B.a<1007c.

10071007

a<------a<---------

3D.3

参考答案：

c

略

3.若f(x)=sin3x+acos2x在(0,兀)上存在最小值，则实数a的取值范围是()

333

A.(0,2)B.(0,2]C.[2,+oo)D.(0,+oo)

参考答案：

D

【考点】三角函数的最值.

【分析】设t=sinx,由xe(0,兀)和正弦函数的性质求出t的范围，将t代入f(x)后求

出函数的导数，求出临界点，根据条件判断出函数的单调性，由导数与函数单调性的关系

列出不等式，求出实数a的取值范围.

【解答】解：设t=sinx,由xe(0,得tC(0,1],

vf(x)=sin3x+acos2x=sin3x+a(1-sin2x),

•••f(x)变为：y=t3-at2+a.

则y'=3t2-2at=t(3t-2a),

2a

由y'=0得，1=0或t=3,

••,f(x)=sin3x+acos2x在(0,兀)上存在最小值，

.•.函数y=t3-at?+a在(0,1]上递减或先减后增，

2a

即3>0,得a>0,

.•・实数a的取值范围是(0,+oo),

故选：D.

4.在复平面内，复数z=l-2i对应的点的坐标为()

A.(1,2)B.(2,1)C.(1,-2)D.(2,-1)

参考答案：

C

【考点】复数的代数表示法及其几何意义.

【专题】数系的扩充和复数.

【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出；

【解答】解：复数z=l-2i对应的点的坐标为(1,-2),

故选：C.

【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，属于基础题.

5.

(21-€R)—1m(*+,+…+x")

已知2展开式的第7项为4,则，的值为

()

31_31

A.4B.4C.4D.

参考答案:

答案：D

6.（文）现有四个函数：①y=x?sinx；②y=x?cosx；③y=x|cosx；@y=x?2"的图象（部

分）如图：

本+■<

则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是（）

A.①④③②B.③④②①C.④①②③D.①④②③

参考答案：

D

【考点】函数的图象.

【专题】作图题；函数的性质及应用.

【分析】函数与函数图象对应题一般用排除法，首先发现只有①是偶函数，故第一个图象

对应①；从而排除B、C；注意到③y=x|cosx【，当x<0时，yWO,当x>0时，y20；故

③对应第四个图象.从而解得.

【解答】解：四个函数：①y=x?sinx；②丫=*?©^^*；③y=x|cosx；@y=x?2,中，

只有①是偶函数，

故第一个图象对应①；

故排除B、C；

故焦点在第三，四个图象与②③的对应上，

注意到③y=x|cosx|,

当x<0时，yWO,

当x>0时，y>0；

故③对应第四个图象，

故排除A,

故选D.

【点评】本题考查了函数的图象的应用，函数与函数图象对应题一般用排除法比较好，属

于中档题.

7.某学校从高二甲、乙两个班中各选6名同掌参加数学竞赛，他们取

得的成绩(满分100分)的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的众数是

85,乙班学生成绩的平均分为81,则x+y的值为

(A)6(B)7

参考答案:

D

略

8.设集合人=心£2但<3},B={x|x>-1},则AHB=()

A.{0,1}B.{-1,0}C.{-1,0,1}D.{0,1,2}

参考答案：

A

【考点】IE：交集及其运算.

【分析】先求出集合A和B,由此利用交集定义能求出AAB.

【解答】解：•.•集合A={XGZ|X2<3}={-1,0,1},

B={x|x>-1},

/.AnB={0,1}.

故选：A.

_2

9.已知函f数八M”a一2X+1(«€/)为奇函数，则/0)=()

5123

A.3B.3c.3D.2

参考答案：

B

【分析】

先根据奇函数求出a的值，再求f(l)得解.

/(0)=0,二4一二=0.二

【详解】由题得2

经检验，当a=l时，函数f(x)是奇函数.

=1----------—

所以…2+13

故选：B

【点睛】本题主要考查奇函数的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推

理能力.

I.]一].

AMAB^-AC

10.设等边三角形△A8C的边长为1,平面内一点M满足23,向量*

与刀夹角的余弦值为(

)

a6叵4炳

A.3B.6C.12D.119-

参考答案：

D

【分析】

।、什9™1r1OTI1™

=AM--AH\-AC

根据向量的平方等于模长的平方得到「I6,再将23两边用

源加=2.

点乘，3由向量点积公式得到夹角的余弦值.

【详解】

I而而+!否~】画，d^QJ+2xlxlxlj/4C=—

23232336,

国]二巫AM1AB^AC一

6,对23两边用48点乘,

4、的

届衣」看万而=2.衣-

233与〃夹角的余弦值为产19

故选D.

【点睛】这个题目考查了向量的模长的求法以及向量点积的运算，题目比较简单基础；平

面向量数量积公式有两种形式，-是“"哨二是江’=守.出，主要应用

以下几个方面:(1)求向量的夹角，何(此时W往往用坐标形式求解)；

ab

(2)求投影，a在至上的投影是向；(3)瓦彳向量垂直则不了=0;(4)求向量

痴，癌的模(平方后需求不吞).

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分，共28分

11.若x的最小值为.

参考答案:

略

12.已知AABC的外接圆的半径为R,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若

22

asinBcosC+2csinC=R,则4ABC面积的最大值为.

参考答案：

""5-

【考点】HT：三角形中的几何计算；7F：基本不等式.

【分析】由正弦定理得2=4,从而a?+bz+2cJ8,由余弦定理得8-

3cJ2abcosC,记aABC的面积为S,则4s=2absinC,从而(8-3c2)2+16S2=4a2b2<

(a2+b2)②，进而16SWC2(16-5C2),由此能求出△ABC面积的最大值.

【解答】解：:△ABC的外接圆的半径为R,角A,B,C的对边分别为a,b,c,

3,2

asinBcosC+2csinC=R,

，由正弦定理得2=4,

2,,22。

a+b-c32

Aab?2ab+2C=4,

整理,得：a2+b2+2cz=8,

由余弦定理得8-3c?=2abcosC,①

记△ABC的面积为S,则4s=2absinC,②

将①②平方相加，得：

(8-3c2)2+16SMa2b2^(a2+b2)2,

4_2正

.*.16S2<c2(16-5c2),即S?W5,SW5,

旦

当且仅当c：亏时等号成立，

二AABC面积的最大值为5.

故答案为：飞一.

x+j-11^0

3x-ji3i0

{5x-3j+P^0表示的平面区域为D,若指数函数y=</的图像上存在

区域D上的点，则a的取值范围

是________________________

参考答案：

(1,3]

14.(不等式选讲选做题)若存在实数X满足|x-3|+|x-加|<5,则实数附的取值范围为

参考答案：

15.不等式|x-1]<1的解集用区间表示为.

参考答案:

（0,2）

【考点】绝对值三角不等式.

【专题】计算题；转化思想；不等式的解法及应用.

【分析】直接将不等式|x-1|<1等价为：解出后再用区间表示即可.

【解答】解：不等式lx-11<1等价为：

-l<x-1<1,解得，0VxV2,

即原不等式的解集为{x[0<x<2},

用区间表示为：（0,2）,

故答案为：（0,2）.

【点评】本题主要考查了绝对值不等式的解法，以及解集的表示方法，属于基础题.

16.已知三棱锥P-ABC中，侧棱以=、/2「5=而・~=3,当侧面积最大时，三棱锥p-

ABC的外接球体积为

参考答案：

32

一x

3

【分析】

当三棱锥侧面积最大时，PA,PR,EC两两互相垂直，可知以E4,PB,FC为长、

宽、高的长方体的外接球即为三棱锥F-.C的外接球，长方体外接球半径为体对角线

的一半，从而求得半径，代入球的体积公式得到结果.

J163/3^5

【详解】三棱锥F-ZBC的侧面积为：222

'：/APR,ZAPC,ZW相互之间没有影响

当上述三个角均为直角时，三棱锥F一加。的侧面积最大

此时PB,PC两两互相垂直

,以以，PB,R为长、宽、高的长方体的外接球即为三棱锥的外接球

JJ=-v2*5+9=2

二外接球半径2

二三棱锥F-&C的外接球的体积：33

32

----K

本题正确结果：3

【点睛】本题考查多面体的外接球体积的求解问题，关键是能够通过侧面积最大判断出三

条棱之间的关系.

17.在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC,则tanAtanBtanC的最小值

是

参考答案:

8

由iC)-anBa>sC«cosBsiaC

可得sh6cDsCiais5向C-2&B=C(*),

由三角形ABC为锐角三角形，则OKB>0,cnsC>0,

在（*）式两侧同时除以COSBOKC可得58+tnC=2tn8g1C,

txtB+taaC

tn/=-一/)=-tn(3+C)

又1taaBOnC(#),

bn^tejStmC=--------10cxtm0tBiC

则1-tuLBteC

-c2(tan3t«c)'

山55+5C=2tanbgC可得l^cuiXteC,

令由以C为锐角可得

由㈤得解得t>l

^^32

tn/080C.―~r

e~t,

中一厂G2）彳，由Al则”产-＞一彳，因此5105t■（7最小值为8,

当且仅当：-2时取到等号，此时5B+5C-4,tnBtnC^l,

解得tan«=2+e,0C=2-6,toB/=4（或tanB,tanC互换），此时以C均为锐角.

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤

18.如图，四边形ABCD内接于。0,BD是。。的直径，AELCD于点E,DA平分/BDE.

（1）证明：AE是。。的切线；

（2）如果AB=4,AE=2,求CD.

参考答案：

【考点】与圆有关的比例线段；圆内接多边形的性质与判定.

【专题】选作题；立体几何.

【分析】（1）连接0A,根据角之间的互余关系可得NOAE=NDEA=90°,证明0A〃CE,利

用AELCE,可得AE_L0A,即AE是。0的切线；

（2）由（1）可得△ADES^BDA,求出NABD=30°,从而NDAE=30°,可得

DE=AEtan30°,利用切割线定理,可得结论.

【解答】（1）证明：连结0A,则0A=0D,所以/0AD=N0DA,

又/0DA=NADE,所以/ADE=/0AD,所以0A〃CE.

因为AE_LCE,所以0AJ_AE.

所以AE是。0的切线.…(5分)

(2)解：由(1)可得△ADEsaBDA,

AEAB24

所以屏而,即AD=BD,则BD=2AD,

所以NABD=30°,从而NDAE=30°,

2/3

所以DE=AEtan30°=3.

由切割线定理，得AE'ED?EC,

273273延

所以4=~(-3-+CD),所以CD=-5".…(10分)

【点评】本题考查常见的几何题型，包括切线的判定，及线段长度的求法，要求学生掌握

常见的解题方法，并能结合图形选择简单的方法解题.

19.已知函数f(x)=x—1+ax(a>0)在(1,+°°)上的最小值为15,函数g(x)

=|x+a[+|x+lI.

(1)求实数a的值；

(2)求函数g(x)的最小值.

参考答案：

【考点】函数的最值及其几何意义.

【专题】函数思想；分析法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用.

a]

分析：(1)由f(x)=x-l+ax=a[(x-1)+X-1+1],运用基本不等式可得最小值，解

方程可得a的值；

(2)运用|x+5|+|x+l|2|(x+5)-(x+1)|=4,即可得到所求的最小值.

a

解：(1)f(x)=x-1+ax(a>0,x>l)

-4J(x-l)

=a[(x-1)+x-l+l]>a(2Vl+i)=3a,

当且仅当x=2时，取得最小值3a,

由题意可得3a=15,解得a=5；

(2)函数g(x)=x+a|+1x+11=|x+51+1x+1，

由|x+5|+|x+l|(x+5)-(x+1)|=4,

当且仅当(x+5)(x+1)WO,即-5WxW-l时，取得等号.

则g(x)的最小值为4.

【点评】本题考查函数的最值的求法，注意运用基本不等式和绝对值不等式的性质，考查

运算能力，属于中档题.

20.某景区的各景点从2009年取消门票实行免费开放后，旅游的人数不断地增加，不仅带

动了该市淡季的旅游，而且优化了旅游产业的结构，促进了该市旅游向“观光、休闲、会

展''三轮驱动的理想结构快速转变.下表是从2009年至2018年，该景点的旅游人数y(万

人)与年份x的数据：

第X年12345678910

旅游人

数y300283321345372435486527622800

(万

人）

该景点为了预测2021年的旅游人数，建立了y与x的两个回归模型:

模型①：由最小二乘法公式求得y与x的线性回归方程yNW-a+D；

模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线＞=一的附近.

（1）根据表中数据，求模型②的回归方程/=8.（4精确到个位，人精确到

0.01）.

（2）根据下列表中的数据，比较两种模型的相关指数并选择拟合精度更高、更可靠

的模型，预测2021年该景区的旅游人数（单位：万人，精确到个位）.

回归方程@>=508x+1697②/=函

3040714607

参考公式、参考数据及说明:

①对于一组数据（4•、）•（巧,其回归直线的斜率和截距的最

£（吟-破彩-*）

~I—3=媪-区

Z（v/~v）5

小二乘法估计分别为*-»

ZG厂印

〃=1—4-----

汇3-力’

②刻画回归效果的相关指数j

③参考数据：产“235,‘6.g.

u-,

XU

7

5.54496.058341959.00

表中

参考答案:

**E<O.ltr

⑴"23*(2)见解析

【分析】

(1)对，=/取对数，得.丁=版+10<1,设c=ba,先建立*关于*的

线性回归方程，进而可得结果；(2)由表格中的数据，30407>14607,可得

30407、14607

25-尸尸ZQ-才，从而得4’<A：

i-l“,进而可得结果.

【详解】(1)对/=»取对数，得hy=Adna,

设"=触>，c=lna,先建立"关于*的线性回归方程,

9.00

In*0108

c=i-Sx«6.05-0.1(»x5_5=5?l56«5.46

a=/«235

**mix

二模型②的回归方程为，二力”

3040714607

TS>-B

（2）由表格中的数据，有30407>14607,即4141

,30407,14607

]-H———<]一K———

汇5-a'£5-亍几2—2

即*4M，蜀<与

模型①的相关指数小于模型②的及：,说明回归模型②的拟合效果更好.

2021年时，x=13,预测旅游人数为》=235/°加235x44=987（万人）

【点睛】本题考查了非线性拟合及非线性回归方程的求解与应用，是源于课本的试题类

型，解答非线性拟合问题，先作出散点图，再根据散点图选择合适的函数类型，设出回归

方程，利用换元法将非线性回归方程化为线性回归方程，求出样本数据换元后的值，然后

根据线性回归方程的计算方法计算变换后的线性回归方程系数，即可求出非线性回归方

程，再利用回归方程进行预报预测，注意计算要细心，避免计算错误.

21」选修4-4：坐标系与参数方程]

（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半

x

圆C的极坐标方程为p=2cos0,GeiO,2J.

（1）求C的参数方程；

（2）设点D在C上，C在D处的切线与直线1：y=，5x+2垂直，根据（1）中你得到的参

数方程，确定D的坐标.

参考答案：

【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程.

【分析】（1）根据极坐标方程求出C的普通方程，从而求出参数方程即可；（2）设D

（1+cost,sint）,结合题意得到直线GD与1的斜率相同，求出t的值，

【解答】解：（1）由题意知：p=2cose,ee[o,—2」]，

一