2021年北京市中考数学试卷

2021年北京市中考数学试卷

一、选择题（共8小题；共32分）

1.如图是某几何体的展开图，该几何体是（）

B.圆柱C.圆锥D.三棱柱

2.党的十八大以来，坚持把教育扶贫作为脱贫攻坚的优先任务.2014~2018年，中央财政累计投

入“全面改善贫困地区义务教育薄弱学校基本办学条件”专项补助资金1692亿元，将

169200000000用科学记数法表示应为（）

A.0.1692x1012B,1.692x1012C.1.692x10"D.16.92x10'0

3.如图，点。在直线45上，OC±OD.若N/OC=120。，则N80。的大小为（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

4.下列多边形中，内角和最大的是（）

5.实数a，6在数轴上的对应点的位置如图所示,下列结论中正确的是（)

1I1?1111111

-5-4-3-2-101235

A.4>-2B.同>bC.a+h>QD.b-av0

6.同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则一枚硬币正面向上、一枚硬币反面向上的概率是（）

1112

A-4B3C2D3

7.己知432=1849,442=1936452=2025,462=2116.若n为整数且

n<V202T<«+1，则”的值为（I

A.43B.44C.45D.46

8.如图，用绳子围成周长为10m的矩形，记矩形的一边长为xm,它的邻边长为ym,矩形的

面积为Snf.当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x,S与x满

足的函数关系分别是（）

y

x

A.一次函数关系，二次函数关系B.反比例函数关系，二次函数关系

C.一次函数关系，反比例函数关系D.反比例函数关系，一次函数关系

二、填空题（共8小题；共32分）

9.相工』在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是.

10.分解因式：5/_5y2=.

21

11.方程不y=-的解为.

k

12.在平面直角坐标系X。），中，若反比例函数歹=^（&#°）的图象经过点4（1,2）和点

,则僧的值为.

13.如图，PA,尸3是OO的切线，A,B是切点.若NP=50°,则N402=.

14.如图，在矩形中，点E,F分别在BC,AD±.,AF=EC.只需添加一个条件即

可证明四边形4ECF是菱形，这个条件可以是（写出一个即可）.

15.有甲、乙两组数据，如下表所示:

甲1112131415

乙|12|12|13|17|14

甲、乙两组数据的方差分别为则s%4（填“>”，"v"或.

16.某企业有A,B两条加工相同原材料的生产线.在一天内，A生产线共加工“吨原材料，加工时

间为（4"+1）小时；在一天内，B生产线共加工6吨原材料，加工时间为（2b+3）小时.第

一天，该企业将5吨原材料分配到A,B两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且

加工时间相同，则分配到A生产线的吨数与分配到B生产线的吨数的比为.第二天开

工前，该企业按第一天的分配结果分配了5吨原材料后，又给A生产线分配了机吨原材料，给

B生产线分配了"吨原材料.若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且

加工时间相同，则一的值为.

n--------

三、解答题（共12小题；共116分）

17.计算：2sin60°+\/1-2+|-5|—（兀+.

4x—5>x+1,

18.解不等式组：\3x-4

------<X.

2

19.已知“2+262-1=0，求代数式3—6产+6（2"+6）的值.

20.《淮南子?天文训》中记载了一种确定东西方向的方法，大意是：日出时，在地面上点4处立一

根杆，在地面上沿着杆的影子的方向取一点8,使B,A两点间的距离为10步（步是古代的

一种长度单位），在点8处立一根杆；日落时，在地面上沿着点8处的杆的影子的方向取一点

C,使C,8两点间的距离为10步，在点C处立一根杆.取C4的中点。，那么直线。8表

示的方向为东西方向.

（1）上述方法中，杆在地面上的影子所在直线及点4，B,C的位置如图所示，使用直尺和圆

规，在图中作C4的中点。（保留作图痕迹）；

（2）在如图中，确定了直线。8表示的方向为东西方向，根据南北方向与东西方向互相垂直,

可以判断直线C4表示的方向为南北方向，完成如下证明.

证明：在△NBC中，BA=,。是C4的中点，

所以（）（填推理的依据）.

•••直线DB表示的方向为东西方向,

直线C/表示的方向为南北方向.

21.已知关于x的一元二次方程x2-4〃?x+3加2=0.

(1)求证：该方程总有两个实数根；

(2)若僧>0,且该方程的两个实数根的差为2,求〃？的值.

22.如图，在四边形ABCD中，AACB=ACAD=9G°,点E在8c上，AE||DC,

EFLAB,垂足为F.

(1)求证：四边形4EC。是平行四边形；

4

(2)若AE平分/84C,BE=5,cos5--,求8尸和4。的长.

1

23.在平面直角坐标系xOy中，一次函数丁=kx+6/#0)的图象由函数y=]X的图象向

下平移1个单位长度得到.

(1)求这个一次函数的解析式；

(2)当x>-2时，对于x的每一个值，函数y=，"x(机/0)的值大于一次函数

y=kx+b的值，直接写出，〃的取值范围.

24.如图，O。是△"SC的外接圆，是。。的直径，AD1BC于点£.

(2)连接B0并延长，交AC于点F,交QO于点G,连接GC.若QO的半径为5,

OE=3,求GC和OF的长.

25.为了解甲、乙两座城市的邮政企业4月份收入的情况，从这两座城市的邮政企业中，各随机抽

取了25家邮政企业，获得了它们4月份收入(单位：百万元)的数据，并对数据进行整理、描

述和分析.下面给出了部分信息.

a.甲城市邮政企业4月份收入的数据的频数分布直方图如下(数据分成5组：6Wxv8,

8x<10,12Wxv14,14WxW16)：

b.甲城市邮政企业4月份收入的数据在10Wxv12这一组的是：

10.010.010.110.911.411.511.611.8

c.甲、乙两座城市邮政企业4月份收入的数据的平均数、中位数如下:

平均数中位数

甲城市10.8m

乙城市11.011.5

根据以上信息，回答下列问题：

（1）写出表中加的值；

（2）在甲城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为

Pi.在乙城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为

P2.比较m，。2的大小，并说明理由；

（3）若乙城市共有200家邮政企业，估计乙城市的邮政企业4月份的总收入（直接写出结果）.

26.在平面直角坐标系xOy中，点和点（3,〃）在抛物线y=ax?+bx（a>0）上.

（1）若〃？=3,〃=15,求该抛物线的对称轴；

（2）已知点（一1.乃），（2,及），（4.力）在该抛物线上.若〃?〃v0,比较入，及，力的大

小，并说明理由.

27.如图，在&ABC中，AB=AC,ABACa,M为BC的中点，点。在MC上，以点

4为中心，将线段顺时针旋转a得到线段连接BE,DE.

（1）比较N84E与的大小；用等式表示线段BE,BM,MD之间的数量关系，并

证明；

（2）过点M作AB的垂线，交DE于点N,用等式表示线段NE与ND的数量关系，并证

明.

28.在平面直角坐标系x。)，中，Q0的半径为1.对于点4和线段8C,给出如下定义：若将线段

BC绕点A旋转可以得到。。的弦B'C(Br,C'分别是B,C的对应点)，则称线段BC

是。。的以点/为中心的“关联线段”.

(1)如图，点4Bi,Ci,B2,C2,B3,C3的横、纵坐标都是整数.在线段SG,B2c2,

B3c3中，。。的以点4为中心的“关联线段”是；

(2)^ABC是边长为1的等边三角形，点4(0"),其中，#0.若8c是。。的以点4为

中心的“关联线段”，求，的值；

(3)在△/BC中，48=1,AC=2,若8c是。O的以点A为中心的“关联线段”，直

接写出。/的最小值和最大值，以及相应的BC长.

答案

第一部分

1.B【解析】•「圆柱的展开图为两个圆和一个长方形，

展开图可得此几何体为圆柱.

2.C【解析】将169200000000用科学记数法表示应为1.692x10'

3.A【解析】因为N40C+N80C=180°,AAOC=120°,

所以ABOC=180°-120°=60°,

又因为OC_L。。,

所以NCOC=90。，

所以=-N30C=90。-60。=30。.

4.D【解析】A.三角形的内角和为180°；

B.四边形的内角和为360°；

C.五边形的内角和为：(5-2)x180°=540°；

D.六边形的内角和为：(6—2)x180。=720。.

5.B

【解析】A.由图象可得数〃表示的点在一2左侧，

：.a<-2,A选项错误，不符合题意.

B.:a到0的距离大于b到0的距离，

\a\>b,B选项正确，符合题意.

C.\a\>b,a<0,

：.-a>b,

：.a+b<0,C选项错误，不符合题意.

D.■：b>a,

：.b-a>0,D选项错误，不符合题意.

6.C【解析】画树形图得：

开始

反

△

正反正A反

由树形图可知共4种等可能的结果，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的有2种结果,

21

一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的的概率为彳=$.

7.B【解析】936<2021<2025,

：,44<V202T<45,

〃=44.

8.A【解析】由题意得，2(x+y)=10,

.x+y=5,

.,.歹=5—、,即y与x是一次函数关系.

/S=xy=x(5—X)=—x2+5x,

矩形面积满足的函数关系为S=--+5x,即满足二次函数关系.

第二部分

9.x27

【解析】由题意得：X—720,

解得:x》7.

10.5(x+y)(x—y)

【解析】原式=5(》2-/)=5(x+y)(x-y).

11.x=3

【解析】方程两边同时乘以X(x+3)得：2x=x+3,

解得x=3,

检验：x=3时，x(x+3)#0,

所以方程的解为x=3.

12.-2

【解析】•.•反比例函数了=£依/0)的图象经过点4(1.2)和点8(—1,〃?)，

-m=1x2,解得m=-2,即m的值为-2.

13.130°

【解析】PA,尸8是。。的切线，A,B是切点.

OA±PA,OB工PB,

：.AOAP-AOBP=90°,

AOAP+AAOB+AOBP+ZP=360°,

AAOB=360°-90°-90°-50°=130°.

14.AE=AF

【解析】这个条件可以是AE=AF,

理由：

•.,四边形48CD是矩形，

：.AD||BC,即AF||CE,

■:AF=EC,

四边形48CQ是平行四边形，

AE=AF,

四边形4ECF是菱形.

15.>

【解析】丁甲=gx(ll+12+13+14+15)=13,

S帝=([(11-13)2+(12-13)2+(13-13)2+(14-13)2+(15-13)2]=

2

三乙=(X(12+12+13+14+14)=13,

耳=；[(12-13)2+(12-13)2+(13-13)2+(14-13)2+(14-13)2]=

0.89

・「2>0.8,

.

1

16.2:3,-

【解析】设分配到A生产线的吨数为x吨，则分配到B生产线的吨数为(5-X)吨，

依题意可得：4x+1=2(5-x)+3,

解得：x=2,

所以分配到B生产线的吨数为5—2=3(吨)，

所以分配到A生产线的吨数与分配到B生产线的吨数的比为2:3；

所以第二天开工时，给A生产线分配了(2+〃?)吨原材料，给B生产线分配了(3+〃)吨原材料,

因为加工时间相同，

所以4(2+加)+1=2(3+〃)+3,

1

解得：m=-«,

第三部分

原式=2x——F2^3+5—1

2

17.=V3+2x/3+5-1

=3V3+4.

18.解不等式4x—5>x+1,得：

x>2,

3x—4

解不等式下一,得：

x<4.

则不等式组的解集为2<xv4.

原式=a2—2ab+b2+lab+b2

19.,,,

=a2+2b2,

a2+2b2—1=0,

.-.a2+2b2=1,

原式=1.

20.(1)如图，点。即为所求.

(2)BC；三线合一

21.(1)a=\,h=—4m,c=3/772,

/.A=A2—4ac—(—4/77)2—4x1x3m2=4/7?2.

・「无论m取何值时,4m2》o,即△》0,

原方程总有两个实数根.

(2)X2-4mx+3m2=0,B|J(x-m)(x-3m)=0

X\=m,X2=3w.

/m>0,且该方程的两个实数根的差为2,

/.3m—m=2,

m=\.

22.(1)/^ACB=Z.CAD=90°,

:.AD||CE,

：AE||DC,

/.四边形/EC。是平行四边形.

(2),/EF±AB,

ABFE=90°,

4BF

•/cosB=-=--,BE=5,

5BE

44

/.BF=-BE=-x5=4,

EF=VBE2-BF2="—42=3,

:AE平分N54C,EFLAB,LACE=90°,

/.EC=EF=3,

由(1)得：四边形/EC。是平行四边形，

,\AD=EC=3.

23.(1)函数歹的图象向下平移1个单位长度得到P=—1,

♦y

因为一次函数y=kx+b(k/O)的图象由函数V=-x的图象向下平移1个单位长度得到，

1

所以这个一次函数的表达式为卜=5'-1.

(2)把、=-2代入V=1,求得夕=一2,

所以函数y=mx(m*0)与一次函数V=—1的交点为(-2,-2),

把点(-2.-2)代入y-mx,求得〃？=1,

1

因为当x>-2时，对于x的每一个值，函数夕=("740)的值大于一次函数P—1的

值，

所以1W〃？W1.

24.(1)./I。是。。的直径，ADA.BC,

：.BD^CD,

ABAD=ACAD

(2)在RS80E中，OB=5,OE=3,

BE=JOB”-OE2=4,

AD是。。的直径，AD±BC,

BC=2BE=8,

BG是。。的直径，

乙BCG=90°,

GC=VBG2-BC2=6,

AD±BC,N8CG=90°,

AE\\GC,

△AFOs4CFG,

OA_OF5_OF

GC='FG，即15-OF,解得：。尸=打.

25.(1)将甲城市抽取的25家邮政企业4月份的营业额从小到大排列，处在中间位置的一个数是

10.1,

因此中位数是10.1,即〃？=10.1.

(2)由题意得pi=5+3+4=12(家)，

由于乙城市抽取的25家邮政企业4月份的营业额的平均数是11.0,中位数是11.5,

因此所抽取的25家邮政企业4月份营业额在11.5及以上的占一半，

也就是力的值要大于12,

Pl<P2■

(3)11.0x200=2200(百万元)，

答：乙城市200家邮政企业4月份的总收入约为2200百万元.

26.(1)...〃？=3,〃=15,

.•.点(1.3),(3.15)在抛物线上，

将(1,3),(3,15)代入/=。小+以得：

3=。+4

{15=9〃+36,

f〃=1,

解得q,

[b=2,

歹=工2+2x=(X+1)2—1,

抛物线对称轴为直线、=-1.

(2)y=ax2bx(a>0),

/.抛物线开口向上且经过原点，

当6=0时，抛物线顶点为原点，x>0时y随x增大而增大，〃>机>0不满足题意，

当力>0时，抛物线对称轴在歹轴左侧，同理，〃>〃?>()不满足题意，

:.b<0,抛物线对称轴在y轴右侧，x=1时mvO,x=3时〃>0,

31

抛物线对称轴在直线x=2与直线x=a之间，

1b3

即一v----<-,

122a2'

1(h\3

.,•点(2,外)与对称轴距禺]v2—(一工)<2，

3b一、5

点（-1，乃）与对称轴距离5V-五一（一1）v5,

5a（b\7

点（4,力）与对称轴距离2<4~（一五）<2，

/.歹2V川V力.

27.（1）Z-DAE=ABAC=a,

ADAE-ABAD=ABAC-ABAD,即/BAE=ACAD

在AABE和△4CD中，

AB=AC,

Z.BAE=ACAD.

{AE=AD,

：.4ABE合AACD（SAS）,

/.BE=CD,

为BC的中点，

.・.BM=CM,

BE+MD=BM.

（2）如图，作EH上AB交BC于H,交AB于F,

由（1）AABE合AACD得：LABE=Z.ACD

/AACD=LABC,

/.ABE=Z.ABD,

在/XBEF和ABHF中，

乙EBF=NHBF,

<