大学物理04第四章

精选文档精选文档第四章气体动理论一、基本要求1．理解平衡态的概念。2．了解气体分子热运动图像和理想气体分子的微观模型，能从宏观和统计意义上理解压强、温度、内能等概念。3．初步掌握气体动理论的研究方法，了解系统的宏观性质是微观运动的统计表现。4．理解麦克斯韦速率分布律、速率分布函数和速率分布曲线的物理意义，理解气体分子运动的最概然速率、平均速率、方均根速率的意义，了解玻尔兹曼能量分布律。5．理解能量按自由度均分定理及内能的概念，会用能量均分定理计算理想气体的内能。6．了解气体分子平均碰撞频率及平均自由程的意义及其简单的计算。二、基本内容平衡态在不受外界影响的条件下，一个系统的宏观性质不随时间改变的状态。理想气体状态方程在平衡态下，理想气体各参量之间满足关系式pV=vRT或 p=nkT式中v为气体摩尔数，R为摩尔气体常量R=8.31J.mol-1.K-1,k为玻尔兹曼常量k=1.38x10-23J.K-i

理想气体压强的微观公式1 —2p=—nmv2=—n&3 3t温度及其微观统计意义温度是决定一个系统能否与其它系统处于热平衡的宏观性质，在微观统计上T=3kT

t2能量均分定理在平衡态下，分子热运动的每个自由度的平均动能都相等，且等于kT2。以i表示分子热运动的总自由度，则一个分子的总平均动能为T=-kT

t2速率分布函数df（v）速率分布函数df（v）=N麦克斯韦速率分布函数mf（v）=4兀（ ）2兀kT三种速率最概然速率 v=竺=pmmi.平均速率 v=、区=口、兀m、兀方均根速率 弋V2=、33"=（玻尔兹曼分布律平衡态下某状态区间（粒子能量为T）子数密度按高度的分布（温度均匀）：Ndv3)2v2e-mv2/2kT2rT…^RT' 氏1.41- M Mmol 1 mol8RT RT~ 合1.60, M Mmol mmol3RT 1 :RT x1.73। M \：Mmol mol的粒子数正比于e-t/kT。重力场中粒n=ne-mgh/kT0范德瓦尔斯方程采用相互作用的刚性球分子模型，对于1mol气体a(p+—)(V-b)=RTV2mm气体分子的平均自由程1 1 1无=,=_1

2Inn 。2兀d2n输运过程n=-n=-mnvX=-pv无

3 3dTdQ=-k(dT)dSdt

dzz0热传导扩散dM=-D(处)dSdt D=1v兀dzzo 3三、习题选解4-1一根铜棒的两端分别与冰水混合物和沸水接触，经过足够长的时间后，系统也可以达到一个宏观性质不随时间变化的状态。它是否是一个平衡态？为什么？答：这不是一个热力学平衡态。平衡态是指热力学系统在不受外界影响的条件下，系统的宏观性质不随时间变化的状态。所谓的没有外界影响，指外界对系统既不做功又不传热。两端分别与冰水混和物和沸水接触的铜棒，在和沸水接触的一端，铜棒不断

吸收热量，而在和冰水混合物接触的一端，铜棒不断的释放热量。铜棒和外界以传热的方式进行能量交换，因而它不是一个热力学平衡态。4-2 在一个容积为10dm3的容器中贮有氢气，当温度为7oC时，压强为50atm。由于容器漏气，当温度升为17C,压强仍为50atm,求漏掉氢气的质量。解：设7oC时的参量为P,n,T；17oC时的参量为P,n,T111 222因P=P，由理想气体的状态方程P=nkT得12nkT=nkT

11 22代入T=280K,T=290K得12Tt=1.036T21P50x1.013x105再由P=nkT，得n=-1 =1.311x1027m-31 11 1 kT1.38x10-23x280同理可得1同理可得n=1.265x1027m-32将氢分子质量m与n相乘，可得不同温度下容器内氢气的密度Hp=nm=1.311x1027x2x1.66x10-2724.353kg•m-31H2p=nm=1.265x1027x2x1.66x10-2724.200kg•m-32H2漏掉氢气的质量Am=(p-p)V=0.153x1x10-2=1.53x10-3kg12题4-3图4-3如图所示，两个相同的容器装着氢气，以一光滑水平玻璃管相连，管中用一滴水银做活塞，当左边容器的温度为0oC，而右边容器的温度为20oC时，水银滴刚好在管中央维持平衡。试问：题4-3图(1)当右边容器的温度由0oC升到10°C时，水银是否会移动？怎样移动？(2)如果左边温度升到10。。，而右边升到30°C，水银滴是否会移动？(3)如果要使水银滴在温度变化时不移动，则左右两边容器的温度变化应遵从什么规律？解：(1)可假设水银柱不移动，这样左边容器从0。C升到10°C时，压强会增大，所以水银将向右侧移动。(2)同样假设水银滴不移动，左右两侧体积不变。以p表示左右两侧未升0温前的压强，p表示升温后左侧压强，p表示升温后右侧压强，则12273+10 273+30p= p p= pi273 0 2 273+200可以看出 p>p12水银滴左侧的压强大于右侧的压强，水银滴将向右侧移动。(3)依条件由p由p=p12P二4T273左= 0——=―0-T273+20293右T273—左二 T293右4-4对一定量的气体来说，当温度不变时，气体压强随体积的减小而增大；当体积不变时，压强随温度的升高而增大。从宏观来看，这两种变化同样使压强增大，从微观来看它们有何区别？解：从分子运动论的观点来看，气体作用在器壁上的压强决定于单位体积内的分子数和每个分子的平均平动动能的乘积，或者说，是大量气体分子与器壁频繁进行动量交换的结果。用公式表示就是

当温度不变时，每个分子的平均平动动能没有发生改变，但体积的减少会使单位体积内的分子数增加，即分子数密度n增大。或者说，气体分子与器壁进行的动量交换更加频繁，这样就使容器气体压强增大。当体积不变时，随着温度的升高，每个分子的平均平动动能增加，即气体分子每次碰撞时与器壁交换的动量数值增加。所以也会使气体压强增大。从微观上看，它们的图像是不一样的。4-5 每秒钟有1.0x1023个氢分子(质量为3.3义10-27kg)以1.0x103m・s-1的速度沿着与器壁法线成45。角的方向撞在面积为2.0x10-4m2的器壁上，求氢分子题4-5图题4-5图解：如图所示与器壁碰撞后，每一个分子的动量改变为 2根0cos45。压强p=2nmvcos45。压强p=2nmvcos45。A2x1.0x1023x3.3x10-27x1.0x103X与22.0x10-4=2.3x103Pa4-6道耳顿(Dalton'sLaw)定律指出，当不起化学作用的气体在一容器中混合时，在给定温度下每一成分气体所作用的压强和该气体单独充满整个容器时的压强相同；并且总压强等于各成分气体的分压强之和。试根据气体动理论并利用式(4.5)导出道耳顿定律。解：气体动理论给出的压强公式为1-21—2_p=—nmv2=—n(—mv2)=—ne3 32 3设几种气体混合贮在同一容器中，单位体积内所含各种气体的分子数分别为

n,n,L，则单位体积内混合气体的总分子数为12n=n+n+L

12又混合气体的温度相同，根据能量均分定理，不同成份的气体分子平均动能相等，3―即 £=£=L=£=kTTOC\o"1-5"\h\z12 22混合气体的压强为 p=-(n+n+L)£31 22 2T=—n&+—n£+L311 322=p+p+L

12其中 p=2n£=2n3kT=nkTi3i3i2i2 2 3._p=—n£=—n—kT=nkT2 32 322 2Mp,p,L即每一成分气体单独充满整个容器时的压强并，且总压强等于各成12分气体的压强之和，这就是道耳顿分压定律。4-7 （1）具有活塞的容器中盛有一定量的气体，如果压缩气体并对其进行加热，使它的温度27oC升到177oC，体积减小一半，求气体压强变化多少?（2）此时气体分子的平均平动动能变化多少？分子的方均根速率变化多少？解：（1）由理想气体状态方程TOC\o"1-5"\h\zpV pV—2^2=—T T21V=1VT=273+27=300K2 21 1T=273+177=450K2有（2）由题意p2有（2）由题意p2VT=p・一・—=piVTi21・2X450=3p

300i3£=-kTi2i3

£=—kT

222温度为T时，方均根速率为1温度为T时，方均根速率为2所以1T=1.5£1113004-8 (1T=1.5£111300的速率。对氧分子作同样的计算。(2)试问在月球表面上，计算结果是否相同，假设月球表面的重力加速度为0.16g。(3)在地球的上层大气中，温度约为1000K左右。你认为该处是否有很多氢气？有很多氧气？解：(1)第二宇宙速率v=11.2km.s-1=11.2x103m.s-1。分子的方均根速率2辰=3RTL。氢分子的摩尔质量M=2x10一3kg。由题意JV2=v。\M H2 。 2'H2M 2X10-3T=—Hrv2=—— x(11.2x103)2=1.0x104KH2 3R23x8.31氧分子摩尔质量为M=32x10-3kg有O2M 32x10-3T=-^2v2=—— x(11.2x103)2=1.6x105KO2 3R2 3x8.31⑵月球表面逃逸速率vy等=22两黑:清61022

月=2.38x103m-s-12x10-3T=—— x(2.38x103)2=4.5x102KH2 3x8.31

T=32义10一3义(2.38*103)2=7.2义103Ko2 3*8.31(3)地球大气层中，不会有很多氢气，会有较多氧气。4-9水蒸气分解为同温度的氢气和氧气，即HOfH+1O,当不计振2 222动自由度时，求此过程中内能增加的百分比。解：设初始水蒸气的分子总数为N。由0HOfH+-O2 222分解后将有N个H分子和匕个O分子。02 2 2刚性双原子分子可用三个平动自由度”=3)，和两个转动自由度"=2)完整的描述其运动，刚性三原子分子则需要用三个平动自由度”=3)和三个转动自由度"=3)描述其运动。由能量均分原理知一个分子的平均能量为e=2(t+r)kT温度为T时水蒸气的总能量为E=N-(3+3)kT=3NkT

oo2 o若分解为氢气和氧气后，气体温度值为T，这时气体总能量为氢分子能量和氧分子能量之和，用E'表示有E'=N-(3+2)kT+N-(3+2)kT=15NkT

o2 22 4o能量增加的百分比为E'—E

0Eo15NkTE'—E

0Eo3NkT

o4-10 一个能量为IO12eV的宇宙射线粒子，射入氖管中，氖管中0.01mol，如果宇宙射线粒子的能量全部被氖气分子所吸收而变成热运动能量，氖气温度能

升高几度？解：0.01mol氖气共有0.01N个原子，其中N为阿伏加德罗常数。氖为惰

AA性气体，氖气分子以单原子形式存在，若气体温度为T，每一个氖分子的平均能33量为3kT。相应的总能量为0.01N3kT，若射线能量被每个氖分子平均吸收。2 A23AE=0.01Nx-kATa2=1.28x10-6KAE 1012=1.28x10-6KAT= = 001N3k 0.01x6.02x1023x1.5x1.38x10-23.A24-11一容器被中间隔板分成相等的两半，一半装有氦气，温度为250K，另一半装有氧气，温度为310K，两者压强相等，求去掉隔板两种气体混合后的温度。解：隔板未去掉前，容器两侧压强和体积相等设为p和V，再设氦分子摩尔数为v，氧气分子摩尔数为v，由理想气体方程有12pVpV=vRT，

11pVv= ，1RTpV=vRT

2 22pVv二 2RT2氦气为单原子分子，氧气为双原子分子，由能量均分定理，每一个分子的平均能量为£=2(t+r+2s)kT其中t为平动自由度，r为转动自由度，s为振动自由度。对于氦气，有(t=3,r=0,s=0)3&=-kTHe2对于双原子分子，t=3,r=2，在常温下，不足以激发原子的振动，可作为刚性双原子考虑，这时s=0，因而有

初始状态的总能量为35E=vN—kT+vN—kT1A2 1 2A2 2其中N为阿伏加德罗常数。A若去掉隔板后两种气体混合温度为T，其总能量为35E'=vN—kT+vN—kT

1A2 2A2去掉隔板的过程不会对系统有任何外界的影响，能量守恒有E=E'3535

vN—kT+vN—kT=vN—kT+vN—kT1A2 1 2A2 2 1A2 2A2将v和v代入有12pV-N3kT+pV-N5kT=叱N3kT+VN5kTRTA21RTA22RTA2RTA212 12化简后得TT3—+5—=8TT8TT8TTT= 123T+5T218*310*250=284K3义310+5*2504-12已知/(o)是速率分布函数，说明以下各式的物理意义:(1)/(o)do；(2)nf(o)do，其中n是分子数密度；(3)J%of(o)do；(4)o1Jopf(o)do，其中o为最概然速率；(5)J"o2f(o)do。0p op答：(1)f(o)do=dN，是速率在o到o+do之间的分子数与总分子数的比。N(2)nf(o)do=dN，是单位体积内，速率在o到o+do之间的分子数。Jo2odN(3)Jo2of(o)do=t ，是速率介于o到o之间分子的平均速率。o N 121

fvpdN，是分子速率在0到v之间的分子数与总分子数

p(4)Jvpf(v，是分子速率在0到v之间的分子数与总分子数

p0N的比值，即速率小于最概然速率的分子与总分子数的比例。「v2dN（5）J”v2f（v）dv=3 ，是速率大于v的分子速率平方的平均值（方vN pp均值）。4-13导体中自由电子的运动可以看作类似于气体分子的运动（故称电子气）。设导体中共有N个自由电子，电子运动的最大速率为v，其速率分布函数p(0<v<(0<v<v)F——v2Nf(v)=<（1）求常量A;（2）证明电子的平均动能3=3（2）证明电子的平均动能3=3853(1mv2)。52F’4兀A v2(0<v<v)F解：速率分布函数f（v）=<(v>v)F（1（1）由速率分布函数的物理意义有3N3N求得A二 求得4兀v3F（2）平均动能8（2）平均动能8=f01mv2

02f(v)dv」v01―mv2•23N dv4兀v3Ffv3fv3v4 3=Jf—m——dv=—02v3 5F门-mv24-14有N个粒子，其速率分布函数为f(v)=<v0a0(0<v<v)0(v<v<24-14有N个粒子，其速率分布函数为f(v)=<v0a0(0<v<v)0(v<v<2v)00(v>2v)0（1）做速率分布曲线并求常量a；分别求速率大于v和小于v的粒子数；（2）00（2）若总分子数为N,则速率大于v的分子数为0N二0Nf(v)dv二1v0J2vov22N——dv=-N3v30速率小于v的分子数为

0=卜0Nf(v)dvJv(Navdvv021 1=N v2=—N3v22030（3）平均速率为v=J"vf(v)dv=J2v2v02-^dv+3v20J2v。英v

v3v

002v02 1 11=—v+ (4v2-v2)=-v903v2 0 0 9 004-15 设氢气的温度为300K，求速率为3000m・s-1到3010m・s-1之间的分子数n与速率在1500m-s-1到1510m-s-1之间的分子数n之比。解：麦克斯韦速率分布率是dN=4兀N(-^―)3v2e-mv\kidv

2兀kTTOC\o"1-5"\h\zm33 -mv24兀N( )2v2e12kTAvAN 1AAN 1AN2m3 -mv24兀N( )2v2e22kTAv2兀kT 2 2m v2Av=exp (v2—v2)•一•——12kT2 1v2Av22由题意Av=Av=10m-s-1，v=3000m-s-1，v=1500m-s-1

12 1 2氢气分子质量为m=2*1.67义10-27kg=3.34义10-27kg代入数据有AN / 3.34x10-27x(15002-30002)、，3000、—=(exp -)x( )2=0.27AN 2x1.38x10-23x300 150024-16 (1)混合气体处于平衡态时，各种气体的麦克斯韦速率分布与其它气体是否存在无关。请说明这一点；(2)证明：由N个粒子组成的一团气体，不管其速率具体分布如何，它的方均根速率不会小于平均速率v。答：(1)热平衡时各种气体的温度都相同，每种气体的温度都等于混合气体的温度，而各种气体混合后其分子质量不变，气体的麦克斯韦速率分布只与气体的温度和分子质量有关，而与气体的体积和压强无关，所以各种气体单独存在时的速率分布与混合时的速率分布相同。(2)设N个粒子组成气体的速率分布函数为F(v),即处于区间v〜v+dv区间内粒子数AN与粒子总数N之比为竺=F(v)dvN由归一化条件有「F(v)dv=10v2二0v2F(v)dv0v=「vF(v)dv0利用定积分的性质Jbf(x)g(x)dx2<fbf(x)FdxJb[g(x)1dxa aa令f(v)=JF(v) g(v)=v、；F(v)则有2<Js(\Fv))2dv}(v、,Fv))2dv0 0JsvF(v)dv02<JsF(v)dv-J*v2F(v)dv00即 (v)2<v2 v<vv2即方均根速率不会小于平均速率。4-17设地球大气是等温的，温度为t=5oC，海平面上的气压为p=750mmHg，今测得某山顶的气压p=590mmHg，求山高。已知空气的平均0相对分子量为28.97。解：分子数密度随重力势能的分布为n(z)=ne~mgzT0其中n0为海平面上的分子数密度。压强f(v压强f(v)dv=4兀(m2兀kT)2v2e~mv22kTdvTOC\o"1-5"\h\zp=nkT=nkTe一陵江=pe心0 0kT、p8.31义278 ,750z= ln—0-= ln m=1.95义103mmgp28.97x10-3义9.8 5904-18令£=1mv2表示气体分子的平动能。试根据麦克斯韦速率分布律证明：平动能在区间£~£+遥内分子数占总分子数的比率为一、一2一― -f(£)d£=^=(kT)-32£-12e-£kTd£

V■兀根据上式求分子平动能5的最概然值及平均平动育俗。解：麦克斯韦速率分布率是令£=—mv222£dv=122£dv=122£-2d£=m代入麦克斯韦速率分布公式f（£）d£=4兀（-m）3竺e-ekT•■1—d£2kkTmV2m£2a一=:(kT-2*'£e-£kTd£v'K£最概然值可由f'（£）=0求出，也可由（lnf（£））'=0求出。(lnf(£))，=12£平均动能 £=Jg£平均动能 £=Jg£f(£)d£=k£三(kT)-2、/£e-£kTd£=3kT*：兀 24-19 日冕的温度为2x106K，求其中电子的方均根速率。宇宙空间温度为2.7K，其中气体主要是氢原子，求那里的氢原子的方均根速率。1994年曾用激光冷却的方法使一群Na原子达到2.4x10-11K的低温。求这些Na原子的方均根

速率。解：（1）日冕的温度为2x106K，其中电子的方均根速率为里x1.73mx里x1.73mx9.53x106m・s-i（2）宇宙空间的温度为2.7K,其中氢原子的方均根速率为些X1.73m些X1.73mx2.59x102m・s-i（3）在2.4x10-iiK的温度下，N原子的方均根速率为

akTx1.73 3XkTx1.73 3XmNa1.61x10-4m・s-14-20N的范德瓦尔斯常量a=1.39x10-6m6•atm•mol-2，4-202b=39x10-6m3•mol-1；写出20mol氮气的范德瓦尔斯方程。若将20mol的氮气不断压缩，它将接近多大的体积？假设此时氮分子是紧密排列的，试估算氮分子的线度大小。此时由于气体分子间的引力所产生的内压强大约是多少大气压？解：1mol范德瓦耳斯方程是a(P+—)(V-b)=RT

V2mm其中V是气体摩尔体积。若nmol的气体体积为V,有V=-，n摩尔气体的范m mn德瓦耳斯方程为(p+n2a)(--b)=RT或(p+史)(--nb)=nRTV2n V2(p+1.39x10-6x202)(V-20x39x10-6)=20RTV2(p+16义10-4)(V-7.8x10-4)=20RTV2Vfnb=20x39x10-6=7.8x10-4m3

当分子密排时，b约为1摩尔气体内所有分子体积总和的4倍，设分子直径为d，有其中N为阿伏加德罗常数A3b2兀3b2兀N:3x39x10-632x3.14x6.02x1023=3.1x10-10m此时内压强n2an2a a 1.39x10-6p = =—= =914atminV2 (nb)2 b2(39x10-6)24-21试证：当每摩尔气体的体积增大时，范德瓦耳斯方程就趋近于理想气体状态方程。解：由范氏气体压强公式有RTaRT1a

- - - V-bV2VbV2m m mnRT

lim( vfnRT

lim( vfVmVmnRT1aV1bV21 mVmlimlimp-Vfgm-lim—)VfV2mm二(■nRTlimVfg

m-lima—)-VfV2mmnRT

~\T当V趋于无穷大时mnRTP--，即pV-nRT即当气体摩尔体积增大时，范德瓦耳斯方程趋近于理想气体方程。4-22氮分子的有效直径为3.8x10-10m，求它在标准状态下的平均自由程

和连续两次碰撞间的平均时间间隔。解：分子平均自由程kT22dd2p标准状态是指压强为p一个大气压，温度为0和连续两次碰撞间的平均时间间隔。解：分子平均自由程kT22dd2p标准状态是指压强为p一个大气压，温度为0oC的状态1.38*10-23X273<2x3.14x(3.8x10-10)2x1.013x105m=5.8x10-8m氮分子的分子量为28，在标准状态下平均速率为_ :8RT ，8x8.31x273v=1 =' m-s-1\mM \'3.14x28x10-3mol=454m•s-1两次碰撞的平均时间间隔为兀5.8x10-8AT=—= 454=1.28x10-10s4-23在标准状态下CO分子的平均自由程兀=6.29x10-8m。求CO分子22的平均碰撞频率以及CO分子的有效直径。2解：CO的分子量为44,标准状态时T=273K，CO分子的平均速率为22।8RT -8x8.3x273 …v=1 =: m•s-1=362m•s-1dMM \3.11x44x10-3Tmol分子的平均碰撞频率为z= = 至? s=5.76x109次-s-1无6.29x10-8再由kTJ2kTJ2dd2pm=3.7x10-10mm=3.7x10-10m&x3.14x6.29x10-8x1.013x1054-24一氢分子（直径为1.0x10-10m）以方均根速率从炉中T=4000K）逸出而进入冷的氩气室，室内氩气密度为每立方米4.0X1025原子（氩原子直径3.0X10-10m)，试问氢分子的速率为多大？把氩原子和氢分子都看成球体，则在相互碰撞使他们中心靠的最近的距离为多少？最初阶段，氢分子每秒内受到的碰撞次数为多少？解：（1）氢分子的摩尔质量为2X10-3kg-mol-1在T=4000K时方均根速率为_7.06x103m・s-13Rnr_j3X8.3_7.06x103m・s-1mol（2）氢分子和氩原子的中心最短距离为TOC\o"1-5"\h\zd+d1.0x10-10+3.0x10-10 「A—h ^_ _2.0x10-10m2 2（3）相互碰撞时中心距离为dH+dA，所以氢分子和氩原子的平均碰撞频2率为_d+d、 -z=兀(—H A)2.v2