第四章-连续时间系统的频域分析课件

时域分析，以冲激函数为基本信号，任意输入信号可分解为一系列冲激函数之和；yzs(t)=h(t)*f(t)。本章将以正弦信号和虚指数信号ejωt为基本信号，任意输入信号可分解为一系列不同频率的正弦信号或虚指数信号之和（对于周期信号）或积分（对于非周期信号）。

用于系统分析的独立变量是频率，故称为频域分析。第四章连续系统的频域分析1时域分析，以冲激函数为基本信号，任意输入信号

从本章开始由时域转入变换域分析。首先讨论傅里叶级数正交函数展开，进而引出傅里叶变换。周期信号--傅里叶级数和傅里叶变换非周期信号—傅里叶变换第四章连续系统的频域分析2从本章开始由时域转入变换域分析。第四章连续系统的频域分发展历史1822年，法国数学家傅里叶(J.Fourier,1768-1830)在研究热传导理论时发表了“热的分析理论”，提出并证明了将周期函数展开为正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数的理论基础。泊松(Poisson)、高斯(Guass)等人把这一成果应用到电学中去，得到广泛应用。进入20世纪以后，滤波器、正弦振荡器等一系列具体问题的解决为正弦函数与傅里叶分析的进一步应用开辟了广阔的前景。在通信与控制系统的理论研究和工程实际应用中，傅里叶变换法具有很多的优点。“FFT”快速傅里叶变换为傅里叶分析法赋予了新的生命力。第四章连续系统的频域分析3发展历史1822年，法国数学家傅里叶(J.Fourier,1第四章连续系统的频域分析4.1信号分解为正交函数4.2傅里叶级数4.3周期信号的频谱4.4非周期信号的频谱——傅里叶变换4.5傅里叶变换的性质4.6周期信号的傅里叶变换4.7LTI系统的频域分析4.8取样定理4第四章连续系统的频域分析4.1信号分解为正交函数44.1信号分解为正交函数一、矢量正交与正交分解矢量Vx=(vx1,vx2,vx3)与Vy=(vy1,vy2,vy3)正交的定义：其内积为0。即信号分解为正交函数的原理与矢量分解为正交矢量的概念相似。4.1信号分解为正交函数54.1信号分解为正交函数一、矢量正交与正交分解矢量Vx4.1信号分解为正交函数由两两正交的矢量组成的矢量集合---称为正交矢量集如三维空间中，以矢量vx=（2，0，0）、vy=（0，2，0）、vz=（0，0，2)所组成的集合就是一个正交矢量集。例如对于一个三维空间的矢量A=(2，5，8)，可以用一个三维正交矢量集{vx，vy，vz}分量的线性组合表示。即

A=vx+2.5vy+4vz

矢量空间正交分解的概念可推广到信号空间，在信号空间找到若干个相互正交的信号作为基本信号，使得信号空间中任意信号均可表示成它们的线性组合。64.1信号分解为正交函数由两两正交的矢量组成的矢量集合-4.1信号分解为正交函数二、信号正交与正交函数集1.定义：

定义在(t1，t2)区间的两个函数

1(t)和

2(t),若满足(两函数的内积为0)则称

1(t)和

2(t)在区间(t1，t2)内正交。2.正交函数集：

若n个函数

1(t)，

2(t)，…，

n(t)构成一个函数集，当这些函数在区间(t1，t2)内满足则称此函数集为在区间(t1，t2)的正交函数集。74.1信号分解为正交函数二、信号正交与正交函数集1.定4.1信号分解为正交函数3.完备正交函数集：

如果在正交函数集{

1(t)，

2(t)，…，

n(t)}之外，不存在函数φ(t)(≠0）满足则称此函数集为完备正交函数集。例如：三角函数集{1，cos(nΩt)，sin(nΩt)，n=1,2,…}和虚指数函数集{ejnΩt，n=0，±1，±2，…}是两组典型的在区间(t0，t0+T)(T=2π/Ω)上的完备正交函数集。(i=1，2，…，n)84.1信号分解为正交函数3.完备正交函数集：如果在正4.1信号分解为正交函数三、信号的正交分解设有n个函数

1(t)，

2(t)，…，

n(t)在区间(t1，t2)构成一个正交函数空间。将任一函数f(t)用这n个正交函数的线性组合来近似，可表示为f(t)≈C1

1+C2

2+…+Cn

n

如何选择各系数Cj使f(t)与近似函数之间误差在区间(t1，t2)内为最小。通常使误差的方均值(称为均方误差)最小。均方误差为94.1信号分解为正交函数三、信号的正交分解设有n个函数4.1信号分解为正交函数为使上式最小展开上式中的被积函数，并求导。上式中只有两项不为0，写为即所以系数104.1信号分解为正交函数为使上式最小展开上式中的被积函数4.1信号分解为正交函数代入，得最小均方误差（推导过程见教材）在用正交函数去近似f(t)时，所取得项数越多，即n越大，则均方误差越小。当n→∞时（为完备正交函数集），均方误差为零。此时有上式称为(Parseval)巴塞瓦尔公式，表明：在区间(t1,t2)f(t)所含能量恒等于f(t)在完备正交函数集中分解的各正交分量能量的总和。函数f(t)在区间(t1,t2)可分解为无穷多项正交函数之和114.1信号分解为正交函数代入，得最小均方误差（推导过程见对周期信号而言，在满足狄里赫利(Dirichlet)条件的情况下，所展开的无穷级数称为傅里叶级数。展开的无穷级数为三角函数，称为：三角形傅里叶级数。展开的无穷级数为指数形式，称为：指数形傅里叶级数。狄里赫利(Dirichlet)条件条件1：在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的数目应是有限个。条件2：在一周期内，极大值和极小值的数目应是有限个。条件3:在一周期内，信号绝对可积。4.2傅里叶级数4.2傅里叶级数12对周期信号而言，在满足狄里赫利(Dirichlet)条件的情4.2傅里叶级数一、傅里叶级数的三角形式设周期信号f(t)，其周期为T，角频率

=2

/T，当满足狄里赫利(Dirichlet)条件时，它可分解为如下三角级数——称为f(t)的傅里叶级数

系数an,bn称为傅里叶系数

可见，an是n的偶函数，bn是n的奇函数。直流分量余弦分量的幅度正弦分量的幅度134.2傅里叶级数一、傅里叶级数的三角形式设周期信号f(t4.2傅里叶级数式中，A0=a0上式表明，周期信号可分解为直流和许多余弦分量。其中，A0/2为直流分量；A1cos(

t+

1)称为基波或一次谐波，它的角频率与原周期信号相同；A2cos(2

t+

2)称为二次谐波，它的频率是基波的2倍；一般而言，Ancos(n

t+

n)称为n次谐波。可见An是n的偶函数，

n是n的奇函数。an=Ancos

n，bn=–Ansin

n，n=1,2,…将上式同频率项合并，可写为144.2傅里叶级数式中，A0=a0上式表明，周期信号可4.2傅里叶级数二、波形的对称性与谐波特性1.f(t)为偶函数——对称纵坐标bn=0，展开为余弦级数。2.f(t)为奇函数——对称于原点an=0，展开为正弦级数。实际上，任意函数f(t)都可分解为奇函数和偶函数两部分，即f(t)=fod(t)+fev(t)由于f(-t)=fod(-t)+fev(-t)=-fod(t)+fev(t)所以154.2傅里叶级数二、波形的对称性与谐波特性1.f(t)4.2傅里叶级数3.f(t)为奇谐函数——f(t)=–f(t±T/2)此时其傅里叶级数中只含奇次谐波分量，而不含偶次谐波分量即a0=a2=…=b2=b4=…=0164.2傅里叶级数3.f(t)为奇谐函数——f(t)=三、周期信号的对称性与付立叶系数的关系。FF4.2傅里叶级数17三、周期信号的对称性与付立叶系数的关系。FF4.2傅里叶解:4.2傅里叶级数18解:4.2傅里叶级数184.2傅里叶级数194.2傅里叶级数194.2傅里叶级数204.2傅里叶级数204.2傅里叶级数214.2傅里叶级数214.2傅里叶级数224.2傅里叶级数22周期信号的傅里叶级数的项数愈多，即谐波分量愈多，合成波形越接近原始波形，波形的边缘愈陡峭。频率较低的谐波振幅较大，是组成原始波形的主体；频率较高的谐波振幅较小，主要影响波形的细节。4.2傅里叶级数23周期信号的傅里叶级数的项数愈多，即谐波分量愈多，合成波形越接波形变化愈剧烈，高频分量愈丰富；波形变化愈缓慢，低频分量愈丰富。在间断点附近，随着合成波形所含谐波分量的增高，合成波形的尖峰愈靠近间断点，但尖峰幅度并未明显减小。即时所含谐波次数趋于∞时，间断点附近仍有9%的偏差。这种现象称为吉布斯(Gibbs)现象。4.2傅里叶级数24波形变化愈剧烈，高频分量愈丰富；4.2傅里叶级数24解:4.2傅里叶级数25解:4.2傅里叶级数254.2傅里叶级数264.2傅里叶级数26解:4.2傅里叶级数27解:4.2傅里叶级数274.2傅里叶级数284.2傅里叶级数284.2傅里叶级数294.2傅里叶级数29解:4.2傅里叶级数30解:4.2傅里叶级数304.2傅里叶级数314.2傅里叶级数31三、傅里叶级数的指数形式三角形式的傅里叶级数，含义比较明确，但运算常感不便，因而经常采用指数形式的傅里叶级数。可从三角形式推出：利用cosx=(ejx+e–jx)/24.2傅里叶级数32三、傅里叶级数的指数形式三角形式的傅里叶级数，含义比较明确，4.2傅里叶级数上式中第三项的n用–n代换，A–n=An，

–n=–

n，则上式写为令所以334.2傅里叶级数上式中第三项的n用–n代换，A–n=A4.2傅里叶级数令复数称其为复傅里叶系数，简称傅里叶系数。n=0,±1,±2，…表明：任意周期信号f(t)可分解为许多不同频率的虚指数信号之和。F0=A0为直流分量。344.2傅里叶级数令复数称其为复傅里叶系数，简称傅里叶系数4.2傅里叶级数四、周期信号的功率——Parseval等式（帕赛瓦尔定理）周期信号一般是功率信号，其平均功率为周期信号的平均功率等于傅里叶级数展开各谐波分量有效值的平方和，即时域和频域的能量守恒。354.2傅里叶级数四、周期信号的功率——Parseval等4.3周期信号的频谱4.3周期信号的频谱及特点一、信号频谱的概念 信号的某种特征量随信号频率变化的关系，称为信号的频谱，所画出的图形称为信号的频谱图。周期信号的频谱是指周期信号中各次谐波幅值、相位随频率的变化关系，即将An~ω和

n~ω的关系分别画在以ω为横轴的平面上得到的两个图，分别称为振幅频谱图和相位频谱图。因为n≥0，所以称这种频谱为单边谱。也可画|Fn|~ω和

n~ω的关系，称为双边谱。若Fn为实数，幅度谱和相位谱可画在一幅图上。正值代表的相位为0，负值代表的相位为。364.3周期信号的频谱4.3周期信号的频谱及特点一、信4.3周期信号的频谱例：周期信号f(t)=试求该周期信号的基波周期T，基波角频率Ω，画出它的单边频谱图，并求f(t)的平均功率。解首先应用三角公式改写f(t)的表达式，即显然1是该信号的直流分量。的周期T1=8的周期T2=6所以f(t)的周期T=24，基波角频率Ω=2π/T=π/12根据帕斯瓦尔等式，其功率为P=374.3周期信号的频谱例：周期信号f(t)=解4.3周期信号的频谱是f(t)的[π/4]/[π/12]=3次谐波分量；是f(t)的[π/3]/[π/12]=4次谐波分量；画出f(t)的单边振幅频谱图、相位频谱图如图384.3周期信号的频谱是f(t)的[π/4]/[π/124.3周期信号的频谱二、周期信号频谱的特点举例：有一幅度为1，脉冲宽度为

的周期矩形脉冲，其周期为T，如图所示。求频谱。令Sa(x)=sin(x)/x(取样函数）394.3周期信号的频谱二、周期信号频谱的特点举例：有一幅度4.3周期信号的频谱,n=0,±1，±2，…Fn为实数，可直接画成一个频谱图。设T=4τ画图。零点为所以，m为整数。404.3周期信号的频谱,n=0,±1，±2，…F特点：

(1)周期信号的频谱具有谐波(离散)性，两谱线间为。谱线位置是基频Ω的整数倍；(2)一般具有收敛性。总趋势减小。(3)周期矩形脉冲信号包含无限多条谱线，可分解为无限多个频率分量。但分量幅度随频率增高而减小。信号能量主要集中在第一个零点内。通常把这段频率范围称为周期矩形脉冲信号的频带宽度，用符号B表示。

4.3周期信号的频谱41特点：4.3周期信号的频谱414.3周期信号的频谱424.3周期信号的频谱424.3周期信号的频谱谱线的结构与波形参数的关系(a)T一定，

变小，信号带宽变宽，频带所含分量增多。(b)

一定，T增大，间隔

减小，频谱变密。幅度减小。如果周期T无限增长（这时就成为非周期信号），那么，谱线间隔将趋近于零，周期信号的离散频谱就过渡到非周期信号的连续频谱。各频率分量的幅度也趋近于无穷小。

434.3周期信号的频谱谱线的结构与波形参数的关系(a)T4.4傅里叶变换4.4非周期信号的频谱—傅里叶变换一、傅里叶变换非周期信号f(t)可看成是周期T→∞时的周期信号。前已指出当周期T趋近于无穷大时，谱线间隔

趋近于无穷小，从而信号的频谱变为连续频谱。各频率分量的幅度也趋近于无穷小，不过，这些无穷小量之间仍有差别。为了描述非周期信号的频谱特性，引入频谱密度的概念。令(单位频率上的频谱）称F(jω)为频谱密度函数。444.4傅里叶变换4.4非周期信号的频谱—傅里叶变换一4.4傅里叶变换考虑到：T→∞，Ω→无穷小，记为dω；nΩ→ω（由离散量变为连续量），而同时，∑→∫于是，傅里叶变换式“-”傅里叶反变换式F(jω)称为f(t)的傅里叶变换或频谱密度函数，简称频谱。f(t)称为F(jω)的傅里叶反变换或原函数。根据傅里叶级数454.4傅里叶变换考虑到：T→∞，Ω→无穷小，记为dω；同4.4傅里叶变换也可简记为F(jω)=F[f(t)]f(t)=F

–1[F(jω)]或f(t)←→F(jω)F(jω)一般是复函数，写为F(jω)=|F(jω)|ej

(ω)=R(ω)+jX(ω)说明(1)前面推导并未遵循严格的数学步骤。可证明，函数f(t)的傅里叶变换存在的充分条件:(2)用下列关系还可方便计算一些积分464.4傅里叶变换也可简记为F(jω)=F[f4.4傅里叶变换二、常用函数的傅里叶变换单边指数函数f(t)=e–

tε(t)，

>0实数2.双边指数函数f(t)=e–

t

,

>0474.4傅里叶变换二、常用函数的傅里叶变换单边指数函数f(4.4傅里叶变换3.门函数(矩形脉冲)4.冲激函数(t)、´(t)484.4傅里叶变换3.门函数(矩形脉冲)4.冲激函数4.4傅里叶变换5.常数1有一些函数不满足绝对可积这一充分条件，如1，

(t)等，但傅里叶变换却存在。直接用定义式不好求解。

可构造一函数序列{fn(t)}逼近f

(t)，即而fn(t)满足绝对可积条件，并且{fn(t)}的傅里叶变换所形成的序列{Fn(j

)}是极限收敛的。则可定义f(t)的傅里叶变换F

(j

)为这样定义的傅里叶变换也称为广义傅里叶变换。494.4傅里叶变换5.常数1有一些函数不满足绝对可积这一4.4傅里叶变换构造f

(t)=e-

t

，

>0←→所以又因此，1←→2()

另一种求法：(t)←→1代入反变换定义式，有将→t，t→-

再根据傅里叶变换定义式，得504.4傅里叶变换构造f(t)=e-t，>6.符号函数4.4傅里叶变换7.阶跃函数(t)516.符号函数4.4傅里叶变换7.阶跃函数(t)514.4傅里叶变换归纳记忆：1.F变换对2.常用函数F变换对：δ(t)ε(t)e-

t

ε(t)gτ(t)sgn

(t)e–

|t|112πδ(ω)524.4傅里叶变换归纳记忆：1.F变换对2.常用函4.5傅里叶变换的性质4.5傅里叶变换的性质一、线性(LinearProperty)Iff1(t)←→F1(jω)，f2(t)←→F2(jω)thenProof:

F[af1(t)+bf2(t)]=[aF1(jω)+bF2(jω)][af1(t)+bf2(t)]←→[aF1(jω)+bF2(jω)]534.5傅里叶变换的性质4.5傅里叶变换的性质一、线性4.5傅里叶变换的性质Forexample

F(jω)=?Ans:f

(t)=f1(t)–g2(t)f1(t)=1←→2πδ(ω)g2(t)←→2Sa(ω)∴F(jω)=2πδ(ω)-2Sa(ω)‖-544.5傅里叶变换的性质ForexampleF(jω4.5傅里叶变换的性质二、对称性质(SymmetricalProperty)Iff(t)←→F(jω)thenProof:（1）in(1)t→ω，ω→tthen（2）in(2)ω→-ωthen∴F(jt)←→2πf(–ω)endF(jt)←→2πf(–ω)554.5傅里叶变换的性质二、对称性质(Symmetrica4.5傅里叶变换的性质Forexample←→F(jω)=?Ans:ifα=1,∴*ifF(jω)=?564.5傅里叶变换的性质Forexample←→F(j4.5傅里叶变换的性质三、时移性质(TimeshiftingProperty)Iff(t)←→F(jω)thenwhere“t0”isrealconstant.Proof:F[f(t–t0)]574.5傅里叶变换的性质三、时移性质(Timeshifti4.5傅里叶变换的性质ForexampleF(jω)=?Ans:

f1(t)=g6(t-5),

f2(t)=g2(t-5)g6(t-5)←→g2(t-5)←→∴F(jω)=‖+584.5傅里叶变换的性质ForexampleF(j4.5傅里叶变换的性质四、频移性质(FrequencyShiftingProperty)Iff(t)←→F(jω)thenProof:where“ω0”isrealconstant.F[ejω0t

f(t)]=F[j(ω-ω0)]endForexample1f(t)=ej3t←→F(jω)=?Ans:1←→2πδ(ω)ej3t×1←→2πδ(ω-3)594.5傅里叶变换的性质四、频移性质(Frequency4.5傅里叶变换的性质Forexample2f(t)=cosω0t

←→F(jω)=?Ans:F(jω)=π[δ(ω+ω0)+δ(ω-ω0)]Forexample3Giventhatf(t)←→F(jω)Themodulatedsignalf(t)cosω0t←→?

604.5傅里叶变换的性质Forexample2f(t4.5傅里叶变换的性质五、尺度变换性质(ScalingTransformProperty)Iff(t)←→F(jω)thenwhere“a”isanonzerorealconstant.Proof:F[f(at)]=Fora>0,F[f(at)]fora<0,F[f(at)]Thatis,f(a

t)←→Also,lettinga=-1,f(-t)←→F(-jω)614.5傅里叶变换的性质五、尺度变换性质(Scaling4.5傅里叶变换的性质Forexample1Giventhatf(t)←→F(jω),findf(at–b)←→?Ans:

f(t–b)←→e-jωb

F(jω)f(at–b)←→orf(at)←→f(at–b)=624.5傅里叶变换的性质Forexample1Giv4.5傅里叶变换的性质Forexample2f(t)=←→F(jω)=?Ans:Usingsymmetry,usingscalingpropertywitha=-1,sothat,634.5傅里叶变换的性质Forexample2f(t4.5傅里叶变换的性质六、卷积性质(ConvolutionProperty)Convolutionintimedomain：Iff1(t)←→F1(jω)，f2(t)←→F2(jω)Thenf1(t)*f2(t)←→F1(jω)F2(jω)Convolutioninfrequencydomain：Iff1(t)←→F1(jω)，f2(t)←→F2(jω)Thenf1(t)f2(t)←→F1(jω)*F2(jω)644.5傅里叶变换的性质六、卷积性质(Convolutio4.5傅里叶变换的性质Proof:

F[f1(t)*f2(t)]=UsingtimeshiftingSothat,

F[f1(t)*f2(t)]==F1(jω)F2(jω)654.5傅里叶变换的性质Proof:F[f1(t)*4.5傅里叶变换的性质ForexampleAns:Usingsymmetry,664.5傅里叶变换的性质ForexampleAns:Us4.5傅里叶变换的性质七、时域的微分和积分(DifferentiationandIntegrationintimedomain)Iff(t)←→F(jω)thenProof:f(n)(t)=

(n)(t)*f(t)←→(jω)nF(jω)f(-1)(t)=

(t)*f(t)←→674.5傅里叶变换的性质七、时域的微分和积分Iff4.5傅里叶变换的性质f(t)=1/t2←→?Forexample1Ans:684.5傅里叶变换的性质f(t)=1/t2←→?For4.5傅里叶变换的性质Forexample2Giventhatf

(t)←→F1(jω)Prooff(t)←→F1(jω)+[f(-∞)+f(∞)]()ProofSoSummary:if

f(n)(t)←→Fn(jω)，andf(-∞)+f(∞)=0Thenf(t)←→F

(jω)=Fn(jω)/(jω)n694.5傅里叶变换的性质Forexample2Give4.5傅里叶变换的性质Forexample3Determinef(t)←→F

(jω)Ans:f”(t)=(t+2)–2(t)+(t–2)F2(jω)=F[f”(t)]=ej2ω–2+e–

j2ω=2cos(2ω)–2F

(jω)=Notice:dε(t)/dt=(t)←→1ε(t)←×→1/(jω)704.5傅里叶变换的性质Forexample3Dete4.5傅里叶变换的性质八、频域的微分和积分(DifferentiationandIntegrationinfrequencydomain)Iff(t)←→F(jω)then(–jt)n

f(t)←→F(n)(jω)whereForexample1Determinef(t)=tε(t)←→F

(jω)=?Ans:714.5傅里叶变换的性质八、频域的微分和积分Iff4.5傅里叶变换的性质Notice:tε(t)=ε(t)*ε(t)←→It’swrong.Because

(

)

(

)and(1/j

)

(

)isnotdefined.Forexample2DetermineAns:724.5傅里叶变换的性质Notice:tε(t)九、帕斯瓦尔关系(自学)(Parseval’sRelationforAperiodicSignals)Proof|F(jω)|2isreferredtoastheenergy-densityspectrumoff(t).单位频率上的频谱(能量密度谱）J·s4.5傅里叶变换的性质73九、帕斯瓦尔关系(自学)Proof|F(jω)|2isrForexampleDeterminetheenergyofAns:4.5傅里叶变换的性质74ForexampleDeterminetheenerg4.5傅里叶变换的性质十、奇偶性(Parity)(自学)Iff(t)isreal,then=R(ω)+jX(ω)SothatR(ω)=R(–ω),X(ω)=–X(–ω)|F(jω)|=|F(–jω)|,

(ω)=–

(–ω)(2)Iff(t)=f(-t),thenX(ω)=0,F(jω)=R(ω)Iff(t)=-f(-t),thenR(ω)=0,F(jω)=jX(ω)754.5傅里叶变换的性质十、奇偶性(Parity)(自学)4.6周期信号的傅里叶变换4.6周期信号傅里叶变换一、正、余弦的傅里叶变换1←→2πδ(ω)由频移特性得ejω0t←→2πδ(ω–ω0)e–jω0t←→2πδ(ω+ω0)cos(ω0t)=½(ejω0t+e–jω0t)←→π[δ(ω–ω0)+δ(ω+ω0)]sin(ω0t)=

(ejω0t-e–jω0t)/(2j)←→jπ[δ(ω+ω0)–δ(ω–ω0)]764.6周期信号的傅里叶变换4.6周期信号傅里叶变换一4.6周期信号傅里叶变换二、一般周期信号的傅里叶变换例1：周期为T的单位冲激周期函数

T(t)=解：(1)774.6周期信号傅里叶变换二、一般周期信号的傅里叶变换例14.6周期信号傅里叶变换例2：周期信号如图，求其傅里叶变换。解：周期信号f(t)也可看作一时限非周期信号f0(t)的周期拓展。即f(t)=

T(t)*f0(t)F(jω)=Ω

Ω(ω)F0(jω)F(jω)=本题f0(t)=g2(t)←→(2)(2)式与上页(1)式比较，得这也给出求周期信号傅里叶级数的另一种方法。784.6周期信号傅里叶变换例2：周期信号如图，求其傅里叶变4.7LTI系统的频域分析4.7LTI系统的频域分析傅里叶分析是将任意信号分解为无穷多项不同频率的虚指数函数之和。对周期信号：对非周期信号：其基本信号为ej

t一、基本信号ej

t作用于LTI系统的响应说明：频域分析中，信号的定义域为(–∞，∞)，而t=–∞总可认为系统的状态为0，因此本章的响应指零状态响应，常写为y(t)。794.7LTI系统的频域分析4.7LTI系统的频域分析4.7LTI系统的频域分析设LTI系统的冲激响应为h(t)，当激励是角频率ω的基本信号ej

t时，其响应而上式积分正好是h(t)的傅里叶变换，记为H(j

)，常称为系统的频率响应函数。y(t)=H(j

)ej

tH(j

)反映了响应y(t)的幅度和相位。y(t)=h(t)*ej

t804.7LTI系统的频域分析设LTI系统的冲激响应为h(t4.7LTI系统的频域分析二、一般信号f(t)作用于LTI系统的响应ej

tH(j

)ej

tF(j

)ej

td

F(j

)H(j

)ej

td

齐次性可加性‖f(t)‖y(t)=F

–1[F(j

)H(j

)]Y(j

)=F(j

)H(j

)814.7LTI系统的频域分析二、一般信号f(t)作用于LT4.7LTI系统的频域分析频率响应H(j

)可定义为系统零状态响应的傅里叶变换Y(j

)与激励f(t)的傅里叶变换F(j

)之比，即

H(j

)

称为幅频特性（或幅频响应）；θ()称为相频特性（或相频响应）。

H(j

)

是

的偶函数，θ(

)是

的奇函数。频域分析法步骤：傅里叶变换法824.7LTI系统的频域分析频率响应H(j)可定义为系统4.7LTI系统的频域分析对周期信号还可用傅里叶级数法。周期信号若则可推导出834.7LTI系统的频域分析对周期信号还可用傅里叶级数法。4.7LTI系统的频域分析例：某LTI系统的

H(j

)和θ()如图，若f(t)=2+4cos(5t)+4cos(10t)，求系统的响应。解法一：用傅里叶变换F(j

)=4πδ(ω)+4π[δ(ω–5)+δ(ω+5)]+4π[δ(ω–10)+δ(ω+10)]Y(j

)=F(j

)H(j

)=4πδ(ω)H(0)+4π[δ(ω–5)H(j5)+δ(ω+5)H(-j5)]+4π[δ(ω–10)H(j10)+δ(ω+10)H(-j10)]H(j

)=H(j

)

ejθ()=4πδ(ω)+4π[-j0.5δ(ω–5)+j0.5δ(ω+5)]y(t)=F-1[Y(j

)]=2+2sin(5t)844.7LTI系统的频域分析例：某LTI系统的H(j)4.7LTI系统的频域分析解法二：用三角傅里叶级数f(t)的基波角频率Ω=5rad/sf(t)=2+4cos(Ωt)+4cos(2Ωt)H(0)=1，H(jΩ)=0.5e-j0.5π，H(j2Ω)=0y(t)=2+4×0.5cos(Ωt–0.5π)=2+2sin(5t)854.7LTI系统的频域分析解法二：用三角傅里叶级数f(t4.7LTI系统的频域分析三、频率响应H(j

)的求法1.H(j

)=F[h(t)]

2.H(j

)=Y(j

)/F(j

)由微分方程求，对微分方程两边取傅里叶变换。由电路直接求出。例1：某系统的微分方程为y´(t)+2y(t)=f(t)求f(t)=e-tε(t)时的响应y(t)。解：微分方程两边取傅里叶变换j

Y(j

)+2Y(j

)=F(j

)864.7LTI系统的频域分析三、频率响应H(j)的求法14.7LTI系统的频域分析f(t)=e-tε(t)←→Y(j

)=H(j

)F(j

)y(t)=(e-t–e-2t)ε(t)例2：如图电路，R=1Ω，C=1F，以uC(t)为输出，求其h(t)。解：画电路频域模型h(t)=e-tε(t)

874.7LTI系统的频域分析f(t)=e-tε(t)←4.7LTI系统的频域分析四、无失真传输与滤波系统对于信号的作用大体可分为两类：一类是信号的传输，一类是滤波。传输要求信号尽量不失真，而滤波则滤去或削弱不需要有的成分，必然伴随着失真。1、无失真传输

（1）定义：信号无失真传输是指系统的输出信号与输入信号相比，只有幅度的大小和出现时间的先后不同，而没有波形上的变化。即输入信号为f(t)，经过无失真传输后，输出信号应为y(t)=Kf(t–td)其频谱关系为Y(j

)=Ke–j

tdF(j

)884.7LTI系统的频域分析四、无失真传输与滤波系统对于信4.7LTI系统的频域分析系统要实现无失真传输，对系统h(t)，H(j

)的要求是：(a)对h(t)的要求：h(t)=K

(t–td)(b)对H(j

)的要求：H(j

)=Y(j

)/F(j

)=Ke-j

td即

H(j

)

=K,θ(

)=–

td

上述是信号无失真传输的理想条件。当传输有限带宽的信号是，只要在信号占有频带范围内，系统的幅频、相频特性满足以上条件即可。(2)无失真传输条件：894.7LTI系统的频域分析系统要实现无失真传输，对系统h4.7LTI系统的频域分析例：系统的幅频特性|H(jω)|和相频特性如图(a)(b)所示，则下列信号通过该系统时，不产生失真的是(A)f(t)=cos(t)+cos(8t)(B)f(t)=sin(2t)+sin(4t)(C)f(t)=sin(2t)sin(4t)(D)f(t)=cos2(4t)904.7LTI系统的频域分析例：系统的幅频特性|H(jω)4.7LTI系统的频域分析2、理想低通滤波器

具有如图所示幅频、相频特性的系统称为理想低通滤波器。

c称为截止角频率。理想低通滤波器的频率响应可写为：(1)冲激响应

h(t)=ℱ-1[g2

c()e-jtd]=可见，它实际上是不可实现的非因果系统。914.7LTI系统的频域分析2、理想低通滤波器具有如图所4.7LTI系统的频域分析(2)阶跃响应

g(t)=h(t)*

(t)=经推导，可得称为正弦积分特点：有明显失真，只要

c<∞，则必有振荡，其过冲比稳态值高约9%。这一由频率截断效应引起的振荡现象称为吉布斯现象。gmax=0.5+Si(π)/π=1.0895924.7LTI系统的频域分析(2)阶跃响应g(t)=h(4.7LTI系统的频域分析3、物理可实现系统的条件

就时域特性而言，一个物理可实现的系统，其冲激响应在t<0时必须为0，即h(t)=0,t<