北京理工大附属中学2024届数学八上期末监测试题含解析

北京理工大附属中学2024届数学八上期末监测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题(每小题3分,共30分)1．若分式中的的值同时扩大到原来的倍，则分式的值（）A．变为原来的倍 B．变为原来的倍C．变为原来的 D．不变2．“Iamagoodstudent.”这句话中，字母“a”出现的频率是()A．2 B． C． D．3．下列命题，是真命题的是（）A．三角形的外角和为B．三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．C．两条直线被第三条直线所截，同位角相等．D．垂直于同一直线的两直线互相垂直．4．分式中的m、n的值同时扩大到原来的5倍，则此分式的值（）A．不变 B．是原来的C．是原来的5倍 D．是原来的10倍5．一支蜡烛长厘米，点燃后每小时燃烧厘米，燃烧时剩下的高度（厘米）与燃烧时间（时）的函数关系的图象是（）A． B．C． D．6．甲乙两地铁路线长约500千米，后来高铁提速，平均速度是原来火车速度的1.8倍，这样由甲到乙的行驶时间缩短了1.5小时；设原来火车的平均速度为千米/时，根据题意，可得方程（）A． B．C． D．7．若长方形的长为(4a2-2a+1)，宽为(2a+1)，则这个长方形的面积为（）A．8a3-4a2+2a-1 B．8a3-1C．8a3+4a2-2a-1 D．8a3+18．如图，△ABC的面积计算方法是（）A．ACBD B．BCEC C．ACBD D．ADBD9．在3.1415926、、、、π这五个数中，无理数有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个10．若代数式有意义，则实数x的取值范围是（）A．x=0 B．x=3 C．x≠0 D．x≠3二、填空题(每小题3分,共24分)11．如果一个多边形的内角和为1260º，那么从这个多边形的一个顶点引对角线，可以把这个多边形分成_______________个三角形．12．已知点A（3+2a，3a﹣5），点A到两坐标轴的距离相等，点A的坐标为_____．13．若点P（2−a，2a+5）到两坐标轴的距离相等，则a的值为____．14．如图所示，一个角60°的三角形纸片，剪去这个60°角后，得到一个四边形，则∠1+∠2＝_____．15．先化简，再求值：，其．16．化简：__________．17．把命题“直角三角形的两个锐角互余”改写成“如果……那么……”的形式：__________________．18．若关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是___________．三、解答题(共66分)19．（10分）（）问题发现：如图①，与是等边三角形，且点，，在同一直线上，连接，求的度数，并确定线段与的数量关系．（）拓展探究：如图②，与都是等腰直角三角形，，且点，，在同一直线上，于点，连接，求的度数，并确定线段，，之间的数量关系．20．（6分）已知三角形△ABC，AB=3，AC=8，BC长为奇数，求BC的长．21．（6分）如图，是边长为的等边三角形，是边上一动点，由向运动（与、不重合），是延长线上一动点，与点同时以相同的速度由向延长线方向运动（不与重合），过作于，连接交于．（1）若时，求的长；（2）当时，求的长；（3）在运动过程中线段的长是否发生变化？如果不变，求出线段的长；如果发生变化，请说明理由．22．（8分）（解决问题）如图1，在中，，于点．点是边上任意一点，过点作，，垂足分别为点，点．（1）若，，则的面积是______，______．（2）猜想线段，，的数量关系，并说明理由．（3）（变式探究）如图2，在中，若，点是内任意一点，且，，，垂足分别为点，点，点，求的值．（4）（拓展延伸）如图3，将长方形沿折叠，使点落在点上，点落在点处，点为折痕上的任意一点，过点作，，垂足分别为点，点．若，，直接写出的值．23．（8分）阅读材料，回答问题：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式．例如：因为，，所与，与互为有理化因式．（1）的有理化因式是；（2）这样，化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如：，用上述方法对进行分母有理化．（3）利用所需知识判断：若，，则的关系是．（4）直接写结果：．24．（8分）如图，在中，，，是中点，．求证：（1）；（2）是等腰直角三角形．25．（10分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，点E在AD上，请写出图中两对全等三角形，并选择其中的一对加以证明．26．（10分）两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，其中，，，，、、在同一条直线上，连结．（1）请在图2中找出与全等的三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；（2）证明：．

参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、B【分析】的值同时扩大到原来的倍可得，再与进行比较即可．【题目详解】将分式中的的值同时扩大到原来的倍，可得则分式的值变为原来的倍故答案为：B．【题目点拨】本题考查了分式的变化问题，掌握分式的性质是解题的关键．2、B【解题分析】这句话中，15个字母a出现了2次，所以字母“a”出现的频率是.故选B.3、B【分析】根据三角形的性质,平行与垂直的性质逐一判断即可.【题目详解】解:A.三角形的外角和为,故错误;B.三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和,所以它大于任何一个和它不相邻的内角,故正确;C.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等,故错误;D.垂直于同一直线的两直线互相平行,故错误.故选:B.【题目点拨】本题通过判断命题的真假考查了几何基本图形的性质定理,理解掌握相关性质是解答关键.4、C【分析】分式的分子扩大到原来的25倍,而分m+n母扩大到原来的5倍,利用分式的基本性质,此分式的值扩大到原来的5倍.【题目详解】解：分式中的m、n的值同时扩大到原来的5倍，则分子扩大到原来的25倍,而分m+n母扩大到原来的5倍，利用分式的基本性质,此分式的值扩大到原来的5倍.故选:C.【题目点拨】本题主要考查分式的基本性质.5、D【分析】随着时间的增多，蜡烛的高度就越来越小，由于时间和高度都为正值，所以函数图象只能在第一象限，由此即可求出答案．【题目详解】解：设蜡烛点燃后剩下h厘米时，燃烧了t小时，

则h与t的关系是为h=20-5t，是一次函数图象，即t越大，h越小，

符合此条件的只有D．

故选：D．【题目点拨】本题主要考查函数的图象的知识点，解答时应看清函数图象的横轴和纵轴表示的量，再根据实际情况来判断函数图象．6、C【分析】设原来高铁的平均速度为x千米/时，则提速后的平均速度为1.8x，根据题意可得：由甲到乙的行驶时间比原来缩短了1.5小时，列方程即可．【题目详解】解：设原来火车的平均速度为x千米/时，则提速后的平均速度为1.8x，由题意得，.故选C.【题目点拨】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．7、D【分析】利用长方形的面积等于长乘以宽，然后再根据多项式乘多项式的法则计算即可．【题目详解】解：根据题意，得S长方形=（4a2-2a+1）（2a+1）=8a3+1．故选D．【题目点拨】本题主要考查多项式乘以多项式运算，解决本题的关键是要熟练掌握多项式乘法法则.8、C【分析】根据三角形的高线及面积可直接进行排除选项．【题目详解】解：由图可得：线段BD是△ABC底边AC的高线，EC不是△ABC的高线，所以△ABC的面积为，故选C．【题目点拨】本题主要考查三角形的高线及面积，正确理解三角形的高线是解题的关键．9、C【解题分析】无理数是指无限不循环小数，根据定义判断即可．【题目详解】解：在3.1415926、、、、π这五个数中，无理数有、π共2个．故选：C．【题目点拨】本题考查了对无理数的定义的应用，注意：无理数包括：①含π的，②开方开不尽的根式，③一些有规律的数．10、D【解题分析】分析：根据分式有意义的条件进行求解即可.详解：由题意得，x﹣3≠0，解得，x≠3，故选D．点睛：此题考查了分式有意义的条件.注意：分式有意义的条件事分母不等于零，分式无意义的条件是分母等于零.二、填空题(每小题3分,共24分)11、1【分析】首先根据多边形内角和公式可得多边形的边数，再计算分成三角形的个数．【题目详解】解：设此多边形的边数为，由题意得：，

解得；，

从这个多边形的一个顶点引对角线，可以把这个多边形分成的三角形个数：9-2=1，

故答案为：1．【题目点拨】此题主要考查了多边形的内角，关键是掌握多边形的内角和公式．12、(19，19)或（，-）【解题分析】根据点A到两坐标轴的距离相等，分两种情况讨论：3+2a与3a﹣5相等；3+2a与3a﹣5互为相反数．【题目详解】根据题意，分两种情况讨论：①3+2a＝3a﹣5，解得：a＝8，∴3+2a＝3a﹣5＝19，∴点A的坐标为（19，19）；②3+2a+3a﹣5＝0，解得：a＝，∴3+2a＝，3a﹣5＝﹣，∴点A的坐标为（，﹣）．故点A的坐标为(19，19)或（，-），故答案为：(19，19)或（，-）．【题目点拨】本题考查了点的坐标，解决本题的关键是根据点A到两坐标轴的距离相等，分两种情况讨论．13、a=-1或a=-1．【分析】由点P到两坐标轴的距离相等可得出|2-a|=|2a+5|，求出a的值即可．【题目详解】解：∵点P到两坐标轴的距离相等，

∴|2-a|=|2a+5|，

∴2-a=2a+5，2-a=-（2a+5）

∴a=-1或a=-1.故答案是：a=-1或a=-1．【题目点拨】本题考查了点到坐标轴的距离与坐标的关系，解答本题的关键在于得出|2-a|=|2a+5|，注意不要漏解．14、240°．【分析】三角形纸片中，剪去其中一个60°的角后变成四边形，则根据多边形的内角和等于360度即可求得∠1+∠2的度数．【题目详解】解：根据三角形的内角和定理得：四边形除去∠1，∠2后的两角的度数为180°﹣60°＝120°，则根据四边形的内角和定理得：∠1+∠2＝360°﹣120°＝240°．故答案为：240°．【题目点拨】本题考查多边形角度的计算,关键在于结合图形运用角度转换.15、，【分析】根据分式混合运算、二次根式的性质分析，即可得到答案．【题目详解】当时故答案为：，．【题目点拨】本题考查了分式和二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握分式混合运算、二次根式的性质，从而完成求解．16、．【分析】先计算商的乘方，然后根据分式的约分的方法可以化简本题．【题目详解】．故答案为：．【题目点拨】本题考查了约分，解题的关键是明确分式约分的方法．17、如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余．【分析】首先找出原命题中的条件及结论，然后写成“如果…，那么…”的形式即可．【题目详解】解：故答案为：如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余．【题目点拨】此题主要考查学生对命题的理解及运用能力．18、且【分析】在方程的两边同时乘以2（x-1），解方程，用含a的式子表示出x的值，再根据x≥0，且x≠1，求解即可．【题目详解】解：两边同时乘以2（x-1），得：4x-2a=x-1，解得x=，由题意可知，x≥0，且x≠1，∴，解得：且，故答案为：且.【题目点拨】本题主要考查分式方程的解，熟练应用并准确计算是解题的关键.三、解答题(共66分)19、（1）的度数为，线段与之间的数量关系是；（2）．【分析】（1）首先根据和均为等边三角形，可得，，，，据此判断出．然后根据全等三角形的判定方法，判断出≌，即可判断出，．进而判断出∠BEC的度数为60°即可；

（2）首先根据和均为等腰直角三角形，可得，，，，据此判断出．然后根据全等三角形的判定方法，判断出≌，即可判断出．进而判断出∠BEC的度数为90°即可；最后根据，，，得到于是得到结论．【题目详解】解：（）因为和均为等边三角形，所以，，，，所以，即．在和中，，所以≌，所以，．因为点，，在同一直线上，所以，所以，所以．综上可得，的度数为，线段与之间的数量关系是．（）因为和均为等腰直角三角形，所以，，，，所以，即．在和中，，所以≌，所以，．因为点，，在同一直线上，所以，所以，所以．因为，，，易证，所以．20、7或1．【分析】已知两边，则第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和，这样就可求出第三边长的范围；又知道第三边长为奇数，就可以知道第三边的长度．【题目详解】解：根据三角形的三边关系，得8-3＜BC＜3+8，即5＜BC＜2．又BC长是奇数，则BC=7或1．故答案为7或1．21、（1）2（2）2（3）DE＝3为定值，理由见解析【分析】（1）根据等边三角形的性质得到∠A＝60，根据三角形内角和定理得到∠APE＝30，根据直角三角形的性质计算；（2）过P作PF∥QC，证明△DBQ≌△DFP，根据全等三角形的性质计算即可；（3）根据等边三角形的性质、直角三角形的性质解答．【题目详解】（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝60，∵PE⊥AB，∴∠APE＝30，∵AE＝1，∠APE＝30，PE⊥AB，∴AP＝2AE＝2；（2）解：过P作PF∥QC，则△AFP是等边三角形，∵P、Q同时出发，速度相同，即BQ＝AP，∴BQ＝PF，在△DBQ和△DFP中，，∴△DBQ≌△DFP，∴BD＝DF，∵∠BQD＝∠BDQ＝∠FDP＝∠FPD＝30，∴BD＝DF＝FA＝AB＝2，∴AP＝2；（3）解：由（2）知BD＝DF，∵△AFP是等边三角形，PE⊥AB，∴AE＝EF，∴DE＝DF＋EF＝BF＋FA＝AB＝3为定值，即DE的长不变．【题目点拨】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质以及平行线的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．22、（1）15，8；（2），见解析；（3）；（4）4【分析】解决问题（1）只需运用面积法：，即可解决问题；（2）解法同（1）；（3）连接、、，作于，由等边三角形的性质得出，由勾股定理得出，得出的面积，由的面积的面积的面积的面积，即可得出答案；（4）过点作，垂足为，易证，过点作，垂足为，由解决问题（1）可得，易证，，只需求出即可．【题目详解】解：（1）∵，，，∴的面积，∵，，，且，∴，∵，∴.故答案为：15，8.（2）∵，，，且，∴，∵，∴.（3）连接、、，作于，如图2所示：∵，∴是等边三角形，∵，∴，∴，∴的面积，∵，，，∴的面积的面积的面积的面积，∴.（4）过点作，垂足为，如图3所示：∵四边形是矩形，∴，，∵，，∴，由折叠可得：，，∵，∴，∵，，∴，∴四边形是矩形，∴，∵，∴，∵，∴，∴，由解决问题（1）可得：，∴，即的值为4.【题目点拨】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定、平行线的性质与判定、等边三角形的性质、勾股定理等知识，考查了用面积法证明几何问题，考查了运用已有的经验解决问题的能力，体现了自主探究与合作交流的新理念，是充分体现新课程理念难得的好题．23、（1）；（2）；（3）互为相反数；（4）2019【分析】（1）根据互为有理化因式的定义利用平方差公式即可得出；（2）原式分子分母同时乘以分母的有理化因式，化简即可；（3）将分母有理化，通过结果即可判断；（4）化简第一个括号内的式子，里面的每一项进行分母有理化，然后利用平方差公式计算即可．【题目详解】解：（1）∵，∴的有理化因式是；（2）=；（3）∵，，∴a和b互为相反数；（4）====，故原式的值为.【题目点拨】本题考查了互为有理化因式的定义及分母有理化的方法，并考查了利用分母有理化进行计算及探究相关式子的规律，本题属于中档题．24、（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）连接AD，证明△BFD≌△AED即可得出DE=DF；（2）根据三线合一性质可知AD⊥BC，由△BFD≌△AED可知∠BDF=∠ADE，根据等量代换可知∠EDF=90°，可证△DEF为等腰直角三角形．【题目详解】证明：（1）如图，连接AD，∵Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∴∠B=∠C=45°，∵AB=AC，是中点，∴∠DAE=∠BAD=45°∴∠BAD=∠B=45°∴AD=BD，∠ADB=90°，在△DAE和△DBF中，，∴△DAE≌△DBF（SAS），∴DE=DF；（2）∵△DAE≌△DBF∴∠ADE=∠BDF，DE=DF，∵∠