大学物理静电场习题答案

第第12章静电场60°,一半均匀带正电,另一半均匀带负电,其电线密度分别为+丸和-九求圆心处的场强.图13.1图13.1P35．12．3如图所示，在直角三角形ABCD的A点处，有点电荷q1=1.8X10-9C,B点处有点电荷q2=-4.8X10-9C,AC=3cm,BC=4cm,试求C点的场强.［解答］根据点电荷的场强大小的公式

［解答］在带正电的圆弧上取一弧元ds=Rd仇电荷元为dq=丸ds,在O点产生的场强大小为dE=J-ql='弛二'd04兀eR2 4兀eR2 4兀eR00 0E=kq=r21q场强的分量为dE=dEcosQ,dE=dEsinQ.，4兀£r20其中1/(4ne0)=k=9.0x109N-m2-C-2.点电荷q1在C点产生的场强大小为E二———q-14ksAC20x对于带负电的圆弧，同样可得在O点的场强的两个分量.由于弧形是对称的，％方向的合场强为零,总场强1QIC=9x109X *0-9=1.8X104(N-C-1)，(3x10-2)2方向向下．点电荷q2在C点产生的场强大小为尸1।q।E= 2—24兀£BC20沿着y轴正方向，大小为E=2E=JdEsin0yL九兀『6 九 Jsin0d0= (-cos0)2兀eR 2兀eR00 0兀/60=9X109X4.8X10-9=2.7X104(N•C-1)，(4x10-2)2方向向右．C处的总场强大小为E=•、E22+E2

" 1 2=0.9<13x104=3.245x104(N-C-1)，总场强与分场强E2的夹角为E0=arctane^=33.69°.2

12.5均匀带电细棒，棒长a=20cm,电荷线密度为丸=3x10-8Cm-1,求：(1)棒的延长线上与棒的近端d1=8cm处的场强；(2)棒的垂直平分线上与棒的中点相距d2=8cm处的场强.［解答］(1)建立坐标系，其中L=a/2=0.1(m),0.1(m),x=L+d1=0.18(m).在细棒上取一线元dl，所带的电12.4半径为R的一段圆弧，圆心角为

量为dq=丸dl,根据点电荷的场强公式，电荷元在々点产生的场强的大小为dq 九dldE=k-= i r2 4兀e(x—l)20E fsin0d0y 4兀ed02l--L场强的方向沿x轴正向.因此P一点的总场强大小通过积分得入A cos04兀ed02l--LE=—f dli4兀e (x-l)20一Ll--L入入__4兀ex-l04兀%dd22+L202%21 2L九 … . ①4兀ex2-L20将数值代入公式得P1点的场强为将数值代入公式得P2点的场强为2x0.1义3x10-8E-9x109x y 0.08(0.082+0.12)1/2E-9义109义12*0.1义3义10-80.182-0.12=5.27x103(NC1).方向沿着y轴正向.［讨论］(1)由于L=a/2,x=L+dj代入①式，化简得=2.41X103(NC1)，九aE- 1 4兀edd+a01 1方向沿着x轴正向.保持d1不变，当a-8时01 1可得(2(2)建立坐标系，y=d2.在细棒上取一线元dl,所带的电量为dq=丸dl,在棒的垂直平九E- ,4兀ed01这就是半无限长带电直线在相距为d1的延长线上产生的场强大小.(2)由②式得当当a一8时，分线上的P2点产生的场强的大小为dq入dl

dE-k ,r2 4兀er20由于棒是对称的，x方向的合场强为零，y分量为 dE=dE2sin3.由图可知：r=d2/sin3,l=d2cot3,所以 dl=-d2d3/sin23，― ―九因此 dE--———sin0dO,y 4兀ed02总场强大小为4兀£0d2dd++(a/2)2

12\；(d2/a)2+(1/2)2'

得九-7； T~，2兀ed02这就是无限长带电直线在线外产生的场强公式.如果d1=d2,则有大小关系Ey=2E1.12．612．6一均匀带电无限长细棒被弯成如图所示的对称形状，试问e为何值时，圆心o点处的场强为零．［解答］设电荷线密图13.4方向沿着1轴负向．当O点合场强为零时，必有E=E，11可得 tane/2=1，因止匕 e/2=n/4，所以 e=n/2.度为九先计算圆弧的电荷在圆心产生的场强．在圆弧上取一弧元 ds=Rd5所带的电量为强．在圆弧上取一弧元 ds=Rd5所带的电量为dq=Ads,y’b*b.Od1由于两根半无限长带电直线对称放置，它们在O点产生的合场强为—O b/2 ln(b/2+a—1)2兀£0 —b/20X 0=2E'cos—= cos—2 2兀£R 20 ln(1+—). ①2兀£a0在圆心处产生的场强的大小为dq九ds XdE=k—= = d①,r24兀£R24兀£R00由于弧是对称的，场强只剩1分量，取％轴方向为正，场强为dE1=-dEcos5．总场强为—X2兀干/2 Jcos①d①4兀£RTOC\o"1-5"\h\z0 0/2—X 2兀-0/2 sin①4兀£R0 0/2X0 sin—2成R20方向沿着1轴正向．再计算两根半无限长带电直线在圆心产生的场强．根据上一题的公式③可得半无限长带电直线在延长上O点产生的场强大小为12.7—宽为b的无限长均匀带电平面薄板，其电荷密度为。，如图所示.试求：（1）平板所在平面内，距薄板边缘为。处的场强.（2）通过薄板几何中心的垂直线上与薄板距离为d处的场图13.5强.［解答］（1）建立坐标系.在平面薄板上取一宽度为d1的带电直线，电荷的线密度为dA=ad1,根据直线带电线的场强公式E_X2兀£r'0得带电直线在P点产生的场强为dX od1dE= = ,2兀£r2兀£（b/2+a—1）00其方向沿1轴正向.由于每条无限长直线在P点的产生的场强方向相同，所以总场强为E二工bJ2-12底 b/2+a—10—b/2

场强方向沿x轴正向.(2)为了便于观察，将薄板旋转建立坐标系.仍然在平面薄板上取一宽度为dx的带电直线，电荷的线密度仍然为

九 arctan(b/2d)2兀ed b/2d，0当b一0时，薄板就变成一根直线，应用罗必塔法则或泰勒展开式，场强公式变为九Ef ,z 2兀ed0这也是带电直线的场强公式.当b-8时，可得dA=adx,带电直线在Q点产生的场强为oEf——,z2e0dE=dEcosdE=dEcos0=zocos0dx2兀e(b2+x2)1/2，0九ln(1+b/a)E- ,图13.72兀er 2兀e(b2+x2)1/200沿z轴方向的分量为设x=dtan仇贝Udx=dd8/cos2仇因止匕dE=dEcos0=—0—d0积分得TOC\o"1-5"\h\zarctan(|b/2d) O02兀e一arctan(b/2d) 0barctan(——). ②2d场强方向沿轴正向.［讨论］(1)薄板单位长度上电荷为丸=ab,①式的场强可化为2兀£a b/a0当b一0时，薄板就变成一根直线，应用罗必塔法则或泰勒展开式，场强公式变为九

Ef ,2兀ea0这正是带电直线的场强公式.

(2)②也可以化为

这是无限大带电平面所产生的场强公式．12.8(1)点电荷q位于一个边长为a的立方体中心，试求在该点电荷电场中穿过立方体一面的电通量是多少？(2)如果将该场源点电荷移到立方体的的一个角上，这时通过立方体各面的电通量是多少？［解答］点电荷产生的电通量为

%=q/0.(1)当点电荷放在中心时，电通量要穿过6个面，通过每一面的电通量为①1=①！6=q/6£0.(2)当点电荷放在一个顶角时，电通量要穿过8个卦限，立方体的3个面在一个卦限中，通过每个面的电通量为①1=Q/24=q/24£0；立方体的另外3个面的法向与电力线垂直，通过每个面的电通量为零.12.9面电荷密度为a的均匀无限大带电平板，以平板上的一点0为中心，R为半径作一半球面，如图所示．求通过此半球面的电通量．［解答］设想在平板下面补一个半球面，与上面的半球面合成一个球面．球面内包含的电荷为q=nR2a,通过球面的电通量为

%二姓0,通过半球面的电通量为%="/2=nR2o/2e0.10两无限长同轴圆柱面，半径分别为R1和R2(R1>R2),带有等量异号电荷，单位长度的电量为丸和-九求(1)「<R1；(2)R1<r<R2；(3)r>R2处各点的场强.［解答］由于电荷分布具有轴对称性，所以电场分布也具有轴对称性．(1)在内圆柱面内做一同轴圆柱形高斯面，由于高斯内没有电荷，所以E=0，(r<R1)．(2)在两个圆柱之间做一长度为l,半径为r的同轴圆柱形高斯面，高斯面内包含的电荷为q=Xl,穿过高斯面的电通量为①=NE-dS=JEdS=E2兀rleS S根据高斯定理①e=q住0,所以E=—^，(R[<r<R).2ksr1 20(3)在外圆柱面之外做一同轴圆柱形高斯面，由于高斯内电荷的代数和为零，所以E=0，(r>R2).11—厚度为d的均匀带电无限大平板，电荷体密度为夕，求板内外各点的场强.［解答］方法一：高斯定理法.(1)由于平板具有面对称性，因此产生的场强的方向与平板垂直且对称于中心面：E=E'.在板内取一底面积为S，高为2r的圆柱面作为高斯面，场强与上下两表面的法线方向平等而与侧面垂直，通过高斯面的电通量为

①JE-dSeS=]E.dS+JE.dS+JE.dSS1 S2 S0=ES+ES+0=2ES,高斯面内的体积为 V=2rS，包含的电量为q=pV=2prS,根据高斯定理 ”=q/e0,可得场强为 E=pr/e0,(0三r=d/2).①(2)穿过平板作一底面积为S，高为2r的圆柱形高斯面，通过高斯面的电通量仍为 ①e=22r的圆柱形高斯面，通过高斯面的电通量仍高斯面在板内的体积为V=Sd,包含的电量为q=pV=pSd,根据高斯定理 ”=q/e0,可得场强为 E=pd/2e0,(r叁d/2).②方法二：场强叠加法.(1)由于平板的可视很多薄板叠而成的，以r为界,下面平板产生的场强方向向上,上面平板产生的场强方向向下.在下面板中取一薄层dy,面电荷密度为do=pdy,产生的场强为 dE1=do/2e0,积分得fpdyp/d、J=一(r+-)，③TOC\o"1-5"\h\z2s 2s2—d/2 0 0同理,上面板产生的场强为E=dJ段"(d-r)，④2 2s 2s2r0 0r处的总场强为E=E1-E2=pr/e0.(2)在公式③和④中，令r=d/2,得E2=0、E=E1=pd/2e0,E就是平板表面的场强.平板外的场强是无数个无限薄的带电平板产生的电场叠加的结果，是均强电场，方向与平板垂直，大小等于平板表面的场强，也能得出②式.

12.1212.13一半径为R的均匀带电球体内的电荷体密度为p，若在球内挖去一块半径为R'<R的小球体，如图所示，试求两球心O与O'处的电场强度，并证明小球空腔内的电场为均图13.10强电场.［解答］挖去一块小球体，相当于在该处填充一块电荷体密度为-p的小球体，因此，空间任何一点的场强是两个球体产生的场强的叠加.对于一个半径为R，电荷体密度为p的球体来说，当场点P在球内时，过P点作一半径为厂的同心球形高斯面，根据高斯定理可得方程14E4兀r2= 兀r3p830P点场强大小为E=&r,

380当场点P在球外时，过P点作一半径为r的同心球形高斯面，根据高斯定理可得方程14E4兀r2= 兀R3p830

体在O'点产生的场强为零，大球在O点产生的场强大小为P a,380方向也由O指向O'.［证明］在小球内任一点P，大球和小球0方向如图所示.0设两场强之间的夹角为仇合场强的平方为E2=E2+E斗2EEcos0

rr rr=(-P-)2(r2+r'2+2rr'cos0),380根据余弦定理得a2=r2+r2-2rrcons+0,)所以E=2a,380可见：空腔内任意点的电场是一个常量.还可以证明：场强的方向沿着O到O、的方向.因此空腔内的电场为匀强电场.P点场强大小为38r2

0O点在大球体中心、小球体之外.大球体在O点产生的场强为零，小球在O点产生的场强大小为pR'3

,

38a20方向由O指向O'.O'点在小球体中心、大球体之内.小球

12.14如图所示，在A、B两点处放有电量分别为+q和-q的点电荷，AB间距离为2R,现将另一正试验电荷q0 /D"""\从O点经过半圆A-O--B '->弧路径移到C+qqC点，求移动过程 图13.11中电场力所做的功.［解答］正负电荷在O点的电势的和为零：UO=0；在。点产生的电势为(r三R)；-fq4兀e(r三R)；-fq4兀eR3r0由于E二Q，4兀£r2

0一Q一(R2-r2)+ Q8兀eR3 4兀eR00U-U=jE-dl=jEdrR9RRQ(3R2-r2)8兀eR3

0fQ. -Q9二J dr 4兀er2 4兀erR0 0R_Q一，

4兀eR

0当U=0时，U--QR 9 4兀eR12.18在y=-b和y=b两个“无限大”平面间均匀充满电荷，电荷体密度为。其他地方无电荷.(1)求此带电系统的电场分布，画E-y图；(2)以y=0作为零电势面，求电势分布，画E-y图.TOC\o"1-5"\h\zq, -q -qu= + = ,c 4兀£3R4兀£R 6兀£R0 00电场力将正电荷q0从O移到C所做的功为w=q0uod=q0(uo-ud)=q0q/6n0R・12．15真空中有两块相互平行的无限大均匀带电平面A和B.A平面的电荷面密度为2。,B平面的电荷面密度为。，两面间的距离为d.当点电荷q从A面移到B面时，电场力做的功为多少？［解答］两平面产生的电场强度大小分别为EA=20/20=°/0，EB=0/20，两平面在它们之间产生的场强方向相反,因此，总场强大小为E=EA-EB=0/2£0，方向由A平面指向B平面.两平面间的电势差为u=Ed=0d/2£0，当点电荷q从A面移到B面时，电场力做的功为w=qu=q0d/2£0.12.16一半径为R的均匀带电球面,带电量为。.若规定该球面上电势值为零,则无限远处的电势为多少？［解答］带电球面在外部产生的场强为12.17电荷Q均匀地分布在半径为R的球体内，试证明离球心r(r<R)处的电势为Q Q(3R2-r2)U-.8兀eR304［证明］球的体积为V-3兀R3，电荷的体密度为 p=Q=3Q-.V 4兀R3利用13.10题的方法可求球内外的电场强度大小为E=r-3e0取无穷远处的电势为零，则r处的电势U-fE-dl-fEdr+fEdr9Qrdr+J dr4兀er2R0图图13.16［解答］平板电荷产生的场强的方向与平板垂直且对称于中心面：E=E'，但方向相反．(1)在板内取一底面积为S，高为2y的圆柱面作为高斯面，一b场强与上下两S.,表面的法线方付面垂直，通过高斯面的电通量为①=JE-dSeS=JE-dS+JE•dS+JE-dS=2ES.S1 S2 S0高斯面内的体积为V=2yS，包含的电量为q=pV=2pSy,根据高斯定理 Q=q/80,可得场强为 E=py/eo,(-b=y=b).穿过平板作一底面积为S,高为2y的圆柱形高斯面,通过高斯面的电通量仍为地①e=2ES,高斯面在板内的体积为V=S2b,包含的电量为 q=pV=pS2b,根据高斯定理 ①e=q/e0,可得场强为 E=pb/e0, (b=y)；E=-pb/e0,(三).E-y图如左图所示.(2)对于平面之间的点,电势为U=-JE-dl=-\Pydy80

U=」E.dl=」nqbdy=-皿y+c,8800在y=b处U=-pb2/2e0,所以C=pb2/2e0,因此电势为PbU=-y+80280（b三280（b三y）•U二」E-dlJ弛dy二段y+C,8800在y=-b处U=-pb2/2e0,所以C=pd2/2e0,因此电势为pPbU=y80十P十Pb2

280Pb Pb2U=- IyI+--,(Iyi=)•8 2800这是两条直线．U-y图如右图所示.U-y图的斜率就形成E-y图，在y=±b点，电场强度是连续的，因此，在U-y图中两条直线与抛物线在y=±b点相切.［注意］根据电场求电势时,如果无法确定零势点,可不加积分的上下限,但是要在积分之后加一个积分常量．根据其他关系确定常量,就能求出电势,不过,线积分前面要加一个负号,即U=」E-dlPy2八+c2e0这是因为积分的起点位置是积分下限．在y=0处U=0,所以c=0,因此电势为

12．19两块“无限大”平行带电板如Py2U=-——,(-b三y三b).

2e0这是一条开口向下的抛物线．当y叁b时，电势为

图所示，A板带正电，B板带负电并接地(地的电势为零)，设的电势为零)，设A和B两板相隔5.0cm,板上各带电荷g3.3x10-6Cm-2,求：(1)在两板之间离A板1.0cm处P点的电势；(2)A板的电势.［解答］两板之间的电场强度为总电势为E=O/£0,方向从A指向B.以B板为原点建立坐标系，则rB=0，rP=-0.04m，rA=-0.05m．(1)P点和B板间的电势差为U=±f❷4兀8 r-10-L-九］ ,L= ln(r-1)4兀8\o"CurrentDocument"0 l=-LU—U=fE-dl=IedrPBo=—(r-r),

8BP0由于UB=0,所以P点的电势为3.3义10-68.84义10-12*0.04=1.493x104(V).(2)同理可得A板的电势为oU=—(r-r)=1.866x104(V).A8BA012.20电量q均匀分布在长为2L的细直线上,试求：(1)带电直线延长线上离中点为r处的电势；(2)带电直线中垂线上离中点为r处的电势；(3)由电势梯度算出上述两点的场强.［解答］电荷的线密度为丸=q/2L.(1)建立坐标系，在 丁［r」细线上取一一 ~~~十线元di,所带工 ordrLP1”的电量为dq=丸dl,根据点电荷的电势公式，它在P1点产生的电势为dU1=qlnr±L8兀8Lr-L0(2)建立坐标系,在细线上取一线元dl,所带的电量为dq=丸dl,在线的垂直平分线上的P2点产生的电势为积分得dU2入 dl,4兀8(r2+l2)1/20口14兀8 (r2+12)1/20-Ldlln(\'r2+12+1)l=-Lq r2+L2+LIn 8兀8L \.；r2+L-L0 'qr<r2+L2+L-——In P1点的场强大小为口 auE=-1ar=q14兀8r2-L20方向沿着”轴正向.r+LSU—0．B点的场强为SU—0．B点的场强为E—一BTOC\o"1-5"\h\zP2点的场强为SUE—— 2-2 Sr\o"CurrentDocument"qr1_ r [———: ; 4兀80LrJr2+L2(Jr2+L2+L)q1方向沿着y轴正向.［讨论］习题13．3的解答已经计算了带电线的延长线上的场强为「 1 2L九E— ,1 4兀8x2-L20由于2"=q，取x=r，就得公式①.（2）习题13．3的解答还计算了中垂线上的场强为口1 2L九E—y4兀8ddd2+L2

0 2 2取d2=r，可得公式②.由此可见，电场强度可用场强叠加原理计算，也可以用电势的关系计算．12．21如图所示，一个均匀带电，内、外半径分别为R1和R2的均匀带电球壳，所带电荷体密度为"，试计算：（1）A，B两点 图13.18的电势；（2）利用电势梯度求A，B两点的场强．［解答］（1）A点在球壳的空腔内，空腔内的电势处处相等，因此A点的电势就等于球心O点的电势.在半径为r的球壳处取一厚度为dr的薄壳，其体积为dV=4nr2dr,包含的电量为dq=pdV=4npr2dr,在球心处产生的电势为dq PadU— — rdr,O 4兀8r800球心处的总电势为U——frdr—（R2—R2）,O8 28 210R1 0这就是A点的电势UA.过B点作一球面，B的点电势是球面外的电荷和球面内的电荷共同产生的．球面外的电荷在B点产生的电势就等于这些电荷在球心处产生的电势，根据上面的推导可得U—-L（R2—r2）1 28 2B．0球面内的电荷在B点产生的电势等于这些电荷集中在球心处在B点产生的电势．球壳在球面内的体积为4V——兀（r3一R3）,3B1包含的电量为Q=pV，这些电荷集中在球心时在B点产生的电势为U—Q —-^-(r3-R3).2 4兀8r 38rB10B 0BB点的电势为UB=U1+U2——(3R2-r2-2").

68 2Br0B(2)A点的场强为SUPR3——B———(r―一).Sr 38 Br2B0 B

［讨论］过空腔中A点作一半径为厂的同心球形高斯面，由于面内没有电荷，根据高斯定理，可得空腔中A点场强为E=