2021届新高考数学模拟试卷

2021届全国高三新高考综合能力测试试卷【分析】

数学试卷

各网员校注意：

本试卷按照旧高考数学试卷结构命题，在深度研究2020年新高考省份数学试卷基础上先比较冬也c的大小关系，再根据,(今=£一"一/单调性，比较函数值的大小，即可求解.

加以命制试题。符合广大师生新高考模式下的需求。

建议各学校在使用时对本卷进行修改为学生用版！

本卷难度较高，但揉合了新高考模式的数学思想和教学指导，希望会员校能认真吸收利用！【详解】因为，=0-支">1.0<*<1,c<0,..a>b>c

1.设集合"8={m=1-，},则4nB的子集个数为()

=["CN[*2},又在R上是单调递减函数，故.

A.2B.4C.8D.16

3.己知〃”)=1+>立一+总+*”=•)记P寸若

[答案解析】B

f(*+l)=P+。，则Q=()

【分析】求得集合/、B可得集合/nA.并确定集合〃DA的元素个数，利用集合子集个

数公式可求得结果【详解广，=际川*2}=阵叶2"=2}={0工2},111

A,尹B.3再

B={*=1_9}={叩<1}

1,1,.111,1.1

二/八"={04,因此，4n8的子集个数为炉=4.C.3l+l+3l+2+D.3*+1+3*+2+产

【答案解析】C

2.已知函数,(分=°-"一d”为自然对数的底数)，若a=QT",占=1。队5°-7,cTo—Q,

则()【分析】

由/®,写出，(KD,则。=心1)-〃*)

A./(&)</(«)</(c)B.f(c)<f(b}<f^

CD/(«)<A*)</(c)■.A")=1+-+-+--+-^—+4(»eN*)

【详解】233a-l3M<

【答案解析】D

二P=/®=1+%*+岩+如M)

ncfnq111111115.已知mb是平面a外的两条不同直线，它们在平面a内的射影分别是直线"，〃（〃与廿不

"°=加1=1+差+…+尹+于+行*行+-+-+产

重合），则下列命题正确的个数是（）

。寸（7）〃*）="+白*T高+表⑴若。小，则xw：

（）若则：

4.在△48C中，。是线段4B上靠近B的三等分点，E是线段AC的中点，BE与CD交于尸2a_L%,V*"

点若布=£F+hAC则”、/,的值分别为（）

（3）若d’y.则a/»；

11111111

A.214B,412C.3-5D.于］（4）若dJ_y,则a_Lb.

【答案解析】AA.0个B.1个C.2个D.3个

【分析】【答案解析】B

取3的中点为G,连接迎,可证尸是整的中点，从而根据平面向量的线性运算计算可得.1网_4

6.在平面上给定相异两点48,设P点在同一平面上且满足1尸阳，当％>0且尾1时，P

【详解】解：取血的中点为G.连接GE,由已知得GEffCD,所以。F/ZEG,又因为“是点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿波罗

而△（"+函=牙"」㈤》

斯圆，现有椭圆a*,4B为椭圆的长轴端点，CD为椭圆的短轴端点，动点

G«的中点，所以户是痴的中点，所以2、‘212）24

四1=2162

y户满足I播I,△PA8面积最大值为3,△/<£）面积最小值为3,则椭圆离心率为

C

A

/y\出2

E.

A.2B.3C.1D,以上都不对

X

a=lAGDB

所以2.4【答案解析】A

【答案解析】D

【分析】

【分析】

6根算筹可分为1、5,2、4,3、3,再根据图示写出可能的组合，即可得出答案.

利用两点间的距离公式求得P点的轨迹方程，根据两个三角形面积的最值列方程，由此求得

区》的值及离心率的值.【详解】根据题意，现有6根算筹，可以表示的数字组合为1、5,1、9,2,4,2、8,6、4,

6、8,3、3,3、7,7、7；

【详解】依题意设尸（“）,依题意的

数字组合1、5,1、9,2、4,2、8,6、4,6、8,3、7中，每组可以表示2个两位数，则可

2-1

\PA\=2\PB\yl（x+a）+/=7（X）+y2,两边平方化简得（x，故

以表示2x7=14个两位数；

（也01碗12a4a-16

圆心为13'J,半径一彳.所以Aft4的最大面积为了3fl-T,解得口=2,APCD数字组合3、3,7、7,每组可以表示1个两位数，则可以表示2x1=2个两位数：

1“（5a4a）」2

则一共可以表示14+2=16个两位数；

的最小面积为2133J33,解得b=1.故椭圆离心率为

眄日专AE=BF=-3

8.正方形43CD的边长为1,点E在边上，点9在边BC上，7,动点尸从E出

7.中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是•个伟大的创造，算筹实际上是•根根同长发沿直线向尸运动,每当碰到正方形的边时反弹,反弹时反射角等于入射角.当点尸第一次碰到

短的小木棍.如图，是利用算筹表示数1〜9的一种方法.例如：3可表示为“="，26可表示为

£时，尸与正方形的边碰撞的次数为（）

、•=■!”.现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用1〜9这9数字表示两位数

的个数为A.16B.14C.12

D.10

答案:B

_===_L_LXX9.如图，在60。二面角的棱上有两点A、B,线段AC、BD分别在这个二面角的两个面内，并

123456789

且都垂直于棱4B,若3=/°=劝=4.则线段CD的长为（）

A.13B.14C.15D.16

②fcc+240时,有*（丘+2）+1=0解得J*-1

若x>0,则«4+1=1嗝"1,

A.4君B.16C.8D.4近①log’x+lWO时彳产（1呜/1）*1=0解得工=2±1,

叫曰时有。吗解得

【答案解析】D②11>0log,"1）=0,X=l,

故当金>。时，有4个零点，C正确，

10.（多选题）已知函数[log2A>0,下列是关于函数*的零点个数

当k<0时：

的判断，其中正确的是（）

若hWO,则〃x）+l=h+2*2有log2（*r*2）=0解得，一一工,

A.当*>0时，有3个零点B.当金<0时，有2个零点

1,

x——>0

因为*，所以不满足xWO,舍去：

C.当*>0时，有4个零点D.当£<0时，有1个零点

若x>0则“力1=1鸣"1,

【答案解析】CD

①旧产+1?0时，有氏（1呜日1）+1巴无解；

本题首先要明确函数解析式，然后根据选项分为*>0、k<0两种情况进行讨论，再然后在每②log产+1>0时有log20ogRl）=0解得工=1,

一种情况下又分为工>°、xWO两种情况进行讨论，最后通过解方程即可得出结果.故当k<0时-，有1个零点，D正确，

,.fc+lx<0

【详解】由题意可知，[log2Kx>0,

11.已知函数'"一c2x+ex+l，若对任意的到对以力=巧，巧eR,，（不），，（马），，（巧）

当无>0时：

均可作为同一个三角形的三边长，则人的取值范围是（）

若则“力1=22

1

①fcr+2>0时，有X（22）=0解得工--1

C.|-1,4]D.[-|,4)

【答案解析】A

（1）不能，理由见解析；（2）同时满足够③，30后

12.甲乙二人玩猜数字游戏，先由甲任想•数字，记为a,再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜

【分析】

出的数字记为b,且a,b£{l,2,3},若|a—b|WL则称甲乙“心有灵犀”，现任意找两个人玩这

个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为

-左

—K.c—KB>—

（1）如果条件①④能同时满足，可知在锐知口么"中32,可得2,即可判

1527

断结结果；

A.3B.9C.3D.9

（2）由（1）知不能同时满足①④，故只能同时满足①②③或②③④；若同时满足②③④，

D

4<C<—B>—

试题分析：从1,2,3三个数中任取两个则|a-b|S的情况有1,1；2,2；3,3；1,2；2,1；因为c>a,则6,可得2,可知不满足题意；只能同时满足①②③，可根据余

7弦定理可求出办的值，再根据W角形面积公式即可求出结果.

2,3；3,2；共7种情况，甲乙出现的结果共有3x3=9,故出他们“心有灵犀”的概率为§.

【详解】解：（1）ZVIBC不能同时满足①，④.理由如下：

三.解答题

若aABC同时满足①，④，

17.已知心b、。分别为△ABC内角A、B、C的对边，若△A8C是锐角三角形，需要同时满

足下列四个条件中的三个：

snC=-<-0<C<—

则在锐角△ABC中，32,所以6

A=-sinC=—

①3②a=13③c=15④3

Jz=——<d+C<—

又因为3,所以32

（I）条件①④能否同时满足，请说明理由；

（2）以上四个条件，请在满足三角形有解的所有组合中任选一组，并求出对应的△ABC的面B>—

所以2,这与aABC是锐角三角形矛盾

积.

【答案解析】所以AABC不能同时满足①，④.

（2）因为△4BC需同时满足三个条件，由（I）知不能同时满足①④，故只能同时满足①②③

或②③④C

A<C<-

若同时满足②③④，因为所以C>〃，则6,

B>—

则2这与aABC是锐角三角形矛盾.

E分别是ZC&G的中点.

故△A3C不能同时满足②③④，只能同时满足①②③.

(I)证明：

222

因为a=i+c-TheCOSJ4.

(II)证明：OE〃平面”4周3：

132=i2+15J-2x&xl5xA

所以

2,(III)求与平面咽a。所成角的正弦值.

解得6=8或&=7.【答案解析'】

c72+132-152c

cosC=----------------<0（I）证明见解析；（H）证明见解析；（IH）6.

当6=7时，2x7x13

【详解】分析：（I）先证明/c_L平面/G,再证明/_L4q（U）取4al的中点M,

所以c为钝角，与题意不符合，所以8=8.

连接MCME.先证明DE〃AM,再证明DE〃平面AA^BJB（皿）利用向量法直线与E与平

S=』&csin/=30出面飒GC所成角的正弦值.

所以AA8c的面积2

详解：（I）因为，氏二平面@C,4Cu平面J«C,

18.如图，在三棱柱ABC-ABC中，&="=曲=2,典_L平面ABC,",dC.£>、

所以，瓦J_ZC

因为dgu平面

在三棱柱〃8c-4"G中，出口不，且如二53

所以4CJL平面"G.

所以ME〃AD,且ME=AD,

因为耳平面典

Guq,所以四边形ADEM是平行四边形，

所以起■*■骂q.所以DE//AM.

又平面幺卷3,06仁平面〃4第8.

所以ZJE〃平面

(II)取4员的中点M,连接M4、ME

因为与、M分别是3、小的中点,

(III)在三棱柱9C-型£中，

所以用E〃4G，且ME万监

因为葡J■为G,所以g.

在平面*叫内，过点c作◎〃气19.冠状病毒是一个大型病毒家族，已知的有中东呼吸综合征(MERS)和严重急性呼吸综合

征(SARS)等较严重的疾病，新型冠状病毒(«CoV)是以前从未在人体中发现的冠状病毒新

因为，即■*■平面毒株，某小区为进一步做好新型冠状病毒肺炎疫情知识的教育，在小区内开展“新型冠状病毒

防疫安全公益课”在线学习，在此之后组织了“新型冠状病毒防疫安全知识竞赛”在线活动.已

所以，"平面N8C.知进入决赛的分别是甲、乙、丙、丁四位业主，决赛后四位业主相应的名次为第1,2,3,4

名，该小区为了提高业主们的参与度和重视度，邀请小区内的所有业主在比赛结束前对四位业

建立空间直角坐标系C-xyz,如图.则主的名次进行预测，若预测完全正确将会获得礼品，现用。，瓦c,d表示某业主对甲、乙、

丙、丁四位业主的名次做出一种等可能的预测排列，iSX=|a-l|+|fe-2|+|c-3|+|rf-4|.

C(0,0,0)B(zao)员(Q22)G(-22,2)Z)(O,LO)E(-L2,2)

(1)求该业主获得礼品的概率；

BE=(-1,12)C8=(XQ,0)离=(O,Z2)

(2)求X的分布列及数学期望.

设平面皿的法向量为》=(五具z),贝|j

【答案解析】

［亢a=0J2x=0

(1)P-24；(2)分布列见解析，E(JT)=5

(n-CB,=0即121y+2z=0

1【分析】

得x=o,令y=L得z=-i,故K=(°，LT)

(1)求得该业主预测的结果的总数，其中预测完全正确的结果只有1种，利用古典概型及概

设直线DE与平面照GC所成的角为仇

率的计算公式，即可求解；

|cos,曹/(2)以(a,b,c,d)为一个基本事件，用列举法逐一写出每种情况，得到随机变量的取值,

则si但L'"M-H=v,

求得相应的概率，即可求得随机变量的分布列，利用公式求得数学期望.

也【详解】(1)由题意，该业主预测的结果有4=,种可能，预测完全正确的结果只有1种，

所以直线刑与平面咽所成角的正弦值为6.

所以随机变量X的分布列如表：

p=—

所以该业主获奖的概率为24.

X02468

(2)以(°,b,c,d)为一个基本事件，如下表所示：

11731

P

24824S6

(mb>c,d)X(〃，b,c,d)X(a,b,cfd)X

(b2,3,4)0(2,3,1,4)4(3,4,1,2)8

(1,2,4,3)2(2,3,4,1)6(3,4,2,1)8

=Ox—#2x—+4x—4*6X—+8x—=5

(1,3,2,4)2(2,4,b3)6(4,1,2,3)6所以数学期望E(X)2482486

(1,3,4,2)4(2,4,3,1)6(4,1,3,2)6

7

20.已知13,在区间上是增函数.

(1,4,2,3)4(3,1,2,4)4(4,2,1,3)6

(1,4,3,2)4(3,1,4,2)6(4,2,3,1)6(1)求实数。的值组成的集合4

(2,1,3,4)2(3,2,1,4)4(4,3,1,2)8

/"(x)=2x+-x?

(2,1,4,3)4(3,2,4,1)6(4,3,2,1)8(2)设关于x的方程3的两个非零实根为不、巧.试问：是否存在实数处

使得不等式加+加+1之区一口对任意。e/及止KU］恒成立？若存在，求的取值范围；

若不存在，请说明理由.

所以随机变量片的所有可能的取值为°，Z4,6,8,

【答案解析】

1317(1)实数a的值组成的集合4=.L1］：

A^=0)=—,7X^=2)=-=-,A^=4)=—

可得2424824

(2)存在实数加4_2或使得不等式取一+m2+12卜一々1对任意ae/及，e［-Lq恒

9341

2X^=0=—=-,A^=«)=—=-

248246成立.

若8(£)=»»2+而+1*|%一且对任意。€4及人［-1>1］恒成立，

/(x)=4x+ax2--xJ(xeR)riii

试题解析：(1)因为3J'在区间I-13］上是增函数

则€“)»=入("*)*1，一巧匚=3,解得mW-2或1W±2,

所以，，任)=-讨+加+4*°在区间［-L可上恒成立，

因此，存在实数EW-2或m22,使得不等式M+52+12区一引对任意awd及'e卜口］恒

=-2-2a+4>0

二UnTWaVl

/(l)=-2+2a+4>0成立.

所以，实数。的值组成的集合"=［T1］；21.创新题型已知椭圆E两焦点«(-L以4a丹，并经过点44

4x+axi--^=2x+-^(1)求椭圆E的标准方程：

即中2y-2)=0

(2)由得33

(2)设M、N为椭圆E上关于其轴对称的不同两点，收总的即为x轴上两点，」I不巧=2,

因为方程‘㈤一2'+了，即中2一"一2)=。的两个非零实根为af

证明：直线幺的交点尸仍在椭圆E上；

二2巧是方程中2y-2)=。两个非零实根，于是玉+9=a%〜=-2(3)你能否将(2)推广到一般椭圆中？写出你的结论即可.

【答案解析】

二|耳一/1=Jkf)'=他+毛)’-4书；=业+8

Ux2y2

f-4-y3=1―+―=12_

；(2)证明见解析；(3)若椭圆『*2，若书==，则直线神，出

---ae^t=［-ll］二|不-马匕="+