幂、指、对函数的增长比较(上课)

§6

第一页第二页，共27页。指数函数、幂函数、对数函数增长的比较一、提出问题1.在区间（0，+∞）上判断y=log2x,y=2x,y=x2的单调性.在区间（0，+∞）上函数y=log2

x,y=2x,y=x2均为单调增函数2.列表并在同一坐标系中画出上面这三个函数的图像.x0.20.61.01.4y=2x1.1491.51622.639y=x20.040.3611.96y=log2

x-2.322-0.73700.4851.82.22.63.03.4…3.4824.9596.063810.556…3.244.846.67911.56…0.8481.1381.3791.5851.766…xyo1122345y=2xy=x2y=log2

x第二页第三页，共27页。3.结合函数的图像找出其交点坐标.从图像看出y=log2

x的图像与另外两函数的图像没有交点，且总在另外两函数图像的下方，y=x2的图像与y=2x的图像有两个交点(2，4)和（4，16）.4.根据图像,分别写出使不等式log2

x<2x<x2和log2

x<x2<2x成立的自变量x的取值范围.使不等式log2

x<2x<x2的x取值范围是(2，4);使不等式log2

x<x2<

2x的x取值范围是(0，2)∪(4,+∞);5.由以上问题你能得出怎样的结论？ABy=2xxyo112191623434y=x2y=log2

xx012345678…y=2x1248163264128256…y=x201491625364964…第三页第四页，共27页。xo50100y1.10×10121.13×1015y=2xy=x2一般地，对于指数函数y=ax(a>1)和幂函数y=xn(n>0),在区间（0，+∞）上，无论n比a大多少，尽管在x的一定变化范围内，ax会小于xn,但由于ax的增长快于xn的增长，因此总存在一个x0,当x>x0时，必有ax>xn.对于对数函数y=loga

x（a>1)和幂函数y=xn(n>0),在区间（0，+∞）上,随着x的增大，logax增长的越来越慢，图像就像是渐渐地与x轴平行一样.尽管在x的一定变化范围内，logax可能会大于xn，但由于logax的增长慢于xn的增长，因此总存在一个x0,当x>x0时，必有logax<xn.…640049003600…1.21×10241.18×10211.15×1018…807060250016009004001000y=x21.13×10151.10×10121.07×1091.05×10610241y=2x50403020100x第四页第五页，共27页。抽象概括尽管对数函数y=logax(a>1),指数函数y=ax(a>1)与幂函数y=xn(n>0)在区间（0，+∞）上都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上.随着x的增大，y=ax（a>1）的增长速度越来越快，会超过并远远大于y=xn（n>0）的增长速度，而y=logax(a>1)的增长速度则会越来越慢.因此总会存在一个x0，当x>x0时，必有logax<xn<ax.虽然幂函数y=xn(n>0)增长快于对数函数y=logax(a>1)增长，但它们与指数增长比起来相差甚远，因此指数增长又称“指数爆炸”.第五页第六页，共27页。知能自主梳理第六页第七页，共27页。第七页第八页，共27页。思路方法技巧

第八页第九页，共27页。第九页第十页，共27页。第十页第十一页，共27页。第十一页第十二页，共27页。第十二页第十三页，共27页。第十三页第十四页，共27页。第十四页第十五页，共27页。第十五页第十六页，共27页。第十六页第十七页，共27页。第十七页第十八页，共27页。第十八页第十九页，共27页。第十九页第二十页，共27页。第二十页第二十一页，共27页