高考数学(深化复习-命题热点提分)专题10-数列、等差数列﹑等比数列-理

PAGEPAGE9专题10数列、等差数列﹑等比数列1．在数列{an}中，已知a1＋a2＋…＋an＝2n－1，则aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋…＋aeq\o\al(2,n)等于()A．(2n－1)2 B.eq\f(2n－12,3)C．4n－1 D.eq\f(4n－1,3)2．已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，eq\f(1,2)a3,2a2成等差数列，则eq\f(a9＋a10,a7＋a8)＝()A．1＋eq\r(2) B．1－eq\r(2)C．3＋2eq\r(2) D．3－2eq\r(2)解析：∵a1，eq\f(1,2)a3,2a2成等差数列，∴eq\f(1,2)a3×2＝a1＋2a2，即a1q2＝a1＋2a1q，∴q2＝1＋2q，解得q＝1＋eq\r(2)或q＝1－eq\r(2)(舍)，∴eq\f(a9＋a10,a7＋a8)＝eq\f(a1q81＋q,a1q61＋q)＝q2＝(1＋eq\r(2))2＝3＋2eq\r(2).答案：C3．设等比数列{an}的前6项和S6＝6，且1－eq\f(a2,2)为a1，a3的等差中项，则a7＋a8＋a9＝()A．－2 B．8C．10 D．14解析：依题意得a1＋a3＝2－a2，即S3＝a1＋a2＋a3＝2，数列S3，S6－S3，S9－S6成等比数列，即数列2,4，S9－6成等比数列，于是有S9－S6＝8，即a7＋a8＋a9＝8，选B.答案：B4．已知数列{an}的首项a1＝2，数列{bn}为等比数列，且bn＝eq\f(an＋1,an)，若b10b11＝2，则a21＝()A．29 B．210C．211 D．212解析：由bn＝eq\f(an＋1,an)，且a1＝2，得b1＝eq\f(a2,a1)＝eq\f(a2,2)，a2＝2b1；b2＝eq\f(a3,a2)，a3＝a2b2＝2b1b2；b3＝eq\f(a4,a3)，a4＝a3b3＝2b1b2b3；…；an＝2b1b2b3…bn－1，∴a21＝2b1b2b3…b20，又{bn}为等比数列，∴a21＝2(b1b20)(b2b19)…(b10b11)＝2(b10b11)10＝211.答案：C5．已知Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列，则eq\f(a2＋a3,a1)等于()A．4 B．6C．8 D．10解析：设数列{an}的公差为d，则S1＝a1，S2＝2a1＋d，S4＝4a1＋6d，故(2a1＋d)2＝a1(4a1＋6d)，整理得d＝2a1，所以eq\f(a2＋a3,a1)＝eq\f(2a1＋3d,a1)＝eq\f(8a1,a1)＝8，选C.答案：C6．在数列{an}中，若a1＝2，且对任意正整数m，k，总有am＋k＝am＋ak，则{an}的前n项和Sn＝()A．n(3n－1) B.eq\f(nn＋3,2)C．n(n＋1) D.eq\f(n3n＋1,2)7.在等差数列{an}中，a1＋3a3＋a15＝10，则a5的值为()A.2 B.3 C.4 D.5解析设数列{an}的公差为d，∵a1＋a15＝2a8，∴2a8＋3a3＝10，∴2(a5＋3d)＋3(a5－2d)＝10，∴5a5＝10，∴a5＝2.答案A8.等比数列{an}的前n项和为Sn，若2S4＝S5＋S6，则数列{an}的公比q的值为()A.－2或1 B.－1或2 C.－2 D.1解析法一若q＝1，则S4＝4a1，S5＝5a1，S6＝6a1，显然不满足2S4＝S5＋S6，故A、D错.若q＝－1，则S4＝S6＝0，S5＝a5≠0，不满足条件，故B错，因此选C.法二经检验q＝1不适合，则由2S4＝S5＋S6，得2(1－q4)＝1－q5＋1－q6，化简得q2＋q－2＝0，解得q＝1(舍去)，q＝－2.答案C9.已知{an}为等差数列，其公差为－2，且a7是a3与a9的等比中项，Sn为{an}的前n项和，n∈N*，则S10的值为()A.－110 B.－90 C.90 D.11010.等差数列{an}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{an}的前n项和Sn等于()A.n(n＋1) B.n(n－1)C.eq\f(n（n＋1）,2) D.eq\f(n（n－1）,2)解析由a2，a4，a8成等比数列，得aeq\o\al(2,4)＝a2a8，即(a1＋6)2＝(a1＋2)(a1＋14)，∴a1＝2.∴Sn＝2n＋eq\f(n（n－1）,2)×2＝2n＋n2－n＝n(n＋1).答案A11.已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且eq\f(An,Bn)＝eq\f(7n＋45,n＋3)，则使得eq\f(an,bn)为整数的正整数n的个数是()A.2 B.3C.4 D.5解析由等差数列的前n项和及等差中项，可得eq\f(an,bn)＝eq\f(\f(1,2)a1＋a2n－1,\f(1,2)b1＋b2n－1)＝eq\f(\f(1,2)2n－1a1＋a2n－1,\f(1,2)2n－1b1＋b2n－1)＝eq\f(A2n－1,B2n－1)＝eq\f(72n－1＋45,2n－1＋3)＝eq\f(14n＋38,2n＋2)＝eq\f(7n＋19,n＋1)＝7＋eq\f(12,n＋1)(n∈N*)，故n＝1,2,3,5,11时，eq\f(an,bn)为整数.即正整数n的个数是5.答案D12.若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9＞0，a7＋a10＜0，则当n＝________时，{an}的前n项和最大.解析根据题意知a7＋a8＋a9＝3a8＞0，即a8＞0.又a8＋a9＝a7＋a10＜0，∴a9＜0，∴当n＝8时，{an}的前n项和最大.答案813.在等比数列{an}中，已知a1＋a3＝8，a5＋a7＝4，则a9＋a11＋a13＋a15＝________.答案314.设{an}是公比为q的等比数列，|q|>1，令bn＝an＋1(n＝1,2，…)，若数列{bn}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q＝________.解析由题意知，数列{bn}有连续四项在集合{－53，－23，19,37,82}中，说明{an}有连续四项在集合{－54，－24，18,36,81}中，由于{an}中连续四项至少有一项为负，∴q<0，又∵|q|>1，∴{an}的连续四项为－24,36，－54，81，∴q＝eq\f(36,－24)＝－eq\f(3,2)，∴6q＝－9.答案.－915.公差不为0的等差数列{an}的部分项ak1，ak2，ak3，…构成等比数列，且k1＝1，k2＝2，k3＝6，则k4＝________.答案22解析根据题意可知等差数列的a1，a2，a6项成等比数列，设等差数列的公差为d，则有(a1＋d)2＝a1(a1＋5d)，解得d＝3a1，故a2＝4a1，a6＝16a1⇒ak4＝a1＋(n－1)·(3a1)＝64a1，解得n＝22，即k4＝22.16.设函数f(x)＝a1＋a2x＋a3x2＋…＋anxn－1，f(0)＝eq\f(1,2)，数列{an}满足f(1)＝n2an(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为________.答案an＝eq\f(1,nn＋1)17.若f(n)为n2＋1(n∈N*)的各位数字之和，如62＋1＝37，f(6)＝3＋7＝10，f1(n)＝f(n)，f2(n)＝f(f1(n))，…，fk＋1(n)＝f(fk(n))，k∈N*，则f2016(4)＝________.答案5解析因为42＋1＝17，f(4)＝1＋7＝8，则f1(4)＝f(4)＝8，f2(4)＝f(f1(4))＝f(8)＝11，f3(4)＝f(f2(4))＝f(11)＝5，f4(4)＝f(f3(4))＝f(5)＝8，…，所以fk＋1(n)＝f(fk(n))为周期数列.可得f2016(4)＝5.18.数列{an}满足eq\f(1,2)a1＋eq\f(1,22)a2＋eq\f(1,23)a3＋…＋eq\f(1,2n)an＝2n＋5，则an＝__________.答案an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(14，n＝1,2n＋1，n≥2))解析∵eq\f(1,2)a1＋eq\f(1,22)a2＋…＋eq\f(1,2n)an＝2n＋5.①∴eq\f(1,2)a1＋eq\f(1,22)a2＋…＋eq\f(1,2n－1)an－1＝2(n－1)＋5.②由①－②得eq\f(1,2n)an＝2，∴an＝2n＋1(n≥2).又∵eq\f(1,2)a1＝2＋5，∴a1＝14.∴an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(14，n＝1，,2n＋1，n≥2.))19.对于正项数列{an}，定义Hn＝eq\f(n,a1＋2a2＋3a3＋…＋nan)为{an}的“光阴”值，现知某数列的“光阴”值为Hn＝eq\f(2,n＋2)，则数列{an}的通项公式为________.答案an＝eq\f(2n＋1,2n)解析由Hn＝eq\f(n,a1＋2a2＋3a3＋…＋nan)可得a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝eq\f(n,Hn)＝eq\f(nn＋2,2)，①a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝eq\f(n－1n＋1,2)，②①－②得nan＝eq\f(nn＋2,2)－eq\f(n－1n＋1,2)＝eq\f(2n＋1,2)，所以an＝eq\f(2n＋1,2n).20.已知数列{an}满足a1＝eq\f(1,2)且an＋1＝an－aeq\o\al(2,n)(n∈N*).(1)证明：1≤eq\f(an,an＋1)≤2(n∈N*)；(2)设数列{aeq\o\al(2,n)}的前n项和为Sn，证明：eq\f(1,2n＋2)≤eq\f(Sn,n)≤eq\f(1,2n＋1)(n∈N*).证明(1)由题意得an＋1－an＝－aeq\o\al(2,n)≤0，即an＋1≤an，故an≤eq\f(1,2).由an＝(1－an－1)an－1得an＝(1－an－1)(1－an－2)…(1－a1)a1＞0.由0＜an≤eq\f(1,2)得eq\f(an,an＋1)＝eq\f(an,an－a\o\al(2,n))＝eq\f(1,1－an)∈(1,2]，即1≤eq\f(an,an＋1)≤2成立.(2)由题意得aeq\o\al(2,n)＝an－an＋1，所以Sn＝a1－an＋1，①由eq\f(1,an＋1)－eq\f(1,an)＝eq\f(an,an＋1)和1≤eq\f(an,an＋1)≤2得1≤eq\f(1,an＋1)－eq\f(1,an)≤2，所以n≤eq\f(1,an＋1)－eq\f(1,a1)≤2n，因此eq\f(1,2n＋1)≤an＋1≤eq\f(1,n＋2)(n∈N*).②由①②得eq\f(1,2n＋2)≤eq\f(Sn,n)≤eq\f(1,2n＋1)(n∈N*).21.已知{an}是等差数列，满足a1＝3，a4＝12，数列{bn}满足b1＝4，b4＝20，且{bn－an}为等比数列.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)求数列{bn}的前n项和.22.成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{bn}中的b3、b4、b5.(1)求数列{bn}的通项公式；(2)数列{bn}的前n项和为Sn，求证：数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(Sn＋\f(5,4)))是等比数列.(1)解设成等差数列的三个正数分别为a－d，a，a＋d.依题意，得a－d＋a＋a＋d＝15.解得a＝5.所以{bn}中的b3，b4，b5依次为7－d，10，18＋d.依题意，有(7－d)(18＋d)＝100，解得d＝2或d＝－13(舍去).故{bn}的第3项为5，公比为2.由b3＝b1·22，即5＝b1·22，解得b1＝eq\f(5,4).所以bn＝b1·qn－1＝eq\f(5,4)·2n－1＝5·2n－3，即数列{bn}的通项公式bn＝5·2n－3.23．在公差不为零的等差数列{an}中，已知a1＝1，且a1，a2，a5依次成等比数列．数列{bn}满足bn＋1＝2bn－1，且b1＝3.(1)求{an}，{bn}的通项公式；(2)设数列eq\b\lc\{\r