函数知识点与典型例题总结

函数的概念

——定义——表示——列表法，解析法，图象法

——三要素——定义域，对应关系，值域

——值域与最值——观察法、判别式法、分离常数法、单调性法、最值法、重要不等式、三角法、图象法、线性规划等

——函数的图象函数的基本性质

——单调性——1.求单调区间：定义法、导数法、用已知函数的单调性.2.复合函数单调性：同增异减.——对称性——轴对称：f(a-x)=f(a+x);中心对称:f(a-x)+f(a+x)=2b

——奇偶性——1.先看定义域是否关于原点对称，再看f(-x)=f(x)还是-f(x).2.奇函数图象关于原点对称，若x=0有意义，则f(0)=0.3.偶函数图象关于y轴对称，反之也成立.——周期性——f(x+T)=f(x)；周期为T的奇函数有f(T)=f(T/2)=f(0)=0.函数常见的几种变换——平移变换、对称变换、翻折变换、伸缩变换基本初等函数——正(反)比例函数;一次(二次)函数;幂、指数、对数函数

(定义，图象，性质，应用)复合函数——单调性：同增异减;奇偶性：内偶则偶，内奇同外抽象函数——赋值法函数的应用

——函数与方程——函数零点、一元二次方程根的分布

——常见函数模型——幂、指、对函数模型；分段函数；对勾函数模型第一页第二页，共76页。函数函数的概念函数的基本性质函数的单调性函数的最值函数的奇偶性函数知识结构第二页第三页，共76页。BCx1x2x3x4x5y1y2y3y4y5y6A函数的三要素：定义域，值域，对应法则A.B是两个非空的数集,如果按照某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，这样的对应叫做从A到B的一个函数。一、函数的概念：第三页第四页，共76页。二、映射的概念设A,B是两个非空的集合,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y于之对应,那么就称对应f:A→B为集合A到集合B的一个映射映射是函数的一种推广,本质是:任一对唯一第四页第五页，共76页。函数的定义域：使函数有意义的x的取值范围。求定义域的主要依据1、分式的分母不为零.2、偶次方根的被开方数不小于零.3、零次幂的底数不为零.4、对数函数的真数大于零.5、指、对数函数的底数大于零且不为1.6、实际问题中函数的定义域第五页第六页，共76页。（一）函数的定义域1、具体函数的定义域1.【-1,2）∪（2，+∞）2.（-∞，-1）∪（1，+∞）3.（3∕4,1】第六页第七页，共76页。

2、抽象函数的定义域1）已知函数y=f(x)的定义域是[1，3]，求f(2x-1)的定义域2）已知函数y=f(x)的定义域是[0，5)，求g(x)=f(x-1)-f(x+1)的定义域3)1.[1,2];2.[1,4);3.[-]第七页第八页，共76页。思考：若值域为R呢？分析：值域为R等价为真数N能取（0，+∞）每个数。当a=0时，N=3只是（0，+∞）上的一个数，不成立；当a≠0时，真数N取（0，+∞）每个数即第八页第九页，共76页。2．函数的值域

(1)在函数y＝f(x)中,与自变量x的值相对应的y的值叫________，_____________叫函数的值域．

(2)基本初等函数的值域函数值函数值的集合基本初等函数值域①y＝kx＋b(k≠0)②y＝ax2＋bx＋c(a≠0)③④y＝ax(a>0且a≠1)⑤y＝logax(a>0且a≠1)⑥y＝sinx,y＝cosx⑦

y＝tanx第九页第十页，共76页。求值域的一些方法：

1、图像法，2、配方法，3、分离常数法，4、换元法，5单调性法。1)2)3)4)第十页第十一页，共76页。三、函数的表示法1、解析法2、列表法3、图象法

第十一页第十二页，共76页。例10求下列函数的解析式待定系数法换元法第十二页第十三页，共76页。（5）已知：对于任意实数x、y，等式恒成立，求赋值法

构造方程组法

(4)已知,求的解析式配凑法第十三页第十四页，共76页。1．函数的单调性增函数减函数定义

一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1,x2

当x1<x2时,都有____________,那么函数f(x)在区间D上是增函数

当x1<x2时，都有__________,那么函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是______自左向右看图象是_____f(x1)<f(x2)f(x1)>f(x2)上升的下降的(1)单调函数的定义第十四页第十五页，共76页。写出常见函数的单调区间并指明是增区间还是减区间１、函数的单调区间是

2、函数y=ax+b（a≠0）的单调区间是3、函数y=ax2+bx+c（a≠0）的单调区间是第十五页第十六页，共76页。用定义证明函数单调性的步骤:(1)设元，设x1,x2是区间上任意两个实数，且x1＜x2;(2)作差，f(x1)－f(x2);(3)变形，通过因式分解转化为易于判断符号的形式(4)判号，判断f(x1)－f(x2)的符号；（5）下结论.第十六页第十七页，共76页。1.函数f(x)=2x+1,(x≥1)４－x,(x＜1)则f(x)的递减区间为()A.[1,＋∞)B.(－∞,1)C.(0,＋∞)D.(－∞,0]B2、若函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间[4,+∞)上是增函数,求实数a的取值范围3

判断函数的单调性。第十七页第十八页，共76页。拓展提升复合函数的单调性复合函数的定义：设y=f(u)定义域A，u=g(x)值域为B，若AB，则y关于x函数的y=f[g(x)]叫做函数f与g的复合函数，u叫中间量第十八页第十九页，共76页。复合函数的单调性若u=g(x)增函数减函数增函数减函数y=f(u)增函数减函数减函数增函数则y=f[g(x)]增函数增函数减函数减函数规律：当两个函数的单调性相同时，其复合函数是增函数；当两个函数的单调性不相同时，其复合函数是减函数。“同增异减”第十九页第二十页，共76页。复合函数的单调性例题：求下列函数的单调性y=log4(x2－4x+3)解设

y=log4u（外函数）,u=x2－4x+3（内函数）.由u＞0,u=x2－4x+3，解得原复合函数的定义域为{x|x＜1或x＞3}.当x∈(－∞，1)时，u=x2－4x+3为减函数，而y=log4u为增函数，所以(－∞，1)是复合函数的单调减区间；当x∈(3，±∞)时，u=x2－4x+3为增函数y=log4u为增函数，所以，(3，+∞)是复合函数的单调增区间.第二十页第二十一页，共76页。例4：求的单调区间.解:设由u∈R,u=x2－2x－1,

解得原复合函数的定义域为x∈R.因为在定义域R内为减函数，所以由二次函数u=x2－2x－1的单调性易知,u=x2－2x－1=(x－1)2－2在x≤1时单调减，由

x∈R,

(复合函数定义域)

x≤1，(u减)解得x≤1.所以(－∞，1］是复合函数的单调增区间.同理［1，+∞)是复合函数的单调减区间.

第二十一页第二十二页，共76页。复合函数的单调性小结复合函数y=f[g(x)]的单调性可按下列步骤判断：(1)将复合函数分解成两个简单函数：y=f(u)与u=g(x)。其中y=f(u)又称为外层函数,u=g(x)称为内层函数;(2)确定函数的定义域；(3)分别确定分解成的两个函数的单调性；(4)若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数y=f[g(x)]为增函数；(5)若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增函数，而另一个是减函数），则复合后的函数y=f[g(x)]为减函数。

复合函数的单调性可概括为一句话：“同增异减”。第二十二页第二十三页，共76页。四、函数的奇偶性1.奇函数:对任意的,都有2.偶函数:对任意的,都有3.奇函数和偶函数的必要条件:注:要判断函数的奇偶性,首先要看其定义域区间是否关于原点对称!定义域关于原点对称.第二十三页第二十四页，共76页。奇(偶)函数的一些特征1.若函数f(x)是奇函数,且在x=0处有定义,则f(0)=0.2.奇函数图像关于原点对称,且在对称的区间上不改变单调性.3.偶函数图像关于y轴对称,且在对称的区间上改变单调性第二十四页第二十五页，共76页。一个函数为奇函数⇔它的图象关于原点对称.一个函数为偶函数⇔它的图象关于y

轴对称.3.性质:

奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.(2)在定义域的关于原点对称的公共区间内奇±奇=奇;偶±偶=偶;奇±偶=非奇非偶.偶×偶=偶；奇×奇=偶；偶×奇=奇.(1)奇函数、偶函数的图象特点(3)奇偶性与单调性的关系第二十五页第二十六页，共76页。(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝______，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．

(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中_____________的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.3．周期性存在一个最小f(x)第二十六页第二十七页，共76页。例12判断下列函数的奇偶性第二十七页第二十八页，共76页。第二十八页第二十九页，共76页。第二十九页第三十页，共76页。函数的奇偶性与周期性第三十页第三十一页，共76页。函数的图象1、用学过的图像画图。2、用某种函数的图象变形而成。（1）关于x轴、y轴、原点对称关系。（2）平移关系。（3）绝对值关系。第三十一页第三十二页，共76页。反比例函数1、定义域

.2、值域3、图象k>0k<0第三十二页第三十三页，共76页。1.二次函数的定义与解析式①一般式：__________________.②顶点式：__________________,顶点为______.③零点式：____________________,其中_______是方程ax2+bx+c=0的两根.y=ax2+bx+c(a≠0)y=a(x-m)2+n(a≠0)y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)(m,n)(1)二次函数的定义

形如:f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数叫做二次函数.(2)二次函数解析式的三种形式x1,x2第三十三页第三十四页，共76页。①对称轴:______②顶点:_________2．二次函数的图象和性质图象函数性质定义域x∈R(个别题目有限制的,由解析式确定)值域a>0a<0奇偶性b＝0时为偶函数，b≠0时既非奇函数也非偶函数单调性a>0a<0图象特点上递减上递增上递增上递减第三十四页第三十五页，共76页。3.二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)与轴两交点的距离

当Δ＝b2－4ac>0时，图象与x轴有两个交点M1(x1,0),M2(x2,0)，4.二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)在[m,n]上的最值(2)若

[m,n],则①当

x0<m

时,f(x)min=f(m),f(x)max=f(n);②当

x0>n

时,f(x)min=f(n),f(x)max=f(m).(1)若

∈[m,n],则

f(x)min=f(x0)=第三十五页第三十六页，共76页。Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象方程ax2+bx+c=0的根ax2+bx+c>0(a>0)的解集ax2+bx+c<0(a>0)的解集有两不等实根x1,x2{x|x<x1,x>x2}有两相等实根x1=x2无实根{x|x≠x1}R3.二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之间的关系{x|x1<x<x2}ØØ第三十六页第三十七页，共76页。4.不等式

ax2+bx+c>0

恒成立问题①

ax2+bx+c>0在R上恒成立

③

f(x)=ax2+bx+c>0(a>0)

在

[m,n]

上恒成立

f(x)min>0(x∈[m,n])②

ax2+bx+c<0在R上恒成立

④f(x)=ax2+bx+c<0(a>0)

在

[m,n]

上恒成立

第三十七页第三十八页，共76页。求二次函数的解析式【例1】已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1,且f(x)的最大值是8,试确定此二次函数．

二次函数的解析式有三种形式：

(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；

(2)顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)；

(3)两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．已知函数的类型(模型),求其解析式,用待定系数法,根据题设恰当选用二次函数解析式的形式,可使解法简捷．第三十八页第三十九页，共76页。二次函数的图象与性质【例2

】已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；(2)求实数a的取值范围,使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数；(3)当a＝1时,求f(|x|)的单调区间．第三十九页第四十页，共76页。二次函数的综合应用【例3】若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)

满足

f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.(1)求f(x)的解析式；

(2)若在区间[－1,1]上，不等式f(x)>2x＋m恒成立,

求实数m的取值范围．第四十页第四十一页，共76页。【例1】已知函数在区间[0,1]

上的最大值是2，求实数a的值.第四十一页第四十二页，共76页。例2.设不等式mx2-2x-m+1<0对于满足|m|≤2的一切值都恒成立，求实数

x的取值范围.解：设f(m)=mx2-2x-m+1,

【点评】解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数.一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数.

则

f(m)是一个以m为自变量的一次函数，其图象是直线，由题意知该直线当-2≤m≤2时，线段在x轴下方,所以实数

x的取值范围是第四十二页第四十三页，共76页。则问题转化为m≤g(x)min解：m≤-2x2+9x在区间［2，3］上恒成立，（1）变量分离法(分离参数)例4.关于x的不等式在区间[2,3]上恒成立,则实数m的取值范围是_______.

【评注】对于一些含参数的不等式恒成立问题，如果能够将不等式中的变量和参数进行剥离，即使变量和参数分别位于不等式的左、右两边，然后通过求函数的值域的方法将问题化归为解关于参数的不等式的问题．不等式恒成立问题第四十三页第四十四页，共76页。问题等价于f(x)max≤0,解：构造函数23y..xo（2）转换求函数的最值例4.关于x的不等式在区间[2,3]上恒成立,则实数m的取值范围是_______.不等式恒成立问题第四十四页第四十五页，共76页。则解：构造函数23y..xo例4.关于x的不等式在区间[2,3]上恒成立,则实数m的取值范围是_______.（３）数形结合思想不等式恒成立问题第四十五页第四十六页，共76页。解：据题意，由已知得:不等式解集为：23A例4.关于x的不等式在区间[2,3]上恒成立,则实数m的取值范围是_______.（４）不等式解集法不等式恒成立问题第四十六页第四十七页，共76页。

二次方程的实根分布问题

第四十七页第四十八页，共76页。一.函数零点一般地，对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x就做函数y=f(x)的零点.

由此得出以下三个结论等价：方程f(x)=0有实根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点第四十八页第四十九页，共76页。

涉及方程

f(x)=ax2+bx+c=0(a≠0)的实根分布问题,一般情况下要从四个方面考虑:①

f(x)

图象的开口方向;②方程

f(x)=0的判别式;④区间端点处函数值的符号.

③

f(x)

图象的对称轴与区间的关系;1.二次方程ax2+bx+c=0(a>0)实根分布问题第四十九页第五十页，共76页。实根分布问题

★一元二次方程1、当x为全体实数时的根第五十页第五十一页，共76页。

★一元二次方程在某个区间上有实根，求其中字母系数的问题称为实根分布问题。实根分布问题一般考虑四个方面，即：（1）开口方向（2）判别式（3）对称轴（4）端点值的符号。2、当x在某个范围内的实根分布第五十一页第五十二页，共76页。第五十二页第五十三页，共76页。第五十三页第五十四页，共76页。第五十四页第五十五页，共76页。第五十五页第五十六页，共76页。第五十六页第五十七页，共76页。第五十七页第五十八页，共76页。第五十八页第五十九页，共76页。可用韦达定理表达式来书写条件也可第五十九页第六十页，共76页。可用韦达定理表达式来书写条件也可第六十页第六十一页，共76页。可用韦达定理表达式来书写：ac<0也可f(0)<0第六十一页第六十二页，共76页。解：寻求等价条