高考数学(深化复习-命题热点提分)专题05-函数﹑基本初等函数的图像与性质-理

PAGEPAGE10专题05函数﹑基本初等函数的图像与性质1．函数y＝eq\r(log32x－1)的定义域为()A．[1，＋∞) B．(1，＋∞)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))解析：由log3(2x－1)≥0得2x－1≥1，x≥1.因此函数的定义域是[1，＋∞)，故选A.答案：A2．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(logx，x>0，,3x，x≤0，))则f(f(4))的值为()A．－eq\f(1,9) B．－9C.eq\f(1,9) D．9解析：因为f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(logx，x>0，,3x，x≤0，))所以f(f(4))＝f(－2)＝eq\f(1,9).答案：C3．函数y＝lg|x|()A．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增B．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减C．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增D．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减解析：因为lg|－x|＝lg|x|，所以函数y＝lg|x|为偶函数，又函数y＝lg|x|在区间(0，＋∞)上单调递增，由其图象关于y轴对称，可得y＝lg|x|在区间(－∞，0)上单调递减，故选B.答案：B4．函数f(x)＝2|log2x|－eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))的图象为()解析：由题设条件，当x≥1时，f(x)＝2log2x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))＝eq\f(1,x)；当0<x<1时，f(x)＝2－log2x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－x))＝eq\f(1,x)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－x))＝x.故f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)，x≥1，,x，0<x<1.))其图象如图所示．故选D.答案：D5．对于函数y＝f(x)，部分x与y的对应关系如下表：x123456789y375961824数列{xn}满足：x1＝1，且对于任意n∈N*，点(xn，xn＋1)都在函数y＝f(x)的图象上，则x1＋x2＋…＋x2017＝()A．7554 B．7540C．7561 D．75646．已知函数y＝sinax＋b(a>0)的图象如图所示，则函数y＝loga(x＋b)的图象可能是()解析：由题图可知0<a<1,0<b<1.故选C.答案：C7．已知偶函数f(x)满足：当x1，x2∈(0，＋∞)时，(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0恒成立．设a＝f(－4)，b＝f(1)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为()A．a<b<c B．b<a<cC．b<c<a D．c<b<a解析：因为f(x)为偶函数，故f(－4)＝f(4)．因为(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0，故函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，故f(－4)＝f(4)>f(3)>f(1)，即a>c>b，故选C.答案：C8．下列区间中，函数f(x)＝|lg(2－x)|在其上为增函数的是()A．(－∞，1] B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，\f(4,3)))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2))) D．[1,2)答案：D9．已知函数f(x)＝ln(1＋x2)，则满足不等式f(2x－1)<f(3)的x的取值范围是()A．(－∞，2) B．(－2,2)C．(－1,2) D．(2，＋∞)解析：易知f(－x)＝f(x)，故函数f(x)是偶函数，由复合函数单调性知函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴f(2x－1)<f(3)⇒f(|2x－1|)<f(3)，从而|2x－1|<3，解得－1<x<2，故选C.答案：C10．已知函数f(x)满足：①定义域为R；②∀x∈R，都有f(x＋2)＝f(x)；③当x∈[－1,1]时，f(x)＝－|x|＋1.则方程f(x)＝eq\f(1,2)log2|x|在区间[－3,5]内解的个数是()A．5 B．6C．7 D．8解析：画出y1＝f(x)，y2＝eq\f(1,2)log2|x|的图象如图所示，由图象可得所求解的个数为5.答案：A11.已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能是()A．x2cosxB．sinx2C．xsinxD．x2－eq\f(1,6)x4答案：B12．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则()A．f(－25)<f(11)<f(80)B．f(80)<f(11)<f(－25)C．f(11)<f(80)<f(－25)D．f(－25)<f(80)<f(11)解析：由f(x－4)＝－f(x)得f(x＋2－4)＝f(x－2)＝－f(x＋2)，由f(－x)＝－f(x)得f(－x－2)＝－f(x＋2)，所以f(－2＋x)＝f(－2－x)，所以直线x＝－2是函数f(x)图象的一条对称轴．同理得直线x＝2是函数f(x)图象的一条对称轴，所以函数f(x)的周期是8，所以f(－25)＝f(－1)＝－f(1)，f(11)＝f(3)＝f(1)，f(80)＝f(0)．由f(x)是奇函数，且在区间[0,2]上是增函数，得f(0)＝0，f(1)>0，－f(1)<0，则－f(1)<f(0)<f(1)，故选D.答案：D13．设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)，x>1，,－x－2，x≤1，))则f[f(2)]＝________；函数f(x)的值域是________．解析：由题意得f(2)＝eq\f(1,2)，f[f(2)]＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝－eq\f(1,2)－2＝－eq\f(5,2).因为当x>1时，eq\f(1,x)∈(0,1)；当x≤1时，－x－2∈[－3，＋∞)，所以函数f(x)的值域为[－3，＋∞)．答案：－eq\f(5,2)[－3，＋∞)14．若函数f(x)＝2x＋a·2－x为奇函数，则实数a＝________.解析：依题意得f(0)＝1＋a＝0，所以a＝－1.答案：－115．已知函数f(x)＝eq\f(2,2x＋1)＋sinx，则f(－2017)＋f(－2016)＋f(0)＋f(2016)＋f(2017)＝________.答案：516．已知定义在R上的函数f(x)满足：①函数y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称；②∀x∈R，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)－x))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)＋x))；③当x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，－\f(3,4)))时，f(x)＝log2(－3x＋1)．则f(2017)＝________.解析：由①知f(x)为奇函数．又由②可得f(x)是以3为周期的周期函数，所以f(2017)＝f(1)＝－f(－1)＝－log2[－3×(－1)＋1]＝－log24＝－2.答案：－217.若函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－a，x≤0，,lnx，x＞0))有两个不同的零点，则实数a的取值范围是________.解析当x＞0时，由f(x)＝lnx＝0，得x＝1.因为函数f(x)有两个不同的零点，则当x≤0时，函数f(x)＝2x－a有一个零点，令f(x)＝0得a＝2x，因为0＜2x≤20＝1，所以0＜a≤1，所以实数a的取值范围是0＜a≤1.答案(0，1]18.已知函数y＝f(x)是R上的偶函数，对x∈R都有f(x＋4)＝f(x)＋f(2)成立.当x1，x2∈[0，2]，且x1≠x2时，都有eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)＜0，给出下列命题：①f(2)＝0；②直线x＝－4是函数y＝f(x)图象的一条对称轴；③函数y＝f(x)在[－4，4]上有四个零点；④f(2014)＝0.其中所有正确命题的序号为________.答案①②④19.定义在[－1，1]上的奇函数f(x)，已知当x∈[－1，0]时，f(x)＝eq\f(1,4x)－eq\f(a,2x)(a∈R).(1)写出f(x)在[0，1]上的解析式；(2)求f(x)在[0，1]上的最大值.解(1)∵f(x)是定义在[－1，1]上的奇函数，∴f(0)＝0，∴a＝1，∴当x∈[－1，0]时，f(x)＝eq\f(1,4x)－eq\f(1,2x).设x∈[0，1]，则－x∈[－1，0]，∴f(－x)＝eq\f(1,4－x)－eq\f(1,2－x)＝4x－2x，∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝2x－4x.∴f(x)在[0，1]上的解析式为f(x)＝2x－4x.(2)f(x)＝2x－4x，x∈[0，1]，令t＝2x，t∈[1，2]，g(t)＝t－t2＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(1,4)，∴g(t)在[1，2]上是减函数，∴g(t)max＝g(1)＝0，即x＝0，f(x)max＝0.20.已知函数f(x)＝ax2－2ax＋2＋b(a≠0)在区间[2，3]上有最大值5，最小值2.(1)求a，b的值；(2)若b＜1，g(x)＝f(x)－2mx在[2，4]上单调，求m的取值范围.解(1)f(x)＝a(x－1)2＋2＋b－a.①当a＞0时，f(x)在[2，3]上为增函数，故eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（3）＝5，,f（2）＝2))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(9a－6a＋2＋b＝5，,4a－4a＋2＋b＝2))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝0.))②当a＜0时，f(x)在[2，3]上为减函数，故eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（3）＝2，,f（2）＝5))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(9a－6a＋2＋b＝2，,4a－4a＋2＋b＝5))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝3.))故eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝3.))(2)∵b＜1，∴a＝1，b＝0，即f(x)＝x2－2x＋2，g(x)＝x2－2x＋2－2mx＝x2－(2＋2m)x＋2.若g(x)在[2，4]上单调，则eq\f(2＋2m,2)≤2或eq\f(2m＋2,2)≥4，∴2m≤2或2m≥6，即m≤1或m≥log26.故m的取值范围是(－∞，1]∪[log26，＋∞).21.已知函数f(x)＝－x2＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋eq\f(e2,x)(x＞0).(1)若g(x)＝m有实根，求m的取值范围；(2)确定m的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根.解(1)∵x＞0，∴g(x)＝x＋eq\f(e2,x)≥2eq\r(e2)＝2e，等号成立的条件是x＝e.故g(x)的值域是[2e，＋∞)，因而只需m≥2e，则g(x)＝m就有实根.故m∈[2e，＋∞).22．已知函数f(x)＝x2＋eq\f(a,x)(x≠0，a∈R)．(1)判断函数f(x)的奇偶性；(2)若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围．解析：(1)当a＝0时，f(x)＝x2(x≠0)为偶函数；当a≠0时，f(x)既不是奇函数也不是偶函数．(2)解法一设x2＞x1≥2，f(x1)－f(x2)＝xeq\o\al(2,1)＋eq\f(a,x1)－xeq\o\al(2,2)－eq\f(a,x2)＝eq\f(x1－x2,x1x2)[x1x2(x1＋x2)－a]，由x2＞x1≥2，得x1x2(x1＋x2)＞16，x1－x2＜0，x1x2＞0.要使f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，只需f(x1)－f(x2)＜0，即x1x2(x1＋x2)－a＞0恒成立，则a≤16.故a的取值范围是(－∞，16]．解法二f′(x)＝2x－eq\f(a,x2)，要使f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，只需当x≥2时，f′(x)≥0恒成立，即2x－eq\f(a,x2)≥0，则a≤2x3∈[16，＋∞)恒成立，故当a≤16时，f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数．故a的取值范围是(－∞，16]．23．f(x)的定义域为R，对任意x，y∈R，有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x＞0时，f(x)＜0，f(1)＝－2.(1)证明：f(x)是奇函数；(2)证明：f(x)在R上是减函数；(3)求f(x)在区间[－3，3]上的最大值和最小值．解析：(1)函数f(x)的定义域R关于原点对称，又由f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，得f[x＋(－x)]＝f(x)＋f(－x)，∴f(x)＋f(－x)＝f(0)．又f(0＋0)＝f(0)＋f(0)，∴f(0)＝0.从而有f(x)＋f(－x)＝0，∴f(－x)