2021年6月上海市数学高考真题卷 带详解

2021年普通高等学校招生全国统一考试

上海数学试卷

(考试时间120分钟，满分150分)

2021.6

一、填空题(本大题共有12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，满分54分)

1.已知Z1=1+i,z,=2+3i,Z)+z2=.

2.已知A={X|2XW1},8={-1,0,1},则408=.

3.若x?+V-2x-4y=0,则圆心坐标为.。(

4如图，正方形ABC。的边长为3,求福.祕=.

5.已知/。)=5+2,则.1/

6.若代数式(x+a)s的展开式中，犬的系数为80,则。=A1

x<3

7.已知<2x-y-2N0,z-x-y，贝!|z的最大值为.

3x+y-8>0

8.已知等比数歹U4=3,b„=a2„,a”的各项和为9,则数列出}的各项和为.

9.在圆柱中，底面圆半径为1,高为2,上底面圆的直径为AB,C是底面圆弧上的一个动点,

绕着底面圆周转，则AABC的面积的范围________.

10.已知花博会有四个不同场馆A、B、C、D,甲、乙两人每人选2个去参观，问两人他们

恰有一个馆相同的概率为.

11.已知抛物线：y2=2px(p>0),焦点为尸,若A、8在抛物线上且在第一象限，

|AF|=2,\BF\=4,\AB\=3,求直线AB的斜率为.

12.已知%wN*(i=1,2,…9),对任意的keN'(2<k<8),ak=a1+1或《=%-1中有

且仅有一个成立，且4=6,%=9,贝(|可+…+为的最小值为.

二、选择题（本大题共有4题，每题5分，满分20分）

13.下列函数中，既是奇函数且在定义域内是减函数的是（）

x

Ay=-3xB.y-^C.y-3D.y-log3x

3

x=3f-4/r,

14.已知参数方程,_-,/e[-l,l],则下列曲线方程符合该方程的是（）

y=2/-厂

A.B.C.D.

JTTT

15.已知〃x）=3sinx+2,对于任意的O,,，都存在，使得

/（%）+2/（々+。）=2成立，则下列选项可行。的是（）

A34044「6兀八7万

A.—D.—C.—L）.—

5555

16.已知两两不同的4加孙%，不，%满足占+,=彳2+%=入+%，且

玉＜乂,々＜%，不＜%，若可X+七%=29%＞。，则下列不等式中恒成立的是（）

D.x；>中3

A.2X2<%+毛B.2X2>%+£

三、解答题(本大题共有5题，满分76分)【解答下列各题必须写出必要的步骤】

17.如图，在长方体ABC。一44GA中，AB=BC=2,AAt=3

(1)若P是A9上一点，求三棱锥P-ADC的体积；

(2)求直线Ag与平面ACGA的夹角大小.(结果用反三角函数值表示)

18.在中，内角A、B、。所对边分别为a、b、c,已知a=3,b=2c

(1)若人=q-,求△ABC的面积；

(2)若2sin5—sinC=l,求AA3C的周长.

19.“十四五”期间，上海市将全力推进“五个新城建设“，更好服务长三角一体化发展国家战

略.已知某建设投资企业2021年第一季度(一年共4个季度)的营业额为1.1亿元，预计以

后每个季度的营业额比前一个季度增加().05亿元，已知该企业2021年第一季度的毛利润为

016亿元，预计以后每个季度的毛利润比前T度增长4%.

(1)求该企业自2021年起的前20个季度的总营业额；

(2)请问该企业自2021年起哪一年哪一季度利润首次超过该季度营业额的18%?

20.已知椭圆r4+y2=i,4,巴是其左右交点，直线/过点交「于

A8两点，且A在线段BP上,且AB都在轴上方

(1)若B为椭圆「的上顶点，且阿卜阀|,求〃,的值；

——•——•14、后

(2)若64KA=耳,且原点。到直线/的距离为,求直线/的方程；

(3)对任意点，是否存在唯一直线，使得巾//物成立？若存在，求出直线的斜率；若

不存在，请说明理由.

21.已知函数/(x)的定义域为A,若对任意的王,々wA,满足々-XeS时总有

)-/(X)eS成立，则称函数f(x)是S关联.

(1)判断函数=是否在［0,+8)关联？是［0,1］关联嘛？若是，请证明；若不是,

请说明吗理由；

(2)若函数/(x)是｛3｝关关联，当/(x)在xe［0,3)时，/(x)=f一2x,求解不等式组：

2</(X)<3；

(3)证明：/(x)是｛1｝关联的，且是在［0,+向关联的,当且仅当“/(X)在［L2］是关联“

2021年普通高等学校招生全国统一考试

上海数学试卷

(考试时间120分钟，满分150分)

2021.6

一、填空题(本大题共有12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，满分54分)

1.已矢口Z1=1+i,z,=2+3i,4+z,=.

【答案】3+4i

由题易得，Z]+z2=3+4i

2.已知A={X|2X<1},6={—1,0,1},则AD5=.

【答案】{-1,0}

由已知得，AAfi={-l,0}

3.若x?+y1-2x-4y=0,则圆心坐标为.

【答案】(1,2)

圆的方程为：(x—iy+(y—2)2=5

所以圆心坐标为(1,2)

4如图，正方形ABCD的边长为3,求福./=

【答案】9

由已知得，

AB

=A8（AB+BC）=|AB|2=9

3

5.已知/。）=巳+2，贝!.

x

【答案】-3

3

令/（尤）=一+2=],解得x=-l

x

所以尸⑴=-3

6.若代数式（x+a）’的展开式中，一的系数为80,则。=

【答案】2

通项公式为：Tr+i=黑（工广优

因为/的系数为80,所以令5—r=2,即r=3

所有C；/=8（），解得。=2

【答案】y

因为凡的各项和为9,4=3

所以詈一=9，解得q=;，所以々=a,“=2・

l-q3

仁b、_2J8

即数列的各项和为"PV"4一二

~9

9.在圆柱中，底面圆半径为1,高为2，上底面圆的直径为AB,C是底面圆弧上的一个动点,

绕着底面圆周转，则AABC的面积的范围________.

【答案】[2,75]

当点。在E点影时，面积最小S=L-AJB»=2；

2

当点C在底面圆弧EF的中点时，面积最大S=1-AB/=小，

2

由于变化的连续性及任意性，因此△ABC面积的取值范围为[2,75]

10.已知花博会有四个不同场馆48、C。，甲、乙两人每人选2个去参观，问两人他们

恰有一个馆相同的概率为.

【答案】42

3

【法一：直接法】甲、乙各选2个去参观：仁•戏种，

其中两人恰有一个馆相同：C：•C；•C；种，

仁•”_2

所以P=

~3

【法二：间接法】总共情况为：c：•废种；都不相同的情况为：c：种；

两个馆相同的情况为c；种;

C2C：2

所以P=1一-9

3

11.已知抛物线：y2=2px(">0),焦点为尸，若A、8在抛物线上且在第一象限,

|AF|=2,|BF|=4,|AB|=3,求直线钻的斜率为

【答案】9

2

【法一】由已知得，4=2-=4一4,

22

由弦长公式得：\AB\=71+F上一叫=3

因为A、8在抛物线上且在第一象限

且仅有一个成立，且4=6,%=9,则％+…+佝的最小值为

【答案】31

+1+1+1+1

【法一】①生=4+1—>“Ifa2,a3—>a4,a5Ta6,a7Tas,ag

此时最小值为6+7+1+2+1+2+1+2+9=31

+i+i+i+i

©a,=a,+1,at,a2—>a3,a4—>a5,a6—>a7,a8—>a9

止匕时最小值为6+1+2+1+2+1+2+8+9=32

则卬+…+4的最小值为31

【法二】因为%=4句—1%=%-+1有且仅有f成立,

所以数列中的项两两一组互相关联

①卬=6+1=7,々3=%—1，％=4—1，％=%—1,

1.6+%+…+丹=25+2(%+/+%)/

当°3=。5=。7=1时，a\+a2+..•+4最小31

②％=q-1,%=%-1，4=%-1,4=09-1=8

/.%+%+…+%=26+2(%+。4+%),

当%=%=%=1时，，+。2+…+为最小32，贝！1%+…+。9的最小值为31

二、选择题(本大题共有4题，每题5分，满分20分)

13.下列函数中，既是奇函数且在定义域内是减函数的是()

3

A.y=-3xB.y=xC.y=YD.y=log3x

【答案】A

由题易知，只有y=-3x既是奇函数又是偶函数，故选A

x=3r-4?r、

14.已知参数方程,_-1,1,则下列曲线方程符合该方程的是()

A.B.C.D.

【答案】B

令y=0=f=-[,0,l,

易得函数恒过定点(0,0),(1,0),(7,0),结合选项易得8

___.TT-JT

15.已知/(x)=3sinx+2,对于任意的0;，都存在入小。,,，使得

)+2/(/+e)=2成立，则下列选项可行。的是()

434D4466兀1兀

A—D.—C.—D.—

5555

【答案】D

【法一】因为〃西)42,5],所以[―2,1]=2〃9+8),

即-1,1

JI1

令，二马+日金丸耳+8，则/Q)=3sinE+2,即一L]q3sin，+2

171

即一1,一二qsin/"的区间长度为一，故选。

_2J2

【法二】将选项代入，按计算器易得

16.已知两两不同的看,如孙％/3，％满足百+3=巧+%=七+%，且

当<苗,々<%,£<%，若无出+七%=2々%>0，则下列不等式中恒成立的是()

D.2XyXy

A.2X2<%+七B.2X2>XJ+%3X2>

【法一】设玉=$-"，X=s+a,a>0，类似定义

=s-b,y2=s+b,x3=s-c,y3=s+c,b,c>Q,则已知条件可以按以下方式写出：

22222222

a+C=2b,s-b>0,^>a+c<2b<^xi+x3>2x,,^a+c)~<2(a+c^=4b,

剩下的选项找反例即可，故选A.

【法二】设％=6—。，yi=s+a,a>Q，类似定义马=S一"%=$+"£=s-c,%=s+c,

b,c>0,则已知条件可以按以下方式写出：a2+c2=2b2,s2-b2>0,

=>a+c<2Z?<x>xl+x3>2jc2,(a+c)~<2(屋+/)=4序。

玉=2;y=6

令[=4+#，对“分三种不同情况依次讨论

毛=3;%=5n2x,=8—2>/6<3+2=5,排除B;

=占2=22-8"<2x3=6,HE除。;

七=1；%=7=£2=22一8卡>1X2=2,排除C；故选A

【法三：群友清序老师提供】不妨设玉+y=%+%=W+%=2,

所以xj+毛为=2工2%化为N（2—石）+工（2—七）=2々（2—々）,

设〃=x（2-x）,又因为王<苗,*2<%，不<%，所以玉,々，工3<1・

【法四：群友欧阳老师提供】设玉=s-a,X=$+。,。>0,

类似定义x2=s-b,y2=s+b,b>0,xi=s-c,y3=s+c,c>0,

那么条件就可以写为a2+c2=2b\s2-b2>0,我们有不等式

(a+c)2=2(/+c2)-(«-c)2<2("+C-2)=4/72

由于4〃,c>0,开方得到=>Q+c<2〃=>%+%>2X2

所以A恒成立，8恒错误，选A.

C选项是x；>N刍,。选项是x；<x,%3,

实际上我们取玉=4,y=5,々=2,%=7,七=1,%=8

就只=x,x3,C,D同时排除了.事实上C,D选项中的大于或小于或等于都是会发生的.

【法五：特殊值法】取4.5/2.7/1.8即可

三、解答题(本大题共有5题，满分76分)【解答下列各题必须写出必要的步骤】

17.如图，在长方体ABC。一ABCA中，AB=BC=2,AAt=3

(1)若P是A9上一点，求三棱锥P-ADC的体积；

(2)求直线与平面ACG4的夹角大小.(结果用反三角函数值表示)

(1)因为点P是4。上一点，且平面A2A。，平面钻8,

所以长方体的高，即为三棱柱P-AOC的高。=3,

又由于底面是直角三角形AADC，所以底面面积为a=gx2x2=2,[

所以%.AOC=—x2x3x2x—=2

(2)以为建立空间直角坐标系易得，

A(2,0,0),C(0,2,0),A(2,0,3),8(2,2,3)

所以福=(0,0,3),*=(-2,2,0)，瓯=(0,2,3)

AA〃=0/Z=0

设平面4。。14的法向量后=(工//),贝!|22:一="

•〃=0一2x+2y=0

7T

令x=l,则而=(1,1,0)，设AB与平面ACC/所成角为仇0,-

所以A片与平面ACGA的夹角大小6=arcsin.

18.在△ABC中，内角A、B、C所对边分别为久b、c,已知a=3,b=2c

(1)若A=^27r,求/VSC的面积；

(2)若2sin3-sinC=l,求zMBC的周长.

.、+二5/曰4b-+c-a~_[(2C)2+C2-9_1

(1)由已知得，cos>1=---------------

2hc22x+cxc2

=。2号=*e*乎=等

(2)/?=2c=>sinB=2sinC=>4sinC-sinC=1

..「_2叵._2R-亚

..sinC——,cosC=------,sinBp——,cos3=±—

3333

所以sinA=sin(B+C)=班；亚

因为」=」，所以=生&乎

sinAsinCsinA3

.,.Q40c=a+b+c=a+3c=3+4\/2±x/5

19.“十四五”期间，上海市将全力推进“五个新城建设“，更好服务长三角一体化发展国家战

略.已知某建设投资企业2021年第一季度(一年共4个季度)的营业额为L1亿元，预计以

后每个季度的营业额比前一个季度增加().05亿元，已知该企业2021年第一季度的毛利润为

0.16亿元，预计以后每个季度的毛利润比前一季度增长4%.

(1)求该企业自2021年起的前20个季度的总营业额；

(2)请问该企业自2021年起哪一年哪一季度利润首次超过该季度营业额的18%?

(1)设%为第〃季度的营业额，么为利润，

由题意得，%的首项为L1亿元，公差为0.05亿元

所以2021到2025年，20季度营业收入总额为：邑。=20a,+—y—xd=31.5(亿元)

(2)由已知得，—1)4=1.1+0.55—1)

由已知的，么的首项为0.16亿元，公比为1.04

n

即2=bi-q-'=0.16x1.04"-'

所以•18%<年，利用计算器991可得，nmin=26

所以2027年第二季度该公司的利润首次超过该季度营业收入的18%

20.已知椭圆「:与+产=1,片心是其左右交点，直线/过点P(肛0)(/W<-应)交「于

A8两点,且A在线段B0上，且A8都在轴上方

(1)若3为椭圆「的上顶点，且|瓯|=|西|，求〃?的值；

(2)若乔•豆=g,且原点。到直线/的距离为,求直线/的方程；

(3)对任意点,是否存在唯一直线，使得用//用成立？若存在，求出直线的斜率；若

不存在，请说明理由.

(1)因为3是上顶点，则|丽|=。=q，则|西|=一1一〃2=0，故m=

..，，・..，・・2■*2

(2)FtAF2A=(AO+OFt)(AO-OF^=AO-OF,

=4+靖一1=炉+1一¥-1=¥=：，得一=一手,%邛

设几=y_亭=Mx+半)，则/3+，解得k=3

33Ji+k215

.Mu；：y=3x+g指

(3)设4%,凶),5(>2，%)，直线/：x=〃y+〃?

+llrinily->］一mlTl—\m—\

右耳A〃匿8,则*=—；-----=-------,y2=——7yl

y1-\-mm+1m+l

x=hy+m

2

联立直线与椭圆得X221n(〃?+2)y?+2mhy+m—2=0.

—+y=1

I2

2mhm2-2

即%+为=一^7?

,77?

m-l2mhm-12_-2

所以1+y2y2

m+1'~~h+2'm+i'~h+2

、—/i(2〃+1)m—1〃2(机+1)~m~—2

代入乂二下丁’h正厂¥77

所以(根2=(〃f-2)(〃?+2),m2/z2-h1=n^h1—2h2+2m2—4

•.,//>0

h2=2m2_4n//=Y2m2-4nk=/即证

42加2-4'

即对于任意m〈-拉，使得用//用的直线有且仅有一条

21.已知函数/(x)的定义域为R,若对任意的冷电€尺,满足々-不€5时总有

)-〃xjeS成立，则称函数/(%)是S关联.

(1)判断函数/(x)=2x-1是否在［0,+3)关联？是［0,1］关联嘛？若是，请证明；若不是，

请说明吗理由；

(2)若函数/(x)是｛3｝关关联，当/(x)在xe［0,3)时，f(x)=x2-2x，求解不等式组:

2</(x)<3;

(3)证明:/(x)是｛1｝关联的，且是在［0,+8)关联的,当且仅当，"(x)在［1,2］是关联”

【法一】(1)［0,+8)是，［0/不是

(2)/(x)—x=/—3x是以3为周期的函数，

然后就是要在［2-x,3-幻里面，可以看出只有

[0,3),[3,6)两个周期中可以找到解。\\

答案是"如\八人太

(3)充分性：W-z\

/(x+1)=/(%)+1,且/(幻递增，所以对

于x+14yV