新高考2023届高考数学二轮复习专题突破精练第44讲解析几何中的极点极线问题教师版

第44讲解析几何中的极点极线问题一．选择题（共4小题）1．（2021•柯桥区模拟）过点的两条直线，分别与双曲线相交于点，和点，，满足，且．若直线的斜率，则双曲线的离心率是A． B． C．2 D．【解答】解：设，，，，，，，，则，，，，，且，，则．，，，，，，，即，，则，同理可得：，则，，且，，即，双曲线的离心率．故选：．2．（2021•武汉模拟）已知椭圆内有一点，过的两条直线，分别与椭圆交于，和，两点，且满足（其中，且，若变化时，的斜率总为，则椭圆的离心率为A． B． C． D．【解答】解：设，、，、，、，，由，即，，，则，同理可得，，则，将点，的坐标代入椭圆方程作差可得，即，则①，同理可得②，①②得，又，，则，则椭圆的离心率，故选：．3．（2021•武汉模拟）已知，分别为双曲线实轴的左右两个端点，过双曲线的左焦点作直线交双曲线于，两点（点，异于，，则直线，的斜率之比A． B． C． D．【解答】解：由已知得双曲线，，．故，，．设直线，且，，，．由消去整理得，，两式相比得①，②，将①代入②得：上式．故．故选：．4．（2021•湖北月考）已知椭圆的左右顶点分别为，，过轴上点作一直线与椭圆交于，两点（异于，，若直线和的交点为，记直线和的斜率分别为，，则A． B．3 C． D．2【解答】解：由椭圆的方程可知：，所以，则，，设，，，，设直线的方程为：，则，直线的方程为：①，直线的方程为：，联立①②解得：，所以，联立方程，消去化简可得：，所以，所以，代入式得，因为，，所以，故选：．二．填空题（共4小题）5．已知椭圆内有一点过点的两条直线分别与椭圆相交于．和，两点若，若直线的斜率为，则该椭圆的离心率为【解答】解：设，、，、，、，，由，可设，，即，，，则，同理可得，，则，将点，的坐标代入椭圆方程作差可得，即，则①，同理可得②，①②得，又，，则，则椭圆的离心率，故答案为：．6．（2021•龙凤区校级月考）已知椭圆内一点，过点的两条直线，分别与椭圆交于，和，两点，且满足（其中且，若变化时直线的斜率总为，则椭圆的离心率为．【解答】解：设，，，，，，，，，，，，即，，同理可得，，，，，两点均在椭圆上，，两式相减整理得，，即，①，同理可得，②，①②得，，又，，即，离心率．故答案为：．7．设为椭圆的右焦点，过椭圆外一点作椭圆的切线，切点为，若，则点的轨迹方程为．【解答】解：设切点，，则椭圆的切线方程为：．设，，．联立解得：．点的轨迹方程为：．故答案为：．8．（2021•南通模拟）若椭圆的焦点在轴上，过点作圆的切线，切点分别为，，直线恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是．【解答】解：设过点的圆的切线为，即①当直线与轴垂直时，不存在，直线方程为，恰好与圆相切于点；②当直线与轴不垂直时，原点到直线的距离为：，解之得，此时直线的方程为，切圆相切于点，；因此，直线斜率为，直线方程为直线交轴交于点，交轴于点．椭圆的右焦点为，上顶点为，，可得，椭圆方程为故答案为：．三．解答题（共32小题）9．（2021•朝阳区校级期中）已知，分别是椭圆的左、右顶点，点在椭圆上，且直线与直线的斜率之积为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）如图，已知，是椭圆上不同于顶点的两点，直线与交于点，直线与交于点．若弦过椭圆的右焦点，求直线的方程．【解答】解：（1）点在椭圆上，，又直线与直线的斜率之积为，，解得，，椭圆的方程为：．（2）设，，，，，联立，得，，，直线的直线方程为，的直线方程为，联立，解得，同理，，直线的方程为．10．（2021•常熟市期中）如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆过点，离心率为，点，分别是椭圆的左、右顶点，点是直线上的一个动点（与轴交点除外），直线交椭圆于另一点．（1）求椭圆的方程；（2）当直线过椭圆的短轴顶点时，求的面积．【解答】解：（1）由题意，因为，得，，．所以椭圆的方程为．（2）直线的方程为，得．所以直线的方程，联立方程组，化简得，解得，，得点．又点到直线的距离，，所以．11．（2021•邗江区校级期中）如图，已知椭圆的离心率为，，分别是椭圆的左、右顶点，右焦点，，过且斜率为的直线与椭圆相交于，两点，在轴上方．（1）求椭圆的标准方程；（2）记，的面积分别为，，若，求的值；（3）设线段的中点为，直线与直线相交于点，记直线，，的斜率分别为，，，求的值．【解答】解：（1）设椭圆的焦距为．依题意可得，，解得，．故．所以椭圆的标准方程为．（2）设点，，，．若，则，即有，①设直线的方程为，与椭圆方程，可得，可得，，②将①代入②可得，解得，则；（3）由（2）得，，所以直线的方程为，令，得，即．所以．所以．12．（2021春•射洪市期末）如图，已知椭圆的左，右焦点分别为，，、分别是椭圆的左、右顶点，短轴为，长轴长是焦距的2倍，过右焦点且斜率为的直线与椭圆相交于、两点．（1）若时，记、的面积分别为、，求的值；（2）记直线、的斜率分别为、，是否存在常数使成立，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）因为，所以，又因为，所以，，所以椭圆的标准方程为：．设点，、，，且，，因为，所以的方程为，联立得：，所以，又，因为所以原式．（2）假设存在常数使成立，设直线的方程为，由消去得，，，又，因此，，故．13．（2021•全国模拟）椭圆的右焦点为，规定直线为椭圆的右准线，椭圆上的任意一点到右焦点的距离与其到右准线的距离之比为．已知椭圆．（1）若点，是椭圆上的任意一点，求的最小值；（2）若，分别是椭圆的左、右顶点，过点的直线与椭圆交于，两点，非顶点），证明：直线与的交点在椭圆的右准线上．【解答】解：（1）根据条件可得椭圆的右准线为，，若垂直于右准线，如图，则，即，所以，故当仅当，，三点共线时，最短，即为到右准线的距离，故的最小值为5；证明：（2）由题意，设，，，，，联立得：，则，，又，，则，，当时，，，而，即，所以直线与的交点在椭圆的右准线上，得证．14．（2021•南平二模）已知椭圆．（Ⅰ）若椭圆的离心率为，过焦点且垂直于轴的直线被椭圆截得弦长为．①求椭圆方程；②过点的两条直线分别与椭圆交于点，和，，若，求直线的斜率；（Ⅱ）设，为椭圆内一定点（不在坐标轴上），过点的两条直线分别与椭圆交于点，和，，且，类比（Ⅰ）②直接写出直线的斜率．（不必证明）【解答】解：（Ⅰ）①椭圆，椭圆的离心率为，过焦点且垂直于轴的直线被椭圆截得弦长为，，解得，（2分）椭圆的方程为．（3分）②设点．则，，故，．（5分）点在椭圆上，，则整理得（6分）由点在椭圆上知，故．①（7分）又，则．同理可得．②（8分）①②得．由题意可知，则直线的斜率为．（10分）（Ⅱ）直线的斜率为．（13分）15．（2021•安徽模拟）设，为椭圆内一定点（不在坐标轴上），过点的两直线分别与椭圆交于，和，，若．（Ⅰ）证明：直线的斜率为定值；（Ⅱ）过点作的平行线，与椭圆交于，两点，证明：点平分线段．【解答】解：（Ⅰ）设，，，，，，，，则，，点在椭圆上，，即，整理得，又点在椭圆上，，从而可得①又，故有．同理可得②②①得，点不在坐标轴上，，，又易知不与坐标轴平行，直线的斜率，为定值；（Ⅱ）直线的方程为，代入椭圆方程得，整理得到，，故．16．（2021•安阳三模）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，其短轴长为2，离心率为．点，为椭圆内一定点（不在坐标轴上），过点的两直线分别与椭圆交于点，和，，且．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）证明：直线的斜率为定值．【解答】（Ⅰ）解：短轴长为2，离心率为，，，焦点在轴上，椭圆的标准方程；（Ⅱ）证明：设，，，，，，，，，，，点在椭圆上，，又点在椭圆上，，从而可得①又，故有．同理可得②②①得，点不在坐标轴上，，，又易知不与坐标轴平行，直线的斜率，为定值．17．（2021•南昌一模）已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的动直线与抛物线交于，两点，直线过点，，且点关于直线的对称点，．（1）求抛物线的方程，并证明直线是抛物线的切线；（2）过点且垂直于的直线交轴于点，，与抛物线的另一个交点分别为，，记的面积为，的面积为，求的取值范围．【解答】解：（1），在定直线上，表示到直线的距离，因为关于的对称点为，故，即抛物线上点到焦点的距离等于到直线的距离，直线即为准线，所以，即，抛物线的方程为；证明：，因为，所以的斜率为，由可得，点处的切线的斜率为，故直线是抛物线的切线；（2）设，，，，，，，，则，，则，设直线的方程为，与联立，可得，所以，，，则的方程为，令，可得，即，因为，，三点共线，可得，又，，三点共线，且，，，，，所以，可得，故，将，，代入上式，化简可得，所以的取值范围是．18．（2021•金华模拟）如图，已知抛物线，过点的直线斜率为，与抛物线交于，两点．（Ⅰ）求斜率的取值范围；（Ⅱ）直线与轴交于点，过点且斜率为的直线与抛物线交于，两点，设直线与直线的交点的横坐标为，是否存在这样的，使，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）根据题意设直线的方程为，即，联立，得，所以，，因为直线与抛物线交于，两点，则，，所以△，解得，又，所以的取值范围为．（Ⅱ）由题知，，，设，，，，由（Ⅰ）知，，，因为直线与轴交于，，，因为直线过点且斜率为，所以直线的方程为，联立，得，所以，，所以△，即且，所以，所以直线的方程为，所以①，所以直线的方程为②，联立①②得，解得，所以，因为，所以，所以点的横坐标为，所以．19．（2021•新津县校级月考）已知点为抛物线的焦点，点在抛物线上，且．（1）求抛物线的方程；（2）已知点，延长交抛物线于点，以点为圆心作与直线相切的圆，求圆的半径，判断圆与直线的位置关系，并说明理由．【解答】解：（1）由抛物线的定义得．因为，即，解得，所以抛物线的方程为；（2）证明：设以点为圆心且与直线相切的圆的半径为．因为点在抛物线上，所以，由抛物线的对称性，不妨设，，由，，可得直线的方程为，由得，解得或，从而，又，故直线的方程为，从而．又直线的方程为，所以点到直线的距离．这表明以点为圆心且与直线相切的圆必与直线相切．20．（2015•四川）如图，椭圆的离心率是，过点的动直线与椭圆相交于、两点，当直线平行于轴时，直线被椭圆截得的线段长为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）在平面直角坐标系中，是否存在与点不同的定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）直线平行于轴时，直线被椭圆截得的线段长为，点，在椭圆上，又离心率是，，解得，，椭圆的方程为：；（Ⅱ）结论：存在与点不同的定点，使得恒成立．理由如下：当直线与轴平行时，设直线与椭圆相交于、两点，如果存在定点满足条件，则有，即．点在直线轴上，可设．当直线与轴垂直时，设直线与椭圆相交于、两点，则、的坐标分别为、，又，，解得或．若存在不同于点的定点满足条件，则点坐标只能是．法一：下面证明：对任意直线，均有．当直线的斜率不存在时，由上可知，结论成立．当直线的斜率存在时，可设直线的方程为，、的坐标分别为，、，，联立，消去并整理得：，△，，，，已知点关于轴对称的点的坐标为，，又，，，即、、三点共线，．法二：当斜率存在时，过点作轴，垂足为，过点作轴，垂足为，易知，则△相似于△，则，若证上命题，则需证直线与直线交于点时关于轴对称，则要证，联立，消去并整理得：，△，，，，，，可证得，所以相似于进而得证：，当斜率不存在时，由上可知，结论也成立．故存在与点不同的定点，使得恒成立．21．（2021秋•西城区校级期中）已知抛物线的顶点为原点，其焦点，到直线的距离为．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）设点，为直线上一定点，过点作抛物线的两条切线，，其中，为切点，求直线的方程，并证明直线过定点．【解答】解：（Ⅰ）抛物线的焦点，到直线的距离为，，解得或，（舍，抛物线的方程为．（Ⅱ）设，，设切点为，曲线，，则切线的斜率为，化简，得，设，，，，则，是以上方程的两根，，，，直线为：，化简，得：，定点．22．（2021秋•西城区校级期中）已知抛物线的顶点为原点，其焦点，到直线的距离为．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）设点，为直线上一动点，过点作抛物线的两条切线，，其中，为切点，求直线的方程，并证明直线过定点；（Ⅲ）过（Ⅱ）中的点的直线交抛物线于，两点，过点，分别作抛物线的切线，，求，交点满足的轨迹方程．【解答】解：（Ⅰ）抛物线的焦点，到直线的距离为，，解得或，（舍，抛物线的方程为．（Ⅱ）设，，设切点为，曲线，，则切线的斜率为，化简，得，设，，，则，是以上方程的两根，，，，直线为：，化简，得：，定点．（Ⅲ）设，，，过的切线，过的切线，交点，设过点的直线为联立，得，，，，．点满足的轨迹方程为．23．（2021•越秀区校级期中）在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交抛物线于点，关于点的对称点为，连接并延长交于点．设抛物线的焦点为．（1）若点在抛物线上且，求抛物线的方程；（2）证明为定值．【解答】解：（1）若点在抛物线上且，由抛物线的焦点，，准线方程为，可得，解得，则抛物线的方程为；（2）证明：将直线与抛物线方程联立，解得，，关于点的对称点为，，，，，的方程为，与抛物线方程联立，解得，，为定值．24．（2021•浙江）如图，已知点是轴左侧（不含轴）一点，抛物线上存在不同的两点，满足，的中点均在上．（Ⅰ）设中点为，证明：垂直于轴；（Ⅱ）若是半椭圆上的动点，求面积的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）证明：可设，，，，，中点为的坐标为，，抛物线上存在不同的两点，满足，的中点均在上，可得，，化简可得，为关于的方程的两根，可得，，可得，则垂直于轴；（另解：设，的中点分别为，，交于，为的中位线，，又为的中点，为的中点，设，，由，，，解得，所以垂直于轴）（Ⅱ）若是半椭圆上的动点，可得，，，由（Ⅰ）可得，，由垂直于轴，可得面积为，可令，可得时，取得最大值；时，取得最小值2，即，则在递增，可得，，面积的取值范围为，．25．（2021•金安区校级期末）如图所示，已知点，是轴左侧一点，抛物线上存在不同的两点，，中点为，，的中点均在上．（1）求证：；（2）若是半椭圆上的动点，求长度的取值范围．【解答】解：（1）证明：设，，，，因为，的中点在抛物线上，所以，为方程，即的两个不同的实数根为，，所以．（2）由（1）可知所以，，即，，，又，，．26．（2021•杨浦区期末）如图，已知点是轴左侧（不含轴）一点，抛物线上存在不同的两点，，满足，的中点均在抛物线上（1）求抛物线的焦点到准线的距离；（2）设中点为，且，，，，证明：；（3）若是曲线上的动点，求面积的最小值．【解答】（1）解：由抛物线，得，则，抛物线的焦点到准线的距离为2；（2）证明：，，设，，，，中点为的坐标为，，则，，抛物线上存在不同的两点，满足，的中点均在上，可得，，化简可得，为关于的方程的两根，可得，，可得；（3）解：若是曲线上的动点，可得，，，由（2）可得，，由垂直于轴，可得面积为，令，得时，取得最大值．时，取得最小值2，即，则在递增，可得，，面积的最小值为．27．（2021•怀化一模）如图，已知点是轴左侧（不含轴）一点，点为抛物线的焦点，且抛物线上存在不同的两点，．（1）若中点为，且满足，的中点均在上，证明：垂直于轴；（2）若点，在该抛物线上且位于轴的两侧，为坐标原点），且与的面积分别为和，求最小值．【解答】解：（1）证明：设，，，，，，因为直线，的中点在抛物线上，所以，为方程的两个根，即，的两个不同的实数根，所以，所以垂直于轴．（2）根据题意可得，，设，，，，则，，所以，则或，因为，位于轴的两侧，所以，设直线的方程为，联立，得，所以，则，所以直线过定点，所以，当且仅当，即时取等号，故的最小值为6．28．（2021秋•通州区期末）如图，已知椭圆经过点，离心率．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设是经过右焦点的任一弦（不经过点，直线与直线相交于点，记，，的斜率分别为，，，求证：，，成等差数列．【解答】解：（Ⅰ）由点在椭圆上得，①②由①②得，，，故椭圆的标准方程为．（4分）（Ⅱ）证明：椭圆右焦点坐标，显然直线斜率存在，设的斜率为，则直线的方程为③．（5分）代入椭圆方程，整理得．（6分）设，，，，则有④．（7分）在方程③中，令得，，从而，，．（9分）又因为、、共线，则有，即有，所以⑤将④代入⑤得，（12分）又，所以，即，，成等差数列．．（13分）29．（2013•江西）如图，椭圆经过点，离心率，直线的方程为．（1）求椭圆的方程；（2）是经过右焦点的任一弦（不经过点，设直线与直线相交于点，记，，的斜率分别为，，．问：是否存在常数，使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）椭圆经过点，可得①由离心率得，即，则②，代入①解得，，故椭圆的方程为（2）方法一：由题意可设的斜率为，则直线的方程为③代入椭圆方程并整理得设，，，，，④在方程③中，令得，的坐标为，从而，，注意到，，共线，则有，即有所以⑤④代入⑤得又，所以故存在常数符合题意方法二：设，，则直线的方程为令，求得从而直线的斜率为，联立，得，，则直线的斜率，直线的斜率为所以，故存在常数符合题意30．（2021•张掖期末）如图，椭圆的两顶点，，过其焦点的直线与椭圆交于，两点，并与轴交于点，直线与直线交于点．（1）当时，求直线的方程；（2）当点异于，两点时，求证：点与点横坐标之积为定值．【解答】解：（1）由椭圆的焦点在轴上，，由，，则，椭圆的标准方程：；当直线的斜率不存在时，，与题意不符，设直线的方程为，，，，，，整理得，则，，，解得．直线的方程为或；（2）当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，，设，，，，的坐标为，，，由（1）可知：，，直线的方程为①则直线的方程为②联立①②，解得：，由，，代入上式得：，不妨设，，，又，，代入①化简得，故点的横坐标为，则，即点与点横坐标之积为定值．31．（2021秋•枣强县校级期末）椭圆的两顶点为，如图，离心率为，过其焦点的直线与椭圆交于，两点，并与轴交于点，直线与直线交于点．（Ⅰ）当时，求直线的方程；（Ⅱ）当点异于，两点时，求证：为定值．【解答】解：（Ⅰ）由题意，设椭圆的标准方程为，由已知得：，所以，椭圆的方程为，当直线与轴垂直时与题意不符，设直线的方程为，，，，，将直线的方程代入椭圆的方程化简得，则，，，解得：，所以直线的方程为，（Ⅱ）证明：当直线与轴垂直时与题意不符，设直线的方程为，，，，，，点的坐标为，由（Ⅰ）知，，且直线的方程为，且直线的方程为，将两直线联立，消去得，，，与异号，，，与异号，与同号，，解得，，故点坐标为，，故为定值．32．（2015秋•成都校级月考）在平面直角坐标系中，如图所示，已知椭圆的左、右顶点分别为，，右焦点为．设过点的直线，与此椭圆分别交于点，，，，其中，，．（Ⅰ）设动点满足：，求点的轨迹；（Ⅱ）设，求点的坐标；（Ⅲ）设，求证：直线必过轴上的一定点（其坐标与无关），并求出该定点的坐标．【解答】解：（Ⅰ）由题设得，，，，设动点，由，，代入化简得，．故点的轨迹为直线．（4分）（Ⅱ）由，，得，则点，直线的方程为，由，，得，则点，直线的方程为，由（8分）（Ⅲ）证明：由题设知，直线的方程为：，直线的方程为：，点，满足；点，满足；若，且，得，此时直线的方程为，过点；若，则，直线的斜率，直线的斜率，，直线过点．因此直线必过轴上一定点．（13分）33．（2021春•南开区校级月考）已知椭圆的右焦点为，且经过点．（1）求椭圆的方程；（2）设为原点，直线与椭圆交于两个不同点，，直线与轴交于点，直线与轴交于点，若．求证：直线经过定点．【解答】解：（1）设椭圆的焦距为，则，解得，椭圆的方程为；（2）证明：设，，，，由消去得：，由韦达定理得，①由与，可得直线的方程为：，，，同理：，，又，，化简得，，将①代入并化简有：，或（舍直线的方程为：，经过定点．34．（2021•北京）已知椭圆的右焦点为，且经过点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设为原点，直线与椭圆交于两个不同点、，直线与轴交于点，直线与轴交于点．若，求证：直线经过定点．【解答】解：（Ⅰ）椭圆的右焦点为，且经过点．可得，，则椭圆方程为；（Ⅱ）证明：与椭圆方程联立，可得，设，，，，△，，，的方程为，令，可得，即，；的方程为，令，可得．即，．，，即为，即有，由，解得，满足△，即有直线方程为，恒过原点．35．（2012•福建）如图，等边三角形的边长为，且其三个顶点均在抛物线上．（1）求抛物线的方程；（2）设动直线与抛物线相切于点，与直线相交于点．证明以为直径的圆恒过轴上某定点．【解答】解：（1）依题意，，，设，则，，在上，，抛物线的方程为；（2）由（1）知，，设，，则，即由得，取，此时，，以为直径的圆为，交轴于点或取，此时，，，以为直径的圆为，交轴于点或故若满足条件的点存在，只能是，证明如下故以为直径的圆恒过轴上的定点．36．（2013•崇明县一模）如图，椭圆的左焦点为，右焦点为，过的直线交椭圆于，两点，的周长为8，且△面积最大时，△为正三角形．（1）求椭圆的方程；（2）设动直线与椭圆有且只有一个公共点，且与直线相交于点．试探究：①以为直径的圆与轴的位置关系？②在坐标平面内是否存在定点，使得以为直径的圆恒过点？若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）的周长为8，，．又当△面积最大时为正三角形，，，，，椭圆的方程为（2）