新高考2023届高考数学二轮复习专题突破精练第37讲活用圆锥曲线的定义教师版

第37讲活用圆锥曲线的定义一．选择题（共24小题）1．（2021秋•成都期中）下列结论正确的个数为①直线与曲线有公共点，则直线的倾斜角的取值范围为；②若动点满足，则点的轨迹为双曲线；③点，为椭圆的左、右焦点，且椭圆上存在点使得，则椭圆的离心率的取值范围为；④点为椭圆的右焦点，点为椭圆上任意一点，点，则的最小值为5；⑤斜率为2的直线与椭圆交于，两点，点为的中点，直线的斜率为为坐标原点），则椭圆的离心率为．A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：对于①，直线恒过定点，曲线表示圆心为原点，半径为1的上半圆，如图1，由直线经过圆心，可得；由直线和圆相切，可得，解得（负的舍去），所以的范围是，，则直线的倾斜角的取值范围为，故①正确；对于②，若动点满足，即与两点，的距离的差为2，因为，所以的轨迹为以，为焦点的双曲线的右支，故②错误；对于③，由椭圆的定义可得，又，解得，设椭圆的半焦距为，可得，即有，所以，，故③正确；对于④，设椭圆的左焦点为，如图2，由椭圆的定义可得，由在椭圆内，，当且仅当，，共线时，取得最小值5，故④正确；对于⑤，设，，，，可得，，两式相减可得，由题意可得，且，，，所以，则，故⑤正确．故选：．2．（2021春•湖北校级期中）已知是双曲线的左焦点，是右支上一点，，，当周长最小时，该三角形的面积为A． B． C． D．【解答】解：由题意，设是右焦点，则周长，，三点共线时，取等号），直线的方程为与联立可得，的纵坐标为，周长最小时，该三角形的面积为．故选：．3．（2021秋•湖州期末）已知为抛物线上一个动点，为圆，则点到点的距离与点到轴距离之和的最小值是A．4 B．3 C．2 D．1【解答】解：抛物线的焦点为，的圆心为，半径为1，根据抛物线的定义可知点到准线的距离等于点到焦点的距离，如图：故问题转化为求，，三点共线时到点的距离与点到抛物线的焦点距离之和的最小值，由于焦点到圆心的距离是，点到点的距离与点到抛物线准线的距离之和的最小值故选：．4．（2021•浙江模拟）在直角坐标系中，已知为坐标原点，，．点满足且，则A． B． C． D．【解答】解：设点，，，，，所以，，，①又，所以点的轨迹为焦点在轴上的椭圆，所以，，，，椭圆方程为，②由①②解得，则．故选：．5．（2021•东胜区校级一模）已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，若平面内点满足，则的最大值为A．7 B．6 C．5 D．4【解答】解：设，，由于在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，所以：，设，，由于平面内点满足，则，，，整理得：，，所以，当时，的最大值为5．故选：．6．（2021•江西）是双曲线的右支上一点，、分别是圆和上的点，则的最大值为A．6 B．7 C．8 D．9【解答】解：双曲线中，如图：，，，，，，，，，所以，．故选：．7．（2021秋•沙坪坝区校级期中）是双曲线的右支上一点，，分别是圆和上的点，则的最大值为A．6 B．7 C．8 D．9【解答】解：双曲线双曲线，如图：，，，，，，，和，，，，，所以，．故选：．8．（2021秋•岳麓区校级月考）已知双曲线的左右焦点分别是，，点是的右支上的一点（不是顶点），过作的角平分线的垂线，垂足是，是原点，则A．随点变化而变化 B．2 C．4 D．5【解答】解：双曲线的左右焦点分别是，，延长交于，是的角平分线，，在双曲线上，，，是的中点，是的中点，是△的中位线，，即，双曲线中，则．故选：．9．（2021•厦门一模）已知椭圆的右焦点为，是椭圆上一点，点，当的周长最大时，的面积等于A． B． C． D．【解答】解：椭圆的，，，由题意，设是左焦点，则周长，，三点共线时，且在的延长线上，取等号），直线的方程为与椭圆，联立可得，解得的纵坐标为，则周长最大时，该三角形的面积为．故选：．10．（2021秋•海曙区校级期中）已知椭圆的右焦点为，是椭圆上一点，点，，当周长最大时，直线的方程为A． B． C． D．【解答】解：椭圆方程：，，，，如图所示设椭圆的左焦点为，，则，，的周长，当且仅当三点，，共线时取等号．则直线的方程：，整理得，故选：．11．（2021•平湖市模拟）已知双曲线，是左焦点，，是右支上两个动点，则的最小值是A．4 B．6 C．8 D．16【解答】解：设双曲线的右焦点为，，，则故选：．12．（2021•浙江模拟）已知点，为椭圆上的动点，是圆上的动点，则的最大值为A． B． C．3 D．【解答】解：如图所示，由椭圆，可得：，，，．设椭圆的右焦点为，则，，当且仅当三点，，共线取等号．，故选：．13．（2021•香坊区校级二模）已知点，关于坐标原点对称，，以为圆心的圆过，两点，且与直线相切．若存在定点，使得当运动时，为定值，则点的坐标为A． B． C． D．【解答】解：线段为的一条弦，是弦的中点，圆心在线段的中垂线上，设点的坐标为，则，与直线相切，，，整理得，的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，，当为定值时，则点与点重合，即的坐标为，存在定点使得当运动时，为定值．故选：．14．（2021秋•丽水期末）已知，，点，在曲线上，若直线，的斜率分别为，，则A． B． C． D．【解答】解：因为曲线，即；点在以，，为焦点，的双曲线上，且在右支上，对应的曲线方程为：，；．故选：．15．（2021秋•温州期末）已知动点满足为大于零的常数），则动点的轨迹是A．线段 B．圆 C．椭圆 D．双曲线【解答】解：因为为大于零的常数，所以，当且仅当时取等号，而方程表示动点到点，的距离和为，因为动点到点，的距离和大于，所以动点的轨迹是椭圆．故选：．16．（2021秋•奉新县校级月考）已知动点满足，则点的轨迹是A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线【解答】解：动点满足，可得：，就是动点到定点的距离与到定直线的距离的比是常数，满足双曲线的第二定义，所求轨迹是双曲线．故选：．17．（2021秋•北林区期中）已知动点满足，则点的轨迹是A．两条相交直线 B．抛物线 C．双曲线 D．椭圆【解答】解：令，则其几何意义为点到的距离，令，其几何意义为点到直线的距离，依题意二者相等，即点到点的距离与到定直线的距离相等，进而可推断出的轨迹为抛物线．故选：．18．（2021秋•潮州期末）的顶点，，的内切圆圆心在直线上，则顶点的轨迹方程是A． B． C． D．【解答】解：如图设与圆的切点分别为、、，则有，，，所以．根据双曲线定义，所求轨迹是以为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为．故选：．19．（2021秋•吉林期末）点与定点的距离和它到定直线的距离之比是常数，则的轨迹方程为A． B． C． D．【解答】解：点与定点的距离和它到定直线的距离之比是常数，由椭圆的第二定义得的轨迹是焦点在轴上的椭圆，且，解得，，，的轨迹方程为．故选：．20．（2021秋•宿州期末）的两个顶点为，，周长为16，则顶点的轨迹方程为A． B． C． D．【解答】解：由题意可得，故顶点的轨迹是以、为焦点的椭圆，除去与轴的交点．，，故顶点的轨迹方程为：，，故选：．21．（2015秋•桂林期末）设是圆上一动点，点的坐标为，若线段的垂直平分线交直线于点，则点的轨迹方程为A． B． C． D．【解答】解：是圆上一动点，点的坐标为，线段的垂直平分线交直线于点，，，是圆上一动点，点的坐标为，，，，，，点的轨迹为双曲线，，，，点的轨迹方程为．故选：．22．（2021秋•诸暨市校级期中）已知点和，是上的动点，直线与线段的垂直平分线交于点，则点所满足的轨迹方程为A． B． C． D．【解答】解：点在线段的垂直平分线上，，．点的轨迹是以、为焦点的双曲线，且，，，，其轨迹方程是．故选：．23．（2015春•天水校级月考）已知，是的两个顶点，且，则顶点的轨迹方程为A． B． C． D．【解答】解：，由正弦定理，得（定值），双曲线的焦距，，即，可得的轨迹是以为焦点的双曲线左支，可得双曲线的方程为顶点的轨迹方程为故选：．24．如图，设抛物线的焦点为，不经过焦点的直线上有三个不同的点，，，其中点，在抛物线上，点在轴上，记的面积为，的面积为，则等于是A． B． C． D．【解答】解：由题意，抛物线的准线方程为．设，，，由抛物线的定义知，，则，故选：．二．填空题（共11小题）25．（2021秋•万州区校级期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为．【解答】解：如图所示，椭圆，又为椭圆上任意一点，为圆上任意一点，，（当且仅当，，共线时取等号），，当且仅当，，，共线时，等号成立，，，，的最小值为．故答案为：．26．（2021秋•邢台月考）已知点是椭圆的一个焦点，点为椭圆上任意一点，点，则取最大值时，直线的斜率为1．【解答】解：如图所示，设椭圆的右焦点为．由题意可得：，，．由椭圆的定义可得：，则．当且仅当三点，，共线时取等号．．故答案为：1．27．（2021秋•北碚区校级月考）已知椭圆，为左焦点，椭圆上的点到左焦点的距离最大值为，、为左、右顶点，是椭圆上任意一点，直线和满足，过作圆的两条切线，切点分别为、，则的最小值为．【解答】解：，，设，，，椭圆上的点到左焦点的距离最大值为，，又，，，，设，则，又，，故当取得最大值时，取得最小值，又，当时，取得最大值16，的最小值．故答案为：．28．（2021•杭州模拟）已知双曲线的左右焦点分别为，，定点，点在双曲线的右支上运动，则的最小值等于11．【解答】解：在双曲线的右支上，，，又，双曲线右焦点，（当且仅当、、三点共线时取“”．故答案为：11．29．（2021春•铅山县校级月考）椭圆的左焦点为，直线与椭圆相交于点，，当的周长最大时，的面积是．【解答】解：设右焦点为，连接，，，中，两边之和大于第三边）．，当直线过右焦点时，的周长最大．由椭圆的定义可得：的周长的最大值．．把代入椭圆标准方程可得：，解得．此时的面积．故答案为：．30．（2017•浙江）已知向量、满足，，则的最小值是4，最大值是．【解答】解：记，则，如图，由余弦定理可得：，，令，，则、，其图象为一段圆弧，如图，令，则，则直线过、时最小为，当直线与圆弧相切时最大，由平面几何知识易知即为原点到切线的距离的倍，也就是圆弧所在圆的半径的倍，所以．综上所述，的最小值是4，最大值是．故答案为：4、．31．（2021•浙江二模）设是椭圆上的右焦点，是椭圆上的动点，是直线的动点，则的最小值为．【解答】解：设椭圆的左焦点为，根据椭圆的定义，，，要想使得最小，只需的值为点到直线的距离，，的最小值为，故答案为：．32．（2021•嘉兴模拟）已知抛物线的焦点为，若点，是该抛物线上的点，，线段的中点在抛物线的准线上的射影为，则的最大值为．【解答】解：设，，、在准线上的射影点分别为、，连接、由抛物线定义，得且在梯形中根据中位线定理，得．由勾股定理得，配方得，又，得到．所以，即的最大值为．故答案为：33．（2021秋•诸暨市期末）已知是平面向量，且是互相垂直的单位向量，若对任意均有的最小值为，则的最小值为3．【解答】解：因为对任意均有的最小值为，所以，整理的，所以△，即，不妨设为轴方向向量，为轴方向向量，所以，对应点的坐标为，所以，，，，，，因为，为抛物线向上平移个单位，所以焦点为，准线为，所以到的距离与到的距离相同，所以，，，，，，当且仅当，时等号成立，此时，所以的最小值为3．故答案为：3．34．（2021•西湖区校级模拟）已知，为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上移动时，为△的内心，则的取值范围为坐标原点）为，．【解答】解：椭圆的，，，如图：由椭圆的对称性可知在椭圆的短轴端点时，取得最小值，此时是等腰直角三角形的内心，的方程为：．，解得；当运动到长轴的端点时，取得最大值，与焦点坐标重合，可得的最大值为1，此时不是三角形，的取值范围：，．故答案为：，．35．（2021•浙江模拟）已知，为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上移动时，△的内心的轨迹方程为．【解答】解：椭圆的，，，延长交轴于，设，，，，连接，，设，，则，，，由内角平分线定理可得，，可得，，由椭圆的焦半径公式可得：，即，可得，，代入椭圆可得，即有，故答案为：．三．解答题（共1小题）36．（2021•崇明县二模）已知椭圆的左、右