新高考2023届高考数学二轮复习专题突破精练第50讲排列组合教师版

第50讲排列组合一．选择题（共6小题）1．（2021春•夏津县校级期中）有5个不同的小球，装入4个不同的盒内，每盒至少装一个球，共有不同的装法．A．240 B．120 C．600 D．360【解答】解：第一步从5个球中选出2个组成复合元共有种方法．第二步，再把4个元素装入4个不同的盒内有种方法，根据分步计数原理装球的方法共有种方法．故选：．2．（2021•铁东区校级三模）已知5辆不同的白颜色和3辆不同的红颜色汽车停成一排，则白颜色汽车至少2辆停在一起且红颜色的汽车互不相邻的停放方法有A．1880 B．1440 C．720 D．256【解答】解：由题意可知，白颜色汽车按3，2分为2组，先从5辆白色汽车选3辆全排列共有种，再将剩余的2辆白色汽车全排列共有种，再将这两个整体全排列，共有种，排完后有3个空，3辆不同的红颜色汽车插空共有种，由分步计数原理得共有有种，故选：．3．（2021春•杭州月考）有来自甲乙丙三个班级的5位同学站成一排照相，其中甲班2人，乙班2人，丙班1人，则仅有一个班级的同学相邻的站法种数有A．96 B．48 C．36 D．24【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：①，甲班的2名同学相邻，先将这2名同学看成一个整体，考虑2人之间的顺序，有种情况，将这个整体与丙班的1人全排列，有种情况，排好后有3个空位可用，在3个空位中任选2个，安排乙班的2人，有种情况，则甲班的2名同学相邻的站法有种；②，乙班的2名同学相邻，同理有24种站法；则仅有一个班同学有的相邻站法有48种；故选：．4．（2021春•张家港市期中）5名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有A．60种 B．90种 C．150种 D．240种【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①将5名同学分为3组，若分为1、2、2的三组，有种分组方法，若分为1、1、3的三组，有种分组方法，则有种分组方法，②将分好的三组安排到3个小区，有种情况，则有种不同的安排方法，故选：．5．（2021•西湖区校级模拟）将8本不同的书全部分发给甲、乙、丙三名同学，每名同学至少分到一本，若三名同学所得书的数量各不相同，且甲同学分到的书比乙同学多，则不同的分配方法种数为A．1344 B．1638 C．1920 D．2486【解答】解：8本不同的书全部分发给甲、乙、丙三名同学，每名同学至少分到一本，若三名同学所得书的数量各不相同，则有，2，，，3，两种分组的方法，由于甲同学分到的书比乙同学多，当乙分的1本时，此时的种数为当丙分的1本时，此时的种数为，故不同的分配方法种数为种，故选：．6．（2021•镇海区校级模拟）在新冠病毒疫情爆发期间，口罩成为了个人的必需品．已知某药店有4种不同类型的口罩，，，，其中型口罩仅剩1只（其余3种库存足够）．今甲、乙等5人先后在该药店各购买了1只口罩，统计发现他们恰好购买了3种不同类型的口罩，则所有可能的购买方式共有A．330种 B．345种 C．360种 D．375种【解答】解：根据题意可能的购买方式有如下两种：①5人中有人购买型口罩，有种购买方式；②5人中没有人购买型口罩，有种购买方式；综合①②知共有种购买方式．故选：．二．填空题（共24小题）7．（2021春•湖南月考）从1，3，5，7中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成396个没有重复数字的四位偶数．（用数字作答）【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：①从0，2，4，6中任取2个数字中没有0，有个四位偶数；②从0，2，4，6中任取2个数字中含有0，有个四位偶数；则有个四位偶数；故答案为：396．8．（2021•西湖区校级模拟）某公司有9个连在一起的停车位，现有5辆不同型号的轿车需停放，若停放后恰有3个空车位连在一起，则不同的停放方法有3600种．【解答】解：根据题意，某公司有9个连在一起的停车位，现有5辆不同型号的轿车需停放，则有4个空位：分2步进行分析：①，5辆不同型号的车需停放，共有种方法，②，要求剩余的4个车位中恰有3个连在一起，利用插空法，有种方法，则不同的停放方法有种；故答案为：3600．9．7人排队，其中甲、乙、丙3人顺序一定，共有840不同的排法．【解答】解：根据题意，假设有7个位置，对应7个人，先在7个位置中任取4个，安排除甲、乙、丙之外的4人，有种情况，由于甲、乙、丙3人顺序一定，在剩余3个位置安排3人即可，有1种情况，则共有种不同的排法；故答案为：840．10．（2021春•徐汇区校级期末）7个人站成一排，其中甲一定站在最左边，乙和丙必须相邻，一共有240种不同的排法．【解答】解：由题意知本题是一个排列组合及简单计数问题，甲要站在最左边，剩下6个位置，6个人排列，乙和丙必须相邻，把乙和丙看成一个元素，同另外4个人排列，乙和丙之间也有一个排列，根据乘法原理知共有种结果，故答案为：24011．把6名学生分到一个工厂的三个车间实习，每个车间2人，若甲必须分到一车间，乙和并不能分到三车间，则不同的分法有9种．【解答】解：先安排进二车间实习的人，有种方法，再安排进一车间的人有种方法，余下的2人进三车间．所以共有种分法．故答案为：912．（2021•浙江二模）给如图染色，满足条件每个小方格染一种颜色，有公共边的小方格颜色不能相同，则用4种颜色染色的方案有252种，用5种颜色染色的方案共有种．【解答】解：（1）根据题意，若用4种颜色染色时，先对、区域染色有种，再对染色：①当同时，有种；②当同时，有种；③当不同、时，有种；综合①②③共有种．（2）根据题意，若用5种颜色染色时，先对、区域染色有种，再对染色：①当同时，有种；②当同时，有种；③当不同、时，有种；综合①②③，共有种．故填：252，1040．13．从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色，将一个正方体的六个面染色，每个面恰染一种颜色，每两个具有公共棱的面染成不同的颜色．则不同的染色方法共有230种．（注：如果我们对两个相同的正方体染色后，可以通过适当的翻转，使得两个正方体的上、下、左、右、前、后六个对应面的染色都相同，那么，我们就说这两个正方体的染色方案相同．【解答】解：由题意，至少3种颜色：6种颜色全用：上面固定用某色，下面可有5种选择，其余4面有种方法，共计30种方法；用5种颜色：上下用同色：6种方法，选4色：；种方法；．用4种颜色：种方法．用3种颜色：种方法．共有230种方法故答案为：230．14．（2021•宁波期末）如图，对“田”字型的四个格子进行染色．每个格子均可从红、黄、蓝三种颜色中选一种，每个格子只染一种颜色，且相邻的格子不能都染红色，则满足要求的染色方法有56种．【解答】解：根据题意，分3种情况讨论：①，若4个格子中没有一格染红色，每格都染黄或蓝，有种不同染法：②，若4个格子中恰有一格染红色，4格中选一格染红，其余3格染黄或蓝，有种不同染法；③，若4个格子中恰有两格染红色，有2种情况，其余2格染黄或蓝，有种不同所以不同染法．共有56种染法，故答案为：56．15．（2021春•孝南区校级期中）正五边形中，若把顶点、、、、染上红、黄、绿、黑四种颜色中的一种，使得相邻顶点所染颜色不相同，则不同的染色方法共有276种．【解答】解：由题意知本题需要分类来解答，首先选取一种颜色，有4种情况．如果的两个相邻点颜色相同，3种情况；这时最后两个边有种情况；如果的两个相邻点颜色不同，种情况；这时最后两个边有种情况．方法共有种．故答案为：27616．从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数中取出3个数，使其和为不小于10的偶数，不同的取法有51种．【解答】解：从这10个数中取出3个偶数的方法有种，取出1个偶数，2个奇数的方法有种，而取出3个数的和为小于10的偶数的方法有，2，，，2，，，1，，，1，，，1，，，3，，，1，，，1，，，1，，共有9种，故不同的取法有种故答案为：5117．（2021春•丽水期末）某城市街区如图所示，其中实线表示马路，如果只能在马路上行走，则从点到点的最短路径的走法有7种．【解答】解：要从点到点，至少需要走2条向下的路和3条向右的路，若下图，我们只需要从这5步路中选出其中2步走向下的路即可走到点，故有条最短路径，要从点到点，至少需要走1条向下的路和2条向右的路，只需要从这3步路中选出其中1步走向下的路即可走到点，故有条最短路径故从点到点的最短路径的走法有种，故答案为：718．（2021春•田家庵区校级期中）来自甲、乙、丙三个班的5名同学站成一排照相，其中甲班有2人，乙班有2人，丙班有1人，仅有一个班同学有的相邻站法有48种．【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：①，甲班的2名同学相邻，先将这2名同学看成一个整体，考虑2人之间的顺序，有种情况，将这个整体与丙班的1人全排列，有种情况，排好后有3个空位可用，在3个空位中任选2个，安排乙班的2人，有种情况，则甲班的2名同学相邻的站法有种；②，乙班的2名同学相邻，同理有24种站法；则仅有一个班同学有的相邻站法有48种；故答案为：48．19．（2021•浙江期中）高三年级有3名男生和3名女生共六名学生排成一排照相，要求男生互不相邻，女生也互不相邻，且男生甲和女生乙必须相邻，则这样的不同排法有40种（用数字作答）．【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：①，六名学生按男女男女男女排列，若男生甲在最左边的位置时，女生乙只能在其右侧，有1种情况，剩下的2名男生和女生都有种情况，此时有种安排方法，若男生甲不在最左边的位置时，女生乙可以在其左侧与右侧，有2种情况，剩下的2名男生和女生都有种情况，此时有种安排方法；则此时有种安排方法；②，六名学生按女男女男女男排列，同理①，也有20种安排方法，则符合条件的安排方法有种；故答案为：40．20．（2021•浙江模拟）将，，，，，六个字母排成一排，其中，相邻，且，在，的两侧，则不同的排法共有80种．（用数字作答）【解答】解：根据题意，分3步进行分析：①，相邻，将看成一个整体，考虑其间的顺序，有2种情况，②将，安排在，的两侧，有2种情况，③四人排好后，有4个空位可用，在4个空位中任选一个，安排，有4种情况，五人排好后，有5个空位可用，在5个空位中任选一个，安排，有5种情况，则有种情况，故答案为：8021．（2021•椒江区校级模拟）某学校将一块长方形空地分成如图所示的八块，计划在这八块空地上种花．已知空地1，2上已经种了花，其余空地需从，，，，这5种花中选择若干种进行种植，要求每块空地只种一种花，且有公共顶点的两块空地种的花不能相同，则不同的种植方案有1080种．【解答】解：若选用4种花，则不同的种植方案有种，若选用5种花，则不同的种植方案有种，故不同的种植方案共有种，故答案为：1080．22．（2021•温州模拟）有10个相同的小球，现全部分给甲、乙、丙3人，若甲至少得1球，乙至少得2球，丙至少得3球，则他们所得的球数的不同情况有15种．【解答】解：先将6个球按甲1个，乙2个，丙3个进行分派；剩余的4个球随机的分派给三个人，每个人可分可不分球；相当于四个完全一样的东西形成的六个空中插入两个隔板；即有种；故他们所得的球数的不同情况有15种．故答案为：15．23．（2012春•南岗区校级月考）5本不同的书，分给三名同学，每人至少一本，则不同的分配方法种数为150．【解答】解：将5本不同的书分成满足题意的3组有1，1，3与2，2，1两种，分成1、1、3时，有种分法，分成2、2、1时，有种分法，所以共有种方案，故答案为：150．24．（2021春•渝中区校级期中）方程的非负整数解共有78组．【解答】解：根据题意，对于方程，将11看成11个“1”，11个“1”中间有12个空，从12个空中选两个空进行插板，或从12个空中选1个空插2个板，即可以将11个“1”分为三组，每一组对应“1”的数目，依次为、、的数值，则有种分组方法，方程的非负整数解有78组，故选：78．25．（2021春•河西区期中）现用5种颜色，给图中的5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法共有420．【解答】解：可以同色的区域为，，若都不同色，则有，若只有同色，则有，若只有同色，则有，若，两个同色，则有，共有，故答案为：420．26．（2004•浦东新区校级模拟）将红、黄、绿三种不同的颜色均涂入图中五个区域中，每个区域涂一种颜色，且相邻的区域不能涂同一种颜色，不同的涂色方法共有42种．（三种颜色必须用全，以数字作答）【解答】解：由题意，不妨从左至右按编号，由于三种颜色必须用全，第一步涂一号有三种涂法，第二步涂二号有二种涂法第三步涂三号时可分为两类研究，若三号与一号同则后两框必一框涂色与一号二号不同，与若三号与一号不同，由于三种颜色已全部用上，故后两框涂色只需要满足同色不相邻即可故总的涂色方法为种故答案为4227．（2017春•和平区期末）一名同学想要报考某大学，他必须从该校的7个不同专业中选出5个，并按第一志愿、第二志愿、第五志愿的顺序填写志愿表．若专业不能作为第一、第二志愿，则他共有1800种不同的填法（用数字作答）．【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①、由于专业不能作为第一、第二志愿，需要在除之外的6个专业中，任选2个，作为第一、二志愿，有种填法，②、第一二志愿填好后，在剩下的5个专业中任选3个，作为第三四五志愿，有种填法，则该学生有种不同的填法；故答案为：1800．28．（2021•西湖区校级模拟）杭州亚运会启动志愿者招募工作，甲、乙等6人报名参加了，，三个项目的志愿者工作，因工作需要，每个项目仅需1名志愿者．若甲不能参加，项目，乙不能参加，项目，那么共有52种不同的选拔志愿者的方案．（用数字作答）【解答】解：根据题意，分4种情况讨论：①甲乙都不参加志愿活动，在剩下4人中任选3人参加即可，有种选拔方法，②甲参加乙不参加志愿活动，甲只能参加项目，在剩下4人中任选2人参加、项目即可，有种选拔方法，③乙参加甲不参加志愿活动，乙只能参加项目，在剩下4人中任选2人参加、项目即可，有种选拔方法，④甲乙都参加志愿活动，甲只能参加项目，乙只能参加项目，在剩下4人中任选1人参加项目，有种选拔方法，则有种选拔方法；故答案为：5229．（2021•海淀区校级三模）从4男2女共6名学生中选出队长1人、副队长1人、普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有168种不同的选法．（用数字作答）【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①，先从4男2女共6名学生选出4人，要求至少有1名女生，有种情况，②，在选出的4人中任选1人，作为队长，剩余3人中选出1人作为副队长，剩下2人作为队员，有种情况，则有种不同的选法；故答案为：168．30．某校选定甲、乙、丙、丁、戊共5名教师去3个边远地区支教（每地区至少1人），其中甲和乙一定不同地，甲和丙必须同地，则不同的选派方案共有30种．【解答】解：因为甲和丙同地，甲和乙不同地，所以有2、2、1和3、1、1两种分配方案，①2、2、1方案：甲、丙为一组，从余下3人选出2人组成一组，然后排列：共有：种；②3、1、1方案：在丁、戊中选出1人，与甲丙组成一组，然后排列：共有：种；所以，选派方案共有种．三．解答题（共10小题）31．现有8个人男3女）站成一排．（1）女生必须排在一起，共有多少种不同的排法？（2）其中甲必须站在排头有多少种不同排法？（3）其中甲、乙两人不能排在两端有多少种不同的排法？（4）其中甲、乙两人不相邻有多少种不同的排法？（5）其中甲在乙的左边有多少种不同的排法？（6）其中甲乙丙不能彼此相邻，有多少种不同排法？（7）男生在一起，女生也在一起，有多少种不同排法？（8）第3和第6个排男生，有多少种不同排法？（9）甲乙不能排在前3位，有多少种不同排法？女生两旁必须有男生，有多少种不同排法？【解答】解：（1）根据题意，先将3名女生看成一个整体，考虑三人之间的顺序，有种情况，将这个整体与5名男生全排列，有种情况，则女生必须排在一起的排法有种；（2）根据题意，甲必须站在排头，有1种情况，将剩下的7人全排列，有种情况，则甲必须站在排头有种排法；（3）根据题意，将甲乙两人安排在中间6个位置，有种情况，将剩下的6人全排列，有种情况，则甲、乙两人不能排在两端有种排法；（4）根据题意，先将出甲乙之外的6人全排列，有种情况，排好后有7个空位，则7个空位中，任选2个，安排甲乙二人，有种情况，则甲、乙两人不相邻有种排法；（5）根据题意，将8人全排列，有种情况，其中甲在乙的左边与甲在乙的右边的情况数目相同，则甲在乙的左边有种不同的排法；（6）根据题意，先将出甲乙丙之外的5人全排列，有种情况，排好后有6个空位，则6个空位中，任选3个，安排甲乙丙三人，有种情况，其中甲乙丙不能彼此相邻有种不同排法；（7）根据题意，先将3名女生看成一个整体，考虑三人之间的顺序，有种情况，再将5名男生看成一个整体，考虑5人之间的顺序，有种情况，将男生、女生整体全排列，有种情况，则男生在一起，女生也在一起，有种不同排法；（8）根据题意，在5个男生中任选2个，安排在第3和第6个位置，有种情况，将剩下的6人全排列，有种情况，则第3和第6个排男生，有种不同排法；（9）根据题意，将甲乙两人安排在后面的5个位置，有种情况，将剩下的6人全排列，有种情况，甲乙不能排在前3位，有种不同排法；根据题意，将5名男生全排列，有种情况，排好后除去2端有4个空位可选，在4个空位中任选3个，安排3名女生，有种情况，则女生两旁必须有男生，有种不同排法．32．把6名实习生分配到7个车间实习，共有多少种不同的分法？【解答】解：6名实习生分配到7个车间实习，每名实习生有7种分配方法，共有种不同的分法．33．8人排成两排，每排4人，下列各有多少种不同的排法？（1）甲、乙在前排两端，丙在后排左端；（2）甲、乙在前排，丙在后排．【解答】解：（1）先排前排，除甲乙丙外选2人排在甲乙之间，再排后排，丙在后排左端，把剩下的3人全排列，故有种；（2）先排前排，除甲乙丙外选2人和甲乙全排列，再排后排，丙和剩下的3人全排列，故有种；34．设有99本不同的书（用排列数、组合数作答）．（1）分给甲、乙、丙3人，甲得96本，乙得2本，丙得1本，共有多少种不同的分法？（2）分给甲、乙、丙3人，甲得93本，乙、丙各得3本，共有多少种不同的分法？（3）平均分给甲、乙、丙3人，共有多少种不同的分法？（4）分给甲、乙、丙3人，一人得96本，一人得2本，一人得1本，共有多少种不同的分法？（5）分给甲、乙、丙3人，一人得93本，另两人各得3本，共有多少种不同的分法？（6）分成3份，一份96本，一份2本，一份1本，共有多少种不同的分法？（7）平均分成3份，共有多少种不同的分法？（8）分成3份，一份93本，另两份各3本，共有多少种不同的分法？【解答】解：（1）甲得96本，有方法种；乙得2本，有方法种；丙得1本．有方法1种，不同的分法共有（种；（2）与（1）类似，不同的分法共有（种；（3）不同的分法共有种；（4）先把99本不同的书分成3份，一份96本，一份2本，一份1本；再将甲、乙、丙3人全排列，这是因为3人中谁都有得到96本、2本、1本的可能，不同的分法共有（种；（5）99本不同的书，分给甲、乙、丙3人，一人得93本，另两人各得3本，3人中，谁都有得到93本的可能，不同的分法共有（种．（6）99本不同的书，分成3份，一份96本，一份2本，一份1本，3份的数量互不相同，不同的分法共有（种；（7）99本不同的书，平均分成3份，每份33本．本问题是典型的平均分组问题，要排除重复，不同的分法共有（种；（8）99本不同的书，分成3份，一份93本，另两份各3本，两份3本的有重复，不同的分法共有（种．35．本4本不同的书，下列情况各有多少种不同的分法？（1）分成2堆，一堆1本，一堆3本；（2）分成2堆，每堆2本．【解答】解：（1）由题意可得，；（2）由题意可得，．36．（1）4本不同的书平均分成2堆，有多少种不同的分法？平均分给2个人有多少种不同的分法？（2）4本不同的书分成2堆，每堆至少1本，有多少种不同的分法？分给2个人，每人至少1本，有多少种不同的分法？【解答】解：4本不同的书平均分成2堆，有（种分法；4本不同的书平均分给2个人，先分组有（种分法，将分好的2组全排列，对应2个人，有（种情况，则有（种不同的分法．（2）4本不同的书分成2堆，每堆至少1本，有2种情况：1本和3本，各2本，因此共有（种分法，分配给2个人，每人至少1本，有（种分法．37．有12本不同的书．（1）分给甲、乙、丙、丁四人，每人3本，有几种分法？（2）若4堆依次为1本，3本，4本，4本，有几种分法？（3