2021届北师大版九年级数学下册 第 3 章《圆》经典题型单元测试题【含答案】

2020-2021年北师大版九年级数学下册第3章《圆》

经典题型单元测试题

一.选择题（每小题3分，共10小题）

1.下列结论中正确的是（）

A.长度相等的两条弧相等B.相等的弦所对的弧相等

C.半圆是弧D.平分弦的直径垂直于弦

C

【分析】

利用等弧的定义、确定圆的条件、圆周角定理及垂径定理的知识分别判断后即可确定正确的选项.

【详解】解A,等弧是同圆或等圆中，能互相重合的两段弧，它们不仅长度相等，而且度数相等，故A错

误；

B,在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧对应相等，故B错误；

C,半圆是弧，故C正确；

力,平分弦（不是直径）直径垂直于弦，要强调被平分的弦不是直径.故。错误；

故选C.

本题主要考查垂径定理，圆的认识，熟悉掌握是关键.

2.00的半径为6,一条弦长6百，以3为半径的同心圆与这条弦的关系是（）

A.相切B.相交C.相离D.相切或相交

A

【分析】

此题首先根据垂径定理和勾股定理求得圆心到弦的距离，再进一步根据直线和圆的位置关系与数量之间的

联系进行判断.若d<r,则直线与圆相交；若（1文，则直线于圆相切；若d>r,则直线与圆相离.

O

【详解】

'B

如图，0A=0C=0B=6,0C1,AB,交48于点D.

6百,由垂径定理知，点。是48的中点,A£>=3石，

•••OD=S解-AD?=3,

二以3为半径的同心圆与AB弦的关系为相切.

故选A.

本题主要考查直线与圆的位置关系，勾股定理，垂径定理，解决此题的关键是综合运用垂径定理和勾股定理

计算弦的弦心距.

3.如图，AB是。。的直径，AB=10,P是半径0A上的一动点，PCLAB交。0于点C,在半径0B上取点

Q,使得0Q=CP,DQ_LAB交（DO于点D,点C,D位于AB两侧，连结CD交AB于点E,点P从点A出

发沿A0向终点0运动，在整个运动过程中，ACEP与ADEQ的面积和的变化情况是（）

A.一直减小B.一直不变

C.先变大后变小D.先变小后变大

B

【分析】

连接OC,OD,PD,CQ.设PC=x,OP=y.延长CP与圆交于点F,证/FOD为直角，得至Ij/PCE=45。，可得

△CEP与ADEQ的面积和为S=（x2+y2）+2=0D2+2=12.5,即可判断，

【详解】解：连接OC,OD,PD,CQ.设PC=x,OP=y.

延长CP与圆交于点F,

VPC±AB,QD1AB,

ZCPO=ZOQD=90°,

VPC=OQ,OC=OD,

二RtAOPC^RtADQO,

.".RtAOPC^RtADQO,

・•・ZFOD=90°,

・・・ZPCE=45°,

.\OP=DQ=y,

.二△CEP与^DEQ的面积和为S=(x2+y2);2=0D2-2=12.5.

故选B.

本题考查勾股定理、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线,

构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题.

4.已如aABC的面积18cm2,其周长为24cm,则AABC内切圆半径为（）

33

A.1cmB.—cmC.2cmD.—cm

24

B

【分析】

利用圆的内切圆的性质，以及三角形的面积公式:三角形的面积=Lx三角形的周长X内切圆的半径即可求解.

2

【详解】解：设内切圆的半径是r,

则1x24r=18,

2

解得:r=1.5.

故选B.

本题考查了三角形的面积公式以及三角形的内切圆，理解三角形的面积,X三角形的周长X内切圆的半径是

2

关键.

5.如图NBAC=60。，半径长1的。O与NBAC的两边相切，P为。0上一动点，以P为圆心，PA长为半径

的。P交射线AB、AC于D、E两点，连接DE,则线段DE长度的最大值为（）

3g

A.3B.6rD.3A/3

2

D

分析：连接AO并延长，与圆。交于P点，当AF垂直于时，线段OE长最大，设圆。与A8相切于点

M,连接OM,PD,由对称性得到4k为角平分线，得到/耐力为30度，根据切线的性质得到OM垂直于

AD,在直角三角形40M中，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半求出AO的长，由AO+OP求出AP

的长，即为圆尸的半径，由三角形AE。为等边三角形，得到。P为角平分线，在直角三角形PED中，利用

30度所对的直角边等于斜边的一半求出PF的长，再利用勾股定理求出FD的长，由OE=2F£>求出OE的长，

即为。E的最大值.

详解：连接AO并延长，与ED交于F点,与圆。交于P点，此时线段最大，连接OM,PD,可

得下为ED的中点.

：NB4C=60。，AE=A£>,为等边三角形，...AF为角平分线，即/硼0=30。.在R2AOM

3

中，OM=1,ZOAM=30°,：.OA^2,：.PD=PA^AO+OP=3.在Rt/kPD/中，ZFDP=30°,PD=3,：.PF=-,

2

根据勾月殳定理得：FD=JPD2_PF?=浮，则OE=2FZ>3百.

故选D.

点睛：本题考查了切线的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，含30度直角三角形的性质,

熟练掌握切线的性质是解答本题的关键.

6.如图，aABC内接于。0,若NA=a,则NOBC等于（)

A.90°-2aB.90°-aC.2aD.45°+a

B

【分析】

首先求出NBOC=2a,再根据等腰三角形的性质即可解决问题.

【详解】连接OC.

VZBOC=2ZBAC,NBAC=a,

,ZBOC=2a,

VOB=OC,

.*.ZOBC=-(180°-2a)=90°-a.

2

故选B.

本题考查圆周角定理、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

7.如图,MN是。0的直径，点A是半圆上的三等分点，点B是劣弧AN的中点，点P是直径MN上一动点.若

MN=20,AB=1,贝/PAB周长的最小值是（）

A.272+1B.V2+1C.2D.3

D

【分析】

作点A关于MN的对称点A-连接AB,交MN于点P,连接OA、OA,OB,PA,AA\所以点A与A，

关于MN对称，点A是半圆上的一个三等分点，所以NAQN=/AON=60。，PA=PA\OA=OA，=0,因为

点B是弧AN的中点，所以NBON=30。，NA，OB=NA，ON+NBON=90。，再由勾股定理求出A，B=2,最后即

可求解.

作点A关于MN对称点A，，连接AB,交MN于点P,连接OA，，OA,OB,PA,AA\

•.•点A与A，关于MN对称，点A是半圆上的一个三等分点，

7.ZA,ON=ZAON=60°,PA=PA',

•点B是弧AN的中点，

:.NBON=30。，

，ZA,OB=ZA,ON+ZBON=90°,

又•.•OA=OA，=0,

.*.A,B=2.

PA+PB=PA'+PB=A'B=2.

AAPAB周长的最小值=PA+PB+AB=2+1=3

故选D.

本题主要考查对轴对称，勾股定理，圆心角，圆周角，弧和弦等知识点，熟悉掌握是关键.

8.如图，AB是。D的直径，AD切。，D于点A,EC=CB.则下列结论：

©BA1DA；②OC〃AE；(§)ZC0E=2ZCAE；®OD1AC.一定正确的个数有()

D

A.4个B.3个C.2个D.1个

B

【分析】

①根据切线的性质得出AD1AB；

②由弦相等可知所对的弧相等，则=所以/COB=/EAB,OC〃AE；

2

③在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍；

④因为E不是弧AC的中点，所以0D与AC不垂直.

【详解】解：①TAB是。的直径，AO切。于点A,

J.ADLAB-,

故①正确；

②•：EC=CB,

：•EC=CB，

：.EB=-CB,

2

二NCOB=NEAB,

：.OC//AE；

故②正确；

③是圆心，

NC0E=2NCAE；

故③正确；

④•.•点E不一定是4c的中点，

.♦.0E与AC不一定垂直，

故④不正确；

正确的有①②③，

故选B.

本题主要考查切线的性质，垂径定理，圆周角定理，灵活运用是关键.

9.已知正方形的边长是10厘米，则阴影部分的面积为（）

A.257r-50B.50n-50C.25n-25D.50兀-25

A

【分析】

阴影面积=四分之一圆面积-两个等腰三角形，即可求解.

【详解】

90万•IO?

—2x39=25万-50.

3602

故选A.

本题主要考查阴影面积的计算，寻找出阴影与空白之间的关键是关键.

10.如图，AB是OO的直径，AB=6,点M在。。上，NMBA=20。，N是上〃的中点，P是直径AB上的一

动点，若AN=1,则△PMN周长的最小值为（）

A/

A.3B.4C.5D.6

B

【分析】

作N关于AB的对称点N\由两点之间线段最短可知MN，与AB的交点P，即为APMN周长的最小时的点,

根据N是弧MB的中点可知NA=NNOB=/MON=20。，故可得出/MON，=60。，故△MON，为等边三角形,

由此可得出结论.

过N作NN」AB,交AB于G交O于N1连接MN，交AB于P；连接NN，,ON，,ON,MNPN,

.\NG=N,G,

，N、N，关于AB对称，

.,.MN，与AB的交点「即为APMN周长的最小时的点，

：N是弧MB的中点，

ZA=ZNOB=ZMON=20°,

:.NMON'=60°,

.•.△MON，为等边三角形，

AMN,=OM=-AB=3,

2

.♦.△PMN周长的最小值为3+1=4.

故答案选：B.

本题考查了轴对称-最短路线问题与圆心角、弧、弦的关系以及圆周角定理，解题的关键是熟练的掌握轴对

称-最短路线问题与圆心角、弧、弦的关系以及圆周角定理.

二.填空题(每小题3分，共6小题)

11.如图，在。O中，直径AB,弦CD于E,若EB=lcm,CD=4cm,则弦心距OE的长是cm.

试题分析：AB为。。的直径，AB±CD,CE=DE=-CD=-x4=2(cm).

22

如图，连接0C,设。。的半径为xcm,则OC=xcm,OE=OB-BE=x-l(cm),

在RtAOCE中，OC2=OE2+CE2,x2=(x-1)2+22,解得：x=-

2

3

OE=y(cm).

考点：1.垂径定理；2.勾股定理.

12.点A、B在。。上，若NAOB=40°,贝!|NOAB=

70°.

【分析】

如图，连接AB,根据圆的半径相等得^AOB为等腰三角形，又因为NAOB=40。，根据三角形的内角和定理

解题即可.

【详解】解：如图，连接AB,

1800-40°

,ZOAB=ZOBA=---------------=70°.

2

故答案为70。.

本题考查了三角形内角和定理与圆的性质，解题的关键是熟练的掌握三角形内角和定理与圆的性质.

13.如图所示，半圆0的直径AB=4,以点B为圆心，2目为半径作弧，交半圆0于点C,交直径AB于点D,

则图中阴影部分的面积是.

解:连接OC,CB,过。作OELBC^E,：.BE=-BC=-x2y[3=Jj-"."OB=-AB=2,：.OE=\,.'.ZB=30°,

222

NCOA-60°,S阴弟=S扇形A"—S°oc=S扇形AOC一（S扇形&BC-）

=如g小c®一L2A1）=与百）=2.故答案2.

3603602333

ADO

14.如图，在。O中，AB为直径，NACB的平分线交。0于D,AB=6,贝ijBD=

。B

3vL

【分析】

由角平分线的性质得到圆周角/ACD=NBCD,则AO=80,所以AD=BD,故易证AABD是等腰直角三角

形，通过勾股定理来求BD的长度.

【详解】解：：CD是NACB的平分线，

.-.ZACD=ZBCD,则AO=BO，

r.AD=BD,

♦.♦AB是。O的直径，

，ZACB=90°,ZADB=90°.

VAB=6,

5

BD=-----AB=3y[2cm.

2

故答案为3g.

本题考查了圆周角定理与勾股定理的运算，解题的关键是熟练的掌握圆周角定理与勾股定理的运算法则.

15.如图，AABC中，若AC=4,BC=3,AB=5,则AABC的内切圆半径R=.

1.

【分析】

先根据已知条件得出AABC为直角三角形，再根据三角形的面积公式计算出AABC的面积，再连接

AO,BO,CO,SAABC=SAAOB+SABOC+SAAOC,设内切圆半径为r,再根据面积公式计算即可得出结论.

【详解】解：；AB=5,AC=4,BC=3,32+42=52,

r.AB2=AC2+BC2,

.•.△ABC为直角三角形，

11

/.SABC=—xACxBC=—x4x3=6,

A22

设AABC的内切圆圆心为O,连接AO,BO,CO,

SAABC=SAAOB+SABOC+SAAOC,

设内切圆半径为r,则-ABr+-BCr+-ACr=6,

222

111

--5-r+--3-r+—4r=6,

222

解得r=l.

故答案为1.

本题考查了三角形的内切圆半径，解题的关键是熟练的掌握圆的知识点.

16.如图，AB是。。的直径，C,D是。0上的点，且OCIIBD,AD分别与BC,0C相交于点E,F,则下列结论:

①AD_LBD；（2）ZAOC=ZAEC；③CB平分NABD；④AF=DF；⑤BD=2OF；⑥△CEF空△BED,其中一定成

立的一（把你认为正确结论的序号都填上）

①③④⑤

【分析】

根据圆周角定理、平行线的性质、垂径定理等判断即可.

【详解】①是。。的直径，.•.N4OB=90。，故①正确；

②是（DO的圆心角，/AEC是。。的圆内部的角，.♦./40CWNAEC,故②不正确；

@-：OC//BD,ZOCB=ZDBC.

VOC=OB,.".ZOCB=ZOBC,：.NOBC=NDBC,.♦.8C平分/ABO,故③正确；

④是O。的直径，.,./ADB=90。，...AOLB。.

VOC//BD,：.ZAFO=90°.

•••点。为圆心，••.AF=OF,故④正确；

⑤由④有，AF=DF.

•点。为A8中点，，。尸是△ABO的中位线，，8。=2。凡故⑤正确；

⑥•••△（?£：/和△8EZ）中，没有相等的边，...△CEF与△8EZ）不全等，故⑥不正确.

综上可知：其中一定成立的有①③④⑤.

故答案为①③④⑤.

本题主要考查圆周角定理及圆的有关性质、平行线的性质，掌握圆中有关的线段、角相等的定理是解题的

关键，特别注意垂径定理的应用.

三.解答题（共7小题）

17.如图所示，C,D是半圆O上的两点，AB是圆0的直径，且OD〃BC,0D与AC交于点

D=5.

【分析】

根据题意可得AACB为直角三角形，再根据勾股定理求出AC,再根据中位线的性质求出OE,DE,运用勾股

定理即可得出结论.

【详解】解：：AB是直径，

ZACB=90°,

在RSACB中，由勾股定理可得=

：OD〃BC,

，OD_LAC,

.♦.AE=EC=4,

•.•。是AB的中点，

，0E是AABC的中位线，

17

，OE=-CB=—，

26

257

.*.DE=OD-0E=----------=3,

66

在RtAADE中，由勾股定理可得AD=5.

本题考查了中位线的性质与勾股定理，解题的关键是熟练的掌握中位线的性质与勾股定理.

18.如图，弦AB和弦CD相交于。0内一点E,AD=CB,求证：AB=CD.

【分析】

根据同弧所对的弦相等证明即可.

【详解】证明：：AD=BC,

：•AD=BC，

■■CD=AB^

ACD=AB.

本题考查了弧的知识点，解题的关键是熟练的掌握同弧所对的弦相等.

19.如图，AB是半圆O的直径，C是半圆0上的一点，CF切半圆0于点C,BDLCF于为点D,BD与半

圆0交于点E,

⑴求证：BC平分/ABD

(2)若DC=8,BE=4,求圆的直径.

(1)证明见解析；(2)4V17；

【分析】

(1)连接0C,根据CD为切线可得OCLCD,再根据平行线的性质即可得出结论；

(2)连接AE交0C于G,根据圆与平行线的性质易得四边形CDEG为矩形，再根据勾股定理即可得出结

论.

【详解】(1)证明：连结0C,如图，

VCD为切线,

A0C1CD,

VBD1DF,

.♦.OC〃BD,

VOB=OC,

r.zi=Z2,

，/2=N3,

.♦.BC平分/ABD；

(2)解：连结AE交OC于G,如图,

D

B

「AB为直径,

，NAEB=90°,

VOC#BD,

AOCICD,

，AG=EG,

易得四边形CDEG为矩形，

，GE=CD=8,

；.AE=2EG=16,

在RSABE中，AB=7i而不=4•，

即圆的直径为4J万.

本题考查了勾股定理、切线与平行线的性质，解题的关键是熟练的掌握勾股定理、切线与平行线的性质.

20.如图，在平面直角坐标系中，A（0,4）、B（4,4）、C（6,2）.

（1）在图中画出经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的位置；

（2）点M的坐标为；

试题分析：（1）由网格容易得出A8的垂直平分线和BC的垂直平分线，它们的交点即为点M；

（2）根据图形即可得出点M的坐标：

（3）用两点间距离公式求出圆的半径和线段。M的长，当DM小于圆的半径时点。在圆内.

试题解析：解：（1）如图1，点M就是要找的圆心；

（2）圆心M的坐标为（2,0）.故答案为（2,0）；

（3）圆的半径也？+4?=2下.

线段MD=J（5-2）2+22=后＜2所以点。在。M内.

点睛：本题考查是点与圆的位置关系，坐标与图形性质以及垂径定理，利用网格结构得到圆心M的坐标

是解题的关键.

21.如图，在aABC中，AB=AC,NA=30。，以AB为直径的。O交BC于点D,交AC于点E,连结DE,

过点B作BP平行于DE,交（DO于点P,连结EP、CP、OP.

（1）BD=DC吗？说明理由；

（2）求/BOP的度数；

（3）求证：CP是。O的切线.

（1）BD=DC；理由见解析；（2）90°；（3）证明见解析;

【分析】

⑴连接AD,由圆周角定理可知NADB=90。，再由AB=AC可知ZiABC是等腰三角形，故BD=DC；

（2）由于AD是等腰三角形ABC底边上的中线，所以NBAD=NCAD,故BD=£）E，进而可得出BD=DE,

故BD=DE=DC,所以NDEC=/DCE,AABC中由等腰三角形的性质可得出NABC=75。，故/DEC=75。由

三角形内角和定理得出NEDC的度数，再根据BP〃DE可知NPBC=/EDC=30。，进而得出NABP的度数，

再由OB=OP,可知NOBP=NOPB,由三角形内角和定理即可得出NBOP=90。：

0G]

(3)设OP交AC于点G,由NBOP=90。可知NAOG=90。在Rt^AOG中，由NOAG=30。，可知——=-

AG2

0Pop1OPOGOGGP

由于---=----=—，所以----=----»----=----,再根据NAGO=NCGP可得出△AOGsaCPG,由相

ACAB2ACAGAGGC

似三角形形的性质可知NGPC=NAOG=90。，故可得出CP是。。的切线.

【详解】解：（1）BD=DC.理由如下：连接AD,

：.ZADB=90°,

AAD1BC,

VAB=AC,

ABD=DC；

(2)TAD是等腰4ABC底边上的中线,

AZBAD=ZCAD,

：・BD;DE，

・・・BD=DE.

・・・BD=DE=DC,

・•・ZDEC=ZDCE,

△ABC中，AB=AC,ZA=30°,

・・・ZDCE=ZABC=-(180°-30°)=75°,

2

・・・ZDEC=75°,

・・・ZEDC=180°-75°-75°=30°,

VBP/7DE,

AZPBC=ZEDC=30°,

...ZABP=ZABC-ZPBC=75°-30°=45°,

VOB=OP,

AZOBP=ZOPB=45°,

ZBOP=90°；

(3)设OP交AC于点G,如图，则NAOG=/BOP=90。,

在RSAOG中，/OAG=30°,

•OG1

,AG2

OP_OP_J_

•ALAB-2

.OPOG

••-----------,

ACAG

.OGGP

"AG-GC

XVZAGO=ZCGP,

/.△AOG^ACPG,

ZGPC=ZAOG=90°,

AOP±PC,

.♦.CP是(DO的切线；

本题考查了圆周角定理与切线的判定以及等腰三角形的性质，解题的关键是熟练的掌握圆周角定理与切线

的判定以及等腰三角形的性质.

22.如图，AB为。。的直径，C是OO上一点，过点C的直线交AB的延长线于点D,AELDC,垂足为E,F

是AE与。O的交点，AC平分NBAE,连接OC.

(1)求证：DE是OO的切线；

(2)若。0半径为4,ND=30。，求图中阴影部分