圆锥曲线焦点三角形和焦点弦性质

圆锥曲线焦点三角形和焦点弦性质的探讨指导教师向长福摘要：圆锥曲线是现行高中解析几何学的重要内容之一，且圆锥曲线知识既是高中数学的重点，又是难点，因而成为高考的重点考查内容。而圆锥曲线的主要内容之一是过圆锥曲线焦点的弦或直线的有关问题，学生在求解此类题目时，常常感到无从下手。为解除这种困惑，在全面研究了高中数学教材及要求的基础上，通过分析、推导的方法，文章对椭圆焦点三角形的性质，双曲线焦点三角形的性质及圆锥曲线焦点弦的性质进行了研究和探讨，得出圆锥曲线焦点三角形的五条基本性质，以便使学生对相关知识有一个更全面、更系统、更深刻的了解，从而进一步提高运用这些性质去解决相关题目的数学能力和应用能力。关键词：圆锥曲线；焦点三角形；性质；焦点OnthePropertiesofConicFocalPointTriangleandFocalPointStringAbstract:Theconecurve,asanimportantpartofcontentofanalyticalgeometryinpresenthighschool,isratednotonlyasakeypointbutalsoadifficultyinmathematicsteachinginseniorhighschool,andsoitbecomesakeyexaminationpointinthecollegeentranceexamination.Themostimportantcontentofconecurveistheproblemsconcerningthestringorstraightlinewhichpassesthroughtheconicfocalpoint.Facedwiththiskindofquestions,somestudentsdonotalwaysknowwhattobeginwith.Torelievetheirconfusion,thispaper,onthebasisofathoroughstudyofthemathematicalteachingmaterialforhighschoolsandbymeansofanalysisanddeduction,probesintothenatureofellipsefocalpointtriangle,thenatureofhyperboliccurvefocalpointtriangleandthenatureofconicfocalpointstring,andpointsoutfivebasicpropertiesoftheconicfocalpointtriangle.Thesepropertiescanhelpstudentsfurtherunderstandtheconicknowledgesystematicallyandimprovetheirmathematicscompetenceandapplicationabilityinsolvingmathematicalproblems.Keywords:conecurve;focalpointtriangle;properties;focalpoint1引言圆锥曲线是现行高中解析几何学的重要内容之一，且圆锥曲线知识既是高中数学的重点，又是难点．而圆锥曲线的主要内容之一是过圆锥曲线焦点的弦或直线的相关问题.在求解这类问题时，许多学生常常感到束手无策，部分学生由于计算量大的繁锁，产生厌学数学的情绪．为了解除这种困惑，培养或提高学生学习数学的兴趣，让学生掌握一定的解题方法或数学思想是很必要的．在数学中，我们常常是利用性质去讨论问题，因此，文章首先探讨圆锥曲线焦点三角形及焦点弦的性质，然后再讨论这些性质的应用.圆锥曲线焦点三角形及焦点弦具有不少性质，许多教师或专家已做过研究.文献［2］主要是对椭圆焦点三角形的性质进行研究，而文献［7］主要是对双曲线焦点三角形的性质进行研究.文献［2］、［7］都是孤立地进行探讨，缺乏系统性，显得单一.文献［1］、［10］主要围绕焦点三角形的内切圆将椭圆焦点三角形与双曲线焦点三角形的性质结合起来探讨，弥补了文献［2］、［7］的不足之处.文献［9］主要是探讨圆锥曲线焦点弦的几何特征.作为一个有机整体的圆锥曲线焦点三角形，探求其所具有的共同特征的性质应该是一件非常有意义的事情.在对文献进行分析、研究的基础上，文章主要是结合高中数学课程的要求，对椭圆焦点三角形的性质，双曲线焦点三角形的性质及圆锥曲线焦点弦的性质作一定的探讨，将其系统地归纳集中或进行了一定的扩展，让学生对其有一个更全面、更深刻的了解，从而进一步提高学生运用这些性质去解决相关问题的数学素质和应用能力．2圆锥曲线焦点三角形的定义及性质圆锥曲线上一点与其两焦点所构成的三角形叫做圆锥曲线的焦点三角形［1］.椭圆焦点三角形的性质x2y2以椭圆∙a+"=i（a>b0）的两个焦点勺,AFIPF2,叫做椭圆的焦点三角形［2］.设/FPF=θ,/PFF=α,/PFF=β1 2 12 21性质1：PFIHPa滞Sθ.F2及椭圆上任意一点P（除长轴上两个端点外）为顶点的椭圆的离心率为e,则有以下性质:证明：在工PF2中，由余弦定理，有PF112+PPF^22-2∣PFj∙∣PF2∣∙cosθ二FIFJ2二（2C）2.∙.4a2-2∣PF1∖∙Pq-2∣PF1∖∙∣PF2∣∙cosθ=4C2整理，得PFJ-IPF2∣=iɪθ.x2y2例1如图：F、F分别为椭圆一+2-=1（a>

12 a2b21的正三角形，求b2的值.分析：此题按常规思路是从S =1入手，即S=1△POO2 24√3 c √3求得c2=ʌ.所以点P的坐标分别为不，ʌ-e.ɔ 乙 乙解此方程组就可得到b2的值.但这涉及到解二元二次方程组，计算量很大，非常麻烦.若用性质1求解可使运算得以简化．解：连接PF,则/FPF=90。,性质2:SAF1PF212θ=b2-tan—.21有S=S.∙.1=APOF2 2 AF1PF211 _一2-2IPFJ∙∣PF2卜Sin90。1121 2b2证明：由性质1得SAF1PF21 . ., ，C=-•PiF•PiF•sinθ=一・ 21+cosθSinθ=b2・ +coSθθ=b2・tan—.2•Sinθ212__ X2y2 兀. 例2已知F1、F2是椭圆64+W=1的两个焦点，P是椭圆上任一点,且/f1PF2=3,求af1pf2的面积.兀分析：如果设P点的坐标为(X,y)，由P点在已知椭圆上且/FPF=-，利用这两个条件，列出关于X,y的123两个方程，解出X,y.再求AFPF的面积，这种方法，运算量大且过程繁杂，须另寻捷径.知道12/FPF12兀3，可以直接利用性质2求解，使运算量简化.。 7θ 兀25v3解：•「S =b2・tan— .∙.S =25・tan—= AF1PF2 2 AF1PF2 6 3X2y2例3:已知点P(X°,y0)(y0>0)是椭圆+E=1(a>b>0)上任一点，且/FPF=θ.12b2求证：y=一

0cθ・tan—.2证明：∙∙∙SAFPF211.，一=2F1F2l∙h=2•2c∙∣丁0∣SAFPF21=b2.tanθ2.1 θ・二一•2c・|y=b2∙tan—2 0 2X2y2例4：点P是椭圆飞+彳=1上一点，以点P以及焦点F、F为顶点的三角形的面积等于1,求点P的坐标.12分析：要求点P的坐标，不妨设P点坐标为(X,y)，由P点在已知椭圆上和AFPF的面积等于1,可列0012两个方程，解方程可得点P的坐标.此题也可在例3的基础上进行求解[3].b2 θ解：设P点坐标为(X,y),则有Iy=—∙tan—=00 0c 2SAFPF-T 2 cc=1•1y0∣=1.∙.y=±1.0X2y2把y0=±1代入大+彳=1得x0=±母'.点P坐标为(15,1)啜-D昔，1)，221,:C=Va2—b2,(v15-,—1)・22b2性质3:O<θ≤arccos( 1).a2PF证明：由正弦定理，有——

SinPF 2FF-U_2βSinαSinθPF+PFFF12sina+sinβ

sinθSinα+sinβsin[18D—(α+β)]1122b2-a2 2b2-a2即cosθ≥ .因为0<θ<兀，所以θ≤arccos a2 a2当点P在长轴上的端点时，θ=0，这时,―一 八八 2b2一、AFPF不存在，因此，0<θ≤arccos( -1)a.1 2a2a+β

cos 一一一、、 2性质4:离心率e=———.α一βcos 2证明：由正弦定理，有PFl PF FFIFFl 11= 2_=12=I12∣sinβSina sinθSinQ+β)F/, _Sina+β)PF+PF sina+sinβ1 2C,α+βα+β2sin ∙CoS 2 2C,α+βa-β2Sin ∙CoS 2 2例5（2004年福建高考题）已知FJF2是椭圆的两个焦点，过fi且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若AABF是正三角形，求这个椭圆的离心率区.22一分析：由AABF2是正三角形可知IAFJ=2∣AFJ，根据椭圆的第一定义可求得IAFJ=§•2a.FF再由cos300=-ɪɪ可求得离心率e.若用性质4解题，求解更简便.AF2解：根据已知条件有ZAFF=90。，/FFA=30。.（如图）12 12性质5:a β 1-etan一∙tan= 2 2 1+ePF\ PF FF证明：由正弦定理，有-W==-ɪɪSinβ sina SinθFF

12PF+PF

1 2Asina+sinβsina+sinβX1aβ1-tan—∙tan2 2"aβ1+tan—∙tan2 2a β 1-e，tan一∙tan= 2 2 1+ex2V2例6:如图，P是椭圆——+ɪ-=1上一点，F、F是焦点，已知ZPFF=a,ZPFF=2a,求椭圆的离心率⑹.

a2b2 1 2 12 21分析：知道ZPFIF2=a，ZPF2FI=2a,我们可以直接利用性质5解题.a 2atan—∙tan——=2 2解：由性质5有aSin—2acos—2sina

cosasin2a1-ea2cos2一∙cosa

21-e1+e1+e1-cos2a 1-ecos2a+cosa 1+e化简，得e=2cosa-1.双曲线焦点三角形的性质x2y2以双曲线砥一E=i（a>°'b>0）的两个焦点F1及双曲线上任意一点P（除实轴上两个端点外）为顶点的RPF2,叫做双曲线的焦点三角形”设/FPF=θ，/PFF=α，/PFF=8，双曲线的离心率为e，1 2 12 21性质1:PFIHPF2∣=i∑2b0sθ.则有以下性质:证明：在AFIpf2中，由余弦定理，有PFI2+∣PFI2—2IPF∣∙∣PFkcosθ=IFFI1 1 2 1 2 12l2=(2c)2 ①|PFj—∣PFJ=2a:.∣PFJ2+∣PF2∣2—2∣PFJ∙∣PF2|=4a2②由①②得x2y2例1:设F和F为双曲线-2_=1的两个焦点，点P在双曲线上且满足ZFPF=90。，求AFPF的面积.1 2 16 9 12 12解：•/∣PF∣∙∣PF2I=2b2。2X9=181-cosθ1-cos90。:S=1.2∙Ipf1I∙P^Fr2∣∙sin90。=9.2θ性质2:S =b2∙cot-.AF1PF2 2一1,证明：由性质1得SAFPF=5.∣PFJ∙∣PF21∙SinθAFIPF2 22b2 sinθ∙Sinθ=b2•一1-cosθ 1-cosθ12*θ1-cosθθsinθ θ•「tan—= :cot—= - :S=b2∙cot—.2sinθ 2 1-cosθ AF1PF2 21例2:已知点F(-、-2,0)、F(V2,0)，动点P满足^PF-^PF\=2.当点P的纵坐标是彳时，1 ' 2 • '2 1' 2θ若令ZFPF=θ，求cot7的值.12 21一1 、：2解：由双曲线的第一定义可知点P的轨迹方程为X2->2=1（X<0）.则b2=LC2=2.所以S =-∙2∙=—AF1PF2 2 2 2例3:设点P（X0,>O）S0<O）是双曲线X2 y2a2b2=1(α>0，b>0)上任一点,且ZFIPF2=θb2 θ求证：y=-一∙cot-.0c2分析：此题根据已知条件列方程求解，计算量大且过程繁琐，应另外寻求解法，由于Iy01和AF1PF2的高相等,不妨从af1pf2的面积入手进行求解.证明：∙∙∙SAFIPF21, ，，一=2∙FIf2∣-I丁0∣SAFIpf2=b2-COtθ2b2 θ——-cot—.c 2θ.1 θ，—•2c∙∣y=b2∙cot—2, 。 ^202r0<0∙∙∙y0——.β+aSin 2性质3:离心率e=——-•β-aSin 2(awβ).PF证明：由正弦定理，有「

sinPF 2FF-J_2FF-J_2βsinasinθ Sin(α+β)∙.∙sinβ≠sinaPF—PFFF_□_2sinβ-sinα sin(α+β)a即 ∩ ∩ β+a.β-a

cos Sin ——又 又—— 又o<a+β<兀,cos ≠0.∙.e=—.β+a β+a ʌ 2 aSin cos—.β+αSin 2.β-aSin 2X2V2例4：（2002年上海高考题）如图,已知FJF2为双曲线方一b=KQ0,"0）的焦点,过F2作垂直于*轴的直线交双曲线于点P,且ZPF1F2=30。.求双曲线的渐近线方程.b分析：由于双曲线的渐近线方程为V=±—X,a若能求出〃，b的值，渐近线方程就可确定.在此题中，我们不易求出a,b的值，我们将y=±-X作一下变形，ab2y2=一∙X2a2c2-a2 ,八 X2=(e2-1)-X2，若能求出e的值，则渐近线方程就求出.知道/PFF=30。，ZPFF=90。利用性质4可求.β+asin—2 Sin60osinβ∑a sin30o2=√3.∙.V2=2X2.∙.V=±t；'2X.aɪβe-1性质4:(1)当P点在双曲线右支上时tan--cot=-2 2 e+1β ɪa e-1(2)当P点在双曲线左支上时tan-cot-=—2 2 e+1证明：（1）当P点在双曲线右支上时∣PqHPF2∣=2a.由正弦定理，有PF 1SinβSinasinθX2例5:（2005年福建高考题）已知F、F是双曲线一-a2=1（a>°'b>0）的两焦点,以线段F1F2为边作解：:e=1122222a21221，1 2竺b2正三角形MFF，若边MF的中点在双曲线上，求双曲线的离心率⑻.解：连接FN，则ZNFF=30。/NFF=60。所以123圆锥曲线焦点弦的性质121221性质1：过椭圆一个焦点方的直线与椭圆交于点P、Q，/4为椭圆长轴上的顶点AP和AQ交于点N,AP和AQ交于点M，则MF±NF.21x2 y2证明：如图，设椭圆的方程为一+J=1(a>b>0)，a2b2则可设点F的坐标为(-c,0),点P、Q的坐标分别为(。cosα,bSina)，(Ocosθ,bSinθ)，则AiP的方程为y=bSinα / 、 ∙(x+a).a(1+CoSa)，12A2Q的方程为了=bSinθ ∙(x-a).a(cosθ-1)由①②得X=a[Sina-Sinθ-Sin(a+θ)]

sin(α-θ)-Sina-Sinθa+θa∙CoS 2a-θCoS 2bSina bSinθ由于点P、F、Q共线，则有 二 化简，得aSin(α-θ)=C(Smθ-Sinɑ)aCoSa+caCoSθ+ca-θa-θ θ+aθ-a.∙.2a∙Sin ∙CoS =2c∙CoS ∙Sin 2 2 2 2θ-a「Sin ≠02a+θCoS 2a—六二—-④将④式代入③式，得x=a-θ cCoS 2a2a2所以，点N的坐标为(—-cbSinθ(a+c)

c(CoSθ-1)同理，a2bSinθ(a-c)点M的坐标为(--,- )[9].c c(CoSθ+1)①②③c(a2-c2)b2Sin2θb4.∙.K∙K= =-——=-1.MFNF a2 b4C2(CoS2θ-1)•(——-C)2

c即MF±NF.性质2:过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于P、Q两点，A、A为双曲线实轴上的顶点，AP和AQ相12 1 2交于点N，AQ和AP相交于点M,则MF±NF.12证明与性质1的证明类似，从略.性质3：过抛物线的焦点F的直线与抛物线交于两点P、Q,A为抛物线的顶点，过P点作抛物线对称轴的平行线交AQ于点M,过Q点作抛物线对称轴的平行线交AP于点N,则MF1NF.\o"CurrentDocument"化简，得4tt=-1.又PA的方程为y=tx, ①QN的方程为X=2pt, ②12 1 2由①②得y=2ptt=-p.即点N的坐标为(2Pt,-p)).同理点M的坐标为(2Pt,-p)[10].12 2 2 2 1 2・•.K∙K=P •—p-=-1.即MF±NF.MFNF -2Pt-2Pt124总结文章主要是在对文献进行分析、研究的基础上，结合高中数学课程的要求，将具有共同特征的椭圆焦点三角形与双曲线焦点三角形的性质进行系统地归纳集中，得出五条基本性质，并采用初等方法进行了证明，对圆锥曲线焦点弦的性质进行有机统一，让学生对其有一个更全面、更深刻的了解，从而进一步提高学生运用这些性质去解决相关问题的数学素质和应用能力.参考文献[1]唐永金.圆锥曲线焦点三角形的性质探