2022年江苏省南京市区东庐中学高三数学文下学期期末试卷含解析

2022年江苏省南京市区东庐中学高三数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设复数满足，则等于

A．

B．

C．

D．参考答案：A2.设等差数列的前项和为，若，则等于（

）A．18

B．36

C．45

D．60参考答案：C3.设集合是

A．{3，0}

B．{3，2，0}

C．{3，1，0}

D．参考答案：C因为，所以，即，所以，所以，即，所以，选C.4.（2016郑州一测）设（是虚数单位），则（

）A． B． C． D．0参考答案：C．5.下列命题正确的是………(

)A.,则()B.若数列、的极限都不存在，则的极限也不存在C.若数列、的极限都存在,则的极限也存在D.设，若数列的极限存在,则数列的极限也存在参考答案：C6.若，则的值为（

）A．3

B．5

C．

D．参考答案：D由，可得..故选D.

7.高三某班有学生56人，现将所有同学随机编号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知5号、33号、47号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号为

(A)13

(B)17

(C)19

(D)21参考答案：C8.已知函数在x1处取得极大值，在x2处取得极小值，满足x1∈（﹣1，1），x2∈（1，4），则2a+b的取值范围是

A(-6,-4)

B(-6,-1)

C(-10,-6)

D(-10,-1)参考答案：D略9.已知集合,则

A．

B．

C．

D．参考答案：D略10.甲、乙、丙、丁、戊五位同学站成一排照相留念，则在甲乙相邻的条件下，甲丙也相邻的概率为（）A．1 B． C． D．参考答案：B【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】使用捆绑法分别计算甲乙相邻，和甲同时与乙，丙相邻的排队顺序个数，利用古典概型的概率公式得出概率．【解答】解：甲乙相邻的排队顺序共有2A=48种，其中甲乙相邻，甲丙相邻的排队顺序共有2A=12种，∴甲乙相邻的条件下，甲丙也相邻的概率为．故选：B．【点评】本题考查了排列数公式的应用，古典概型的概率计算，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.（5分）（2015?浙江模拟）已知F为抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点，过F作斜率为1的直线交抛物线C于A、B两点，设|FA|＞|FB|，则=．

参考答案：3+2【考点】：抛物线的简单性质．【专题】：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：先设点A，B的坐标，求出直线方程后与抛物线方程联立消去y得到关于x的一元二次方程，求出两根，再由抛物线的定义得到答案．解：设A（x1，y1）B（x2，y2）由可得x2﹣3px+=0，（x1＞x2）∴x1=p，x2=p，∴由抛物线的定义知==3+2故答案为：3+2．【点评】：本题主要考查直线与抛物线的位置关系，抛物线定义的应用，知识综合性强．12.如果实数x，y满足条件，若z=的最小值小于0，则实数a的取值范围是．参考答案：a＞【考点】简单线性规划．【专题】数形结合；转化法；不等式．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，建立条件关系进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：则a大于C点的横坐标，则z=的几何意义是区域内的点到定点（0，﹣1）的斜率，则OA的斜率最小，由得，即A（a，2﹣2a），∵z=的最小值小于0，∴此时=＜0，得a＞或a＜0（舍），故答案为：a＞．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合是解决本题的关键．13.已知正项数列的前项和为且满足．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）当，（均为正整数）时，求和的所有可能的乘积之和.参考答案：解：（Ⅰ）∵，两式相减得，由得，又∴数列是首项为，公比为的等比数列，∴

6分（Ⅱ）由和的所有可能乘积（，）可构成下表设上表第一行的和为，则

于是…＋＝

12分略14.给定下列结论：①在区间内随机地抽取两数则满足概率是；②已知直线l1：，l2：x-by+1=0，则的充要条件是；③为了解一片经济林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：cm）。根据所得数据画出样本的频率分布直方图（如下），那么在这100株树木中，底部周长小于110cm的株数是70株；④极坐标系内曲线的中心与点的距离为．以上结论中正确的是_____________________(用序号作答)

参考答案：①③④15.已知双曲线C的中心在原点且对称轴为坐标轴，C的一条渐近线与焦点为F的抛物线y2=8x交于点P，且|PF|=4，则双曲线的离心率为．参考答案：或【考点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．【分析】利用抛物线方程以及性质求出P的坐标，代入双曲线的渐近线方程，然后求解双曲线的离心率即可．【解答】解：抛物线y2=8x上的点P，且|PF|=4，可得P（2，±4），双曲线的焦点坐标在x轴时，一条渐近线为：bx+ay=0，可得2b﹣4a=0，即b2=4a2，可得e=．双曲线的焦点坐标在y轴时，一条渐近线为：ax+by=0，可得4b﹣2a=0，即4b2=a2，可得e=．所求双曲线的离心率为：或．故答案为：或．【点评】本题考查双曲线以及抛物线的简单性质的应用，考查转化思想以及分类讨论思想的应用．16.若无穷等比数列的各项和等于公比，则首项的最大值是

.参考答案：17.等比数列的前项和为,公比不为1。若,且对任意的都有,则_________。参考答案：11略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本题14分)

已知函数（）．（1）若，试用定义证明：在上单调递增；（2）若，当时不等式恒成立，求的取值范围．参考答案：【答案解析】（1）证明：略；（2）.

解析：（1）若，设，则． ┅2分因为，，所以，即，故，在上单调递增． ┅6分（2）若，则在上单调递减，在上单调递增．①若，则在上单调递增，．所以，，即，所以． ┅8分②若，则在上单调递减，在上单调递增，．所以，，即，所以． ┅10分③若，则在上单调递减，．所以，，即，所以． ┅12分综合①②③，． ┅14分【思路点拨】(1)根据函数单调性定义，在给定区间上任取两个数，且，通过判定的符号，来证明函数的单调性；（2）时，不等式恒成立，只需时即可，利用的单调性，通过讨论a的取值情况，确定在区间上的最小值情况.19.（本小题满分15分）如图，在直三棱柱中，,,,点是的中点（1）求异面直线与所成角的余弦值（2）求平面与所成二面角的正弦值。参考答案：（1）以为为单位正交基底建立空间直角坐标系，则，,,,∴,∴∴异面直线与所成角的余弦值为（2）是平面的的一个法向量设平面的法向量为，∵,由

∴

取，得，∴平面的法向量为,设平面与所成二面角为∴，得∴平面与所成二面角的正弦值为20.如图，在七面体ABCDMN中，四边形ABCD是边长为2的正方形，平面ABCD，平面ABCD，且MD=2，NB=1，MB与ND交于P点．（1）在棱AB上找一点Q，使QP//平面AMD，并给出证明；（2）求平面BNC与平面MNC所成锐二面角的余弦值．参考答案：（Ⅰ）当时，有//平面AMD.证明：∵MD平面ABCD，NB平面ABCD，∴MD//NB，∴，又，∴，∴在中，QP//AM，又面AMD，AM面AMD，∴//面AMD.（Ⅱ）解：以DA、DC、DM所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则D（0,0,0），B（2,2,0），C（0,2,0），M（0,0,2）N（2,2,1），∴=（0,-2,2），=（2,0,1），=（0,2,0），设平面CMN的法向量为=（x,y,z）则，∴，∴=（1,-2,-2）.又NB平面ABCD，∴NBDC，BCDC，∴DC平面BNC，∴平面BNC的法向量为==（0,2,0），设所求锐二面角为，则.略21.（本小题满分12分）已知函数．（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）若将的图象向右平移个单位，得到函数的图象，求函数在区间上的最大值和最小值．参考答案：解析：（Ⅰ）

…2分．……………4分

所以的最小正周期为．………6分（Ⅱ）将的图象向右平移个单位，得到函数的图象，．…8分时，，

…………………9分当，即时，，取得最大值2．…………10分当，即时，，取得最小值．………12分22.在平面直角坐标系xOy中，已知平行于x轴的动直线l交抛物线C：于点P，点F为C的焦点.圆心不在y轴上的圆M与直线l，PF，x轴都相切，设M的轨迹为曲线E.（1）求曲线E的方程；（2）若直线l1与曲线E相切于点，过Q且垂直于l1的直线为l2，直线l1，l2分别与y轴相