2022年陕西省西安市第四十五中学高三数学文月考试卷含解析

2022年陕西省西安市第四十五中学高三数学文月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知变量x，y满足约束条件，则的取值范围是（）A．[，6]B．(﹣∞，]∪[6，+∞)C．（﹣∞，3]∪[6，+∞） D．[3，6]参考答案：A【考点】简单线性规划的应用．【分析】本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件，画出满足约束条件的可行域，分析表示的几何意义，结合图象即可给出的取值范围．【解答】解：约束条件对应的平面区域如下图示：三角形顶点坐标分别为（1，3）、（1，6）和（），表示可行域内的点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率，当（x，y）=（1，6）时取最大值6，当（x，y）=（）时取最小值，故的取值范围是故选A．2.已知复数，i为虚数单位，则下列说法正确的是（

）A. B.C. D.z的虚部为－i参考答案：B【分析】利用复数的除法求出后可得正确的选项.【详解】因为，则，，，的虚部为－1，故选：B.【点睛】本题考查复数的除法，计算时分子、分母同乘以分母的共轭复数，本题属于容易题.3.i为虚数单位，若复数（1+mi）（i+2）是纯虚数，则实数m=（）A．1 B．﹣1 C． D．2参考答案：D【考点】复数的基本概念．【分析】先求出（1+mi）（i+2）=2﹣m+（2m+1）i，再由复数（1+mi）（i+2）是纯虚数，能求出实数m．【解答】解：i为虚数单位，（1+mi）（i+2）=2﹣m+（2m+1）i，∵复数（1+mi）（i+2）是纯虚数，∴，∴实数m=2．故选：D．4.某校高中生共有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，现采用分层抽取容量为45人的样本，那么高一、高二、高三年级抽取的人数分别为

A．15，5，25

B．15，15，15

C．10，5，30D．15，10，20参考答案：D5.将奇函数f（x）=Asin（ωx+?）（A≠0，ω＞0，﹣＜?＜）的图象向左平移个单位得到的图象关于原点对称，则ω的值可以为(

) A．6 B．3 C．4 D．2参考答案：A考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性可得y=Asinω（x+）为奇函数，故有sin（ω?）=0，由此求得ω的值．解答： 解：由函数f（x）=Asin（ωx+?）为奇函数，A≠0，ω＞0，﹣＜?＜，可得f（0）=Asin?=0，∴?=0，函数f（x）=Asinωx．把f（x）的图象向左平移个单位得到y=Asinω（x+）的图象，再根据所得图象关于原点对称，可得y=Asinω（x+）为奇函数，故有sin（ω?）=0，∴ω?=kπ，k∈z．结合ω＞0，以及所给的选项，可得ω=6，故选：A．点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．6.设集合A?R，如果x0∈R满足：对任意a＞0，都存在x∈A，使得0＜|x﹣x0|＜a，那么称x0为集合A的一个聚点．则在下列集合中：（1）Z+∪Z﹣；

（2）R+∪R﹣；（3）{x|x=，n∈N*}；（4）{x|x=，n∈N*}．其中以0为聚点的集合有（） A．1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个参考答案：B略7.设,,，则A.a<c<b

B.b<c<a

C.a<b<c

D.参考答案：D因为,,，因为，所以，所以，选D.8.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的各个面中是直角三角形的个数为（

）A.1 B.2 C.3 D.4参考答案：C【分析】画出几何体的直观图，判断出各面的形状，可得答案．【详解】三视图还原为如图所示三棱锥A-BCD：由正方体的性质得为直角三角形，为正三角形故选：C【点睛】本题考查的知识点是简单几何体的直观图，数形结合思想，难度中档．9.已知，点满足，，则直线的斜率的取值范围为（）A、

B、

C、

D、参考答案：A由，得，故，由图可知，【考点】两角和与差的正弦函数，数形结合思想。10.定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式exf（x）＞ex+3（其中e为自然对数的底数）的解集为(

) A．（0，+∞） B．（﹣∞，0）∪（3，+∞） C．（﹣∞，0）∪（0，+∞） D．（3，+∞）参考答案：A考点：利用导数研究函数的单调性；导数的运算．专题：导数的综合应用．分析：构造函数g（x）=exf（x）﹣ex，（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解解答： 解：设g（x）=exf（x）﹣ex，（x∈R），则g′（x）=exf（x）+exf′（x）﹣ex=ex[f（x）+f′（x）﹣1]，∵f（x）+f′（x）＞1，∴f（x）+f′（x）﹣1＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，∵exf（x）＞ex+3，∴g（x）＞3，又∵g（0）═e0f（0）﹣e0=4﹣1=3，∴g（x）＞g（0），∴x＞0故选：A．点评：本题考查函数单调性与奇偶性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.观察下列各式：=3125，=15625，=78125，…，则的末四位数字为

.参考答案：312512.一只昆虫在边长分别为5，12，13的三角形区域内随机爬行，则其到三角形顶点的距离小于2的地方的概率为

.参考答案：略13.已知全集，在中任取四个元素组成的集合记为，余下的四个元素组成的集合记为，若，则集合的取法共有

种.参考答案：31略14.复数满足（为虚数单位），则的共轭复数是（

）A．

B．

C． D．参考答案：D略15.若实数x满足x＞﹣4，则函数f（x）=x+的最小值为

．参考答案：2【考点】基本不等式．【专题】函数思想；数学模型法；不等式．【分析】由题意可得x+4＞0，变形可得f（x）=x+=x+4+﹣4，由基本不等式可得．【解答】解：∵x＞﹣4，∴x+4＞0，∴f（x）=x+=x+4+﹣4≥2﹣4=2当且仅当x+4=即x=﹣1时取等号，故答案为：2．【点评】本题考查基本不等式求最值，凑出可以基本不等式的形式是解决问题的关键，属基础题．16.给出定义：若（其中为整数），则叫做离实数最近的整数，记作，即．在此基础上给出下列关于函数的四个命题：①函数的定义域是R，值域是[0，]；②函数的图像关于直线(k∈Z)对称；③函数是周期函数，最小正周期是1；④函数在上是增函数．则其中真命题是

．参考答案：①②③略17.设的定义域为，若满足下面两个条件，则称为闭函数.①在内是单调函数；②存在（注意：a<b），使在上的值域为。如果为闭函数，那么的取值范围是

.

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在直角坐标系xOy中，已知圆C：（θ为参数），点P在直线l：x+y﹣4=0上，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．（I）求圆C和直线l的极坐标方程；（II）射线OP交圆C于R，点Q在射线OP上，且满足|OP|2=|OR|?|OQ|，求Q点轨迹的极坐标方程．参考答案：【考点】QH：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）圆C：（θ为参数），可得直角坐标方程：x2+y2=4，利用互化公式可得圆C的极坐标方程．点P在直线l：x+y﹣4=0上，利用互化公式可得直线l的极坐标方程．（Ⅱ）设P，Q，R的极坐标分别为（ρ1，θ），（ρ，θ），（ρ2，θ），由，又|OP|2=|OR|?|OQ|，即可得出．【解答】解：（Ⅰ）圆C：（θ为参数），可得直角坐标方程：x2+y2=4，∴圆C的极坐标方程ρ=2．点P在直线l：x+y﹣4=0上，直线l的极坐标方程ρ=．（Ⅱ）设P，Q，R的极坐标分别为（ρ1，θ），（ρ，θ），（ρ2，θ），因为，又因为|OP|2=|OR|?|OQ|，即，∴，∴ρ=．19.（12分）已知为正整数（Ⅰ）设，证明；（Ⅱ）设，对任意，证明参考答案：解析：证明：（Ⅰ）因为，所以（Ⅱ）对函数求导数:∴

即对任意20.已知直线l：为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴且两坐标系中具有相同的长度单位，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2﹣2ρsinθ=a（a＞﹣3）（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线C与直线l有唯一公共点，求实数a的值．参考答案：【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（I）曲线C的极坐标方程为ρ2﹣2ρsinθ=a（a＞﹣3），把ρ2=x2+y2，y=ρsinθ代入化为直角坐标方程．（II）直线l：为参数），消去参数t，化为普通方程．利用直线与圆相切的充要条件即可得出．【解答】解：（I）曲线C的极坐标方程为ρ2﹣2ρsinθ=a（a＞﹣3），化为直角坐标方程：x2+y2﹣2y=a，配方为：x2+=3+a＞0．（II）直线l：为参数），消去参数t，化为普通方程：﹣y=0．∵曲线C与直线l有唯一公共点，∴圆心到直线l的距离d==3+a，解得a=﹣3．21.某中学有初中学生1800人，高中学生1200人.为了解学生本学期课外阅读时间，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们课外阅读时间，然后按“初中学生”和“高中学生”分为两组，再将每组学生的阅读时间（单位：小时）分为5组：，，，，，并分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.（Ⅰ）写出的值；试估计该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数；（Ⅱ）从阅读时间不足10个小时样本学生中随机抽取3人，并用表示其中初中生的人数，求的分布列和数学期望.参考答案：（Ⅰ）,阅读时间不小于30个小时的学生人数约有人（Ⅱ）见解析【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图中，所有矩形面积之和为，求出的值，并从频率分布直方图求出阅读时间不小于个小时的学生所占的频率，利用总容量乘以该频率可得出阅读时间不小于个小时的学生数；（Ⅱ）先计算出阅读时间不足个小时的样本中初中生和高中生的人数，得出随机变量的取值为、、，再利用超几何的计算公式，可列出随机变量的分布列，并计算出随机变量的数学期望。【详解】（Ⅰ）解：。由分层抽样，知抽取的初中生有60名，高中生有40名.

因为初中生中，阅读时间不小于30个小时的学生频率为，所以所有的初中生中，阅读时间不小于30个小时的学生约有人，同理，高中生中，阅读时间不小于30个小时学生频率为，学生人数约有人.所以该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数约有人；（Ⅱ）解：初中生中，阅读时间不足10个小时的学生频率为，样本人数为人。同理，高中生中，阅读时间不足10个小时的学生样本人数为人。故的可能取值为1，2，3.

则，

，。所以的分布列为：123

所以。【点睛】本题考查频率分布直方图以及超几何分布的分布列和数学期望，关键是要弄清楚随机变量所服从的分布列，再利用相关公式求解。

22.已知函数。（1）当时，求的单调区间；（2）证明：对任意在区间(0,1)内均存在零点。参考答案：解：（1），令，得或。

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