二次函数综合题专题

2020二次函数综合专题线段问题、面积问题、角度问题、存在性问题、新定义问题

二次函数一直是中考的热点与重点，常以压轴题形式出现，考查的类型有：(1)线段问题(2019年常州中考数学试卷第27题、2019年淮安中考数学试卷第26题、2017年南通中考数学试卷第28题)；(2)面积问题(2019年无锡中考数学试卷第27题、2019年常州中考数学试卷第27题)；(3)角度问题(2019年苏州中考数学试卷第28题、2019年宿迁中考数学试卷第28题)；(4)存在性问题(2019年盐城中考数学试卷第28题)；(5)新定义型问题(2019年常州中考数学试卷第28题)解读目录03010204线段问题面积问题角度问题存在性问题

第一部分线段问题PART0101

[思路点拨](1)已知抛物线上点B的坐标以及抛物线的对称轴方程，可用待定系数法求出抛物线对应的函数解析式．(2)首先求出AB的长，结合题意，即可得出点C，D的坐标，再代入抛物线对应的函数解析式中进行验证即可．(3)根据点C，D的坐标，易求直线CD对应的函数解析式．线段MN的长实际是直线CD与抛物线对应的函数值的差，可将x＝t代入两个函数的解析式中，得出的两个函数值的差即为l，由此可求出l与t之间的函数解析式，根据所得函数的性质即可求出l取最大值时，点M的坐标．[方法归纳]

(1)确定抛物线对应的函数解析式时需根据条件选择合适的解析式，将图象上的点代入抛物线解析式中得到方程组求解即可；(2)要求平行于坐标轴的线段的最大值，只需用含有未知数x的二次函数解析式表示出该线段．如果平行于y轴，就用高处的纵坐标减去低处的纵坐标得出线段的关系式；如果平行于x轴，就用右边的横坐标减去左边的横坐标得出线段的关系式，最后用配方法或公式法求出线段的最值．

(2019·贺州中考)如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为(－1，0)，且OA＝OC＝4OB，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过A，B，C三点．(1)求A，C两点的坐标；(2)求抛物线对应的函数解析式；

(3)若P是直线AC下方的抛物线上的一个动点，作PD⊥AC于点D，求PD长的最大值及此时点P的坐标．

第二部分面积问题PART0202类型2面积问题例2(2019·通辽中考)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点为M(1，9)，经过抛物线上的两点A(－3，－7)和B(3，m)的直线交抛物线的对称轴于点C.(1)求抛物线对应的函数解析式和直线AB对应的函数解析式．(2)在抛物线上A，M两点之间的部分(不包含A，M两点)，是否存在点D，使得S△DAC＝2S△DCM？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．思路点拨](1)可利用顶点式确定二次函数的解析式．(2)分别用含x的代数式表示△DAC与△DCM的面积，再构造方程解决问题．

2.(2019·吉林中考)如图，抛物线y＝(x－1)2＋k与x轴相交于A，B两点(点A在点

B的左侧)，与y轴相交于点C(0，－3)，P为抛物线上一点，横坐标为m，且m＞0.(1)求此抛物线对应的函数解析式．(2)当点P位于x轴下方时，求△ABP面积的最大值．(3)设此抛物线在点C与点P之间的部分(含点C和点P)最高点与最低点的纵坐标之

差为h.①求h关于m的函数解析式，并写出自变量m的取值范围；②当h＝9时，直接写出△BCP的面积．

第三部分角度问题PART0303类型3角度问题

例3(2019·崇川区模拟)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c交x轴于O(0，0)，A(8，0)两点，顶点B的纵坐标为4.(1)直接写出抛物线对应的函数解析式；(2)若C是抛物线上异于原点O的一点，且满足2BC2＝OA2＋2OC2，试判断△OBC的形状，并说明理由；

(3)在(2)的条件下，若抛物线上存在一点D，使得∠OCD＝∠AOC－∠OCA，求点D的坐标．

[思路点拨](1)根据抛物线y＝ax2＋bx＋c交x轴于O(0，0)，A(8，0)两点，顶点B的纵坐标为4，根据待定系数法可求抛物线对应的函数解析式．(2)设点C的坐标为(x，y)．根据2BC2＝OA2＋2OC2，易得点C的坐标为(12，－12)，则∠AOB＝∠AOC＝45°，则∠BOC＝90°，因此△OBC是直角三角形．(3)作CE⊥x轴于点E.在△OBC中，tan∠OCB＝＝，可得直线上方的点D即为点B(4，4)，由点B关于点O的对称点B′(－4，－4)，且OB⊥OC，可得∠OCB＝∠OCB′.求出直线B′C对应的函数解析式，并与抛物线对应的函数解析式联立，可得点D的坐标．[方法归纳]本题主要考查了二次函数综合题，涉及运用待定系数法求抛物线对应的函数解析式、直角三角形的判定、三角函数、勾股定理等知识，与角度有关的问题往往需要将角度合理转化，借助锐角三角函数或相似三角形构建方程求解．用锐角三角函数解题时需注意前提条件：在直角三角形中．

3.(2019·苏州中考)如图①，抛物线y＝－x2＋(a＋1)x－a与x轴交于A，B两点(点A位于点B的左侧)，与y轴交于点C.已知△ABC的面积是6.(1)求a的值．(2)求△ABC外接圆圆心的坐标．(3)如图②，P是该抛物线上一点，Q为射线CA上一点，且P，Q两点均在第三象限内，Q，A是位于直线BP同侧的不同两点．若点P到x轴的距离为d，△QPB的面积为2d，且∠PAQ＝∠AQB，求点Q的坐标．

第四部分存在性问题PART0404

[思路点拨](1)根据待定系数法确定函数解析式．(2)点A关于对称轴对称的点B的坐标为(3，0)，连接BC交对称轴于点P，求出点P的坐标即可．(3)分点N在x轴上方或下方两种情况进行讨论．[方法归纳]本题考查了用待定系数法求一次函数与二次函数的解析式、平行四边形的判定与性质、轴对称、全等三角形等知识．解题的关键是：(1)灵活利用待定系数法求出二次函数解析式；(2)利用“轴对称”和“两点之间，线段最短”求线段和的最小值；(3)平行四边形的存在性问题中要合理分类解决问题，如本题中抛物线上一点N需分在x轴上方或x轴下方两种情形．

4.(2019·盐城中考)如图，二次函数y＝k(x－1)2＋2的图像与一次函数y＝kx－

k＋2的图像交于A，B两点，点B在点A的右侧，直线AB分别与x轴，y轴交于C，

D两点，其中k＜0.(1)求A，B两点的横坐标．(2)若△OAB是以OA为腰的等腰三角形，求k的值．(3)若二次函数图像的对称轴与x轴交于点E，是否存在实数k，使得∠ODC＝

2∠BEC？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

第五部分新定义问题PART0505

[方法归纳]本题是二次函数的新定义型题，解决新定义问题要经历“提取信息→加工信息→转化迁移→数学建模→解决问题”这样几个过程，认真读题获取信息是解题的关键，如本题理解“带线”“路线”等定义是解题的关键．

2020二次函数综合练习（1）

2.(2018·徐州中考)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝－x2＋6x－5的图像与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其顶点为P，连接PA，AC，CP，过点C作y轴的垂线l.(1)求点P，C的坐标．(2)直线l上是否存在点Q，使△PBQ的面积等于△PAC面积的2倍？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

(1)∵y＝－x2＋6x－5＝－(x－3)2＋4，∴P(3，4)．令x＝0，则y＝－5，∴C(0，－5)

x=5,y=34.

(2019·眉山中考)如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A(－5，0)和点B(1，0)．(1)求抛物线对应的函数表达式及顶点D的坐标．(2)P是抛物线上A，D之间的一点，过点P作PE⊥x轴于点E，PG⊥y轴，交抛物线于点G，过点G作GF⊥x轴于点F，当矩形PEFG的周长最大时，求点P的横坐标．(3)如图②，连接AD，BD，点M在线段AB上(不与点A，B重合)，作∠DMN＝∠DBA，MN交线段AD于点N，是否存在这样的点M，使得△DMN为等腰三角形？若存在，求出AN的长；若不存在，请说明理由．

2020二次函数综合练习（2）1.(2019·东营中考)已知抛物线y＝ax2＋bx－4经过点A(2，0)，B(－4，0)，与y轴交于点C.(1)求此抛物线对应的函数解析式．(2)如图①，P是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标．(3)如图②，线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，M为抛物线的顶点，在直线DE上是否存在一点G，使△CMG的周长最小？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．

2.(2019·连云港中考)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L1：y＝x2＋bx＋c过点C(0，－3)，与抛物线L2：y＝－x2－x＋2的一个交点为A，且点A的横坐标为2，P，Q分别是抛物线L1，L2上的动点．(1)求抛物线L1对应的函数表达式．(2)若以A，C，P，Q为顶点的四边形恰为平行四边形，求点P的坐标．(3)设R为抛物线L1上另一个动点，且CA平分∠PCR.若OQ∥PR，求点Q的坐标．

-3=22+2b+c-3=cb=-2c=-3

3.

(2019·常州中考)如图，二次函数y＝－x2＋bx＋3的图像与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点A的坐标为(－1，0)，D为OC的中点，点P在抛物线上．(1)b＝________.(2)若点P在第一象限，过点P作PH⊥x