北理控制讲义

§3-4控制系统输出的稳态误差当系统的过渡过程结束后，随着t的增大，系统输出量的希望值和实际值之间仍有一定的差值，这个差值就是系统的稳态误差。如果把那)履)一顷)称为系统误差响应函数(或叫误差信号)，则稳态误差定义为本节重点介绍系统稳态误差与结构参数的关系以及稳定误差的函法。一、误差与偏差的定义如下图，其中R(s)为输入量象函数，C(s)为实际输出量象函数，Co(s)为希望输出量象函数，N(S)为扰动象函数，瓜跻为理想系统的传递函数即理想变换算子。E(s)为误差象函数，定义如下:用(时为偏差象函数，定义为:E1(s)=R(s)-H(s)C(s)误差研占)与偏差耳⑹的关系:式(3-49)又可写为(3-50)'(3-51)‘•.•舞=&（'）(3-50)'(3-51)‘比较（3-48）,有孙）对单位反馈系统期＞）=曷（矽二、误差传递函数设系统对输入R（S）和扰动N（S）的传递函数分别是①⑸和①叫⑸，则系统输出为:叫=*')吟)+把（3-50）和（3-52）代入（3-48）得g=*-g=富-C©=［二""、司-"逐⑻昨）H{s）l+G］O）q佃泪⑴ 1+。10）弓佃泪⑸（3-53）这里"曲这里"曲叫系统对输入信号的误差传递函数①出为系统对扰动作用的误差传递函数，扰动产生的输出全部是误差。令g=G］（s）-京），则单位反馈时(3-58)(3-57)(3-58)1+G(s)三、稳态误差求法由稳态误差的定义可知:

(3-61)「档处=血显萄+中威（功川（功］(3-61)根据拉氏变换的终值定理，如果系统是稳态系统，则有%=lime（t）=limsE（s） （3-62）四、系统型别及输入信号形式与稳态误差的关系由式（3-61）可知，系统的稳态误差不仅与系统结构参数有关，而且与输入信号形式有关，下面讨论这方面的问题。闭环系统开环传递函数可写成下面形式：中（¥+1）其中，K-闭环系统的开环增益;分别为各环节(3-63)其中，K-闭环系统的开环增益;分别为各环节时间常数；v-开环系统中积分环节的个数。我们把m=0^=1^=2等系统分别称为O型，I型和II型系统。当v>2时，系统很难稳定，工程中很少用。GH图3-20GH图3-20设系统的结构图如图（3-20）所示，如果设H（S）=H°（为常数），则由（3-53）式可得(3-64)研s)=(3-64)氏[1+珞G(s)]将式（3-63）代入（3-64）得

则根据终值定理，稳态误差为则根据终值定理，稳态误差为下面利用式（3-66）分别求出各型系统在阶跃、斜坡和加速度信号作用下的稳态误差。= ■时，敏矽=冬v=0v=0v=I=II=IIIlim（/』冬） 丑口（1+幻@= 岂——n”hm（Hosv+^Ho）则全部结果如表3-4所示。表3-4表明：1、 *（s）即广a）不同’气不同，即稳态误差与输入有关；2、 心相同，"不同，则气不同，即稳态误差与积分环节的个数有关，"越大，勺，越小;3、 勺，与系统开环增益K成反比。例，如图3-21所示闭环控制系统，当珞=°・L丑口=1时，求系统在W）=W）作用下的气。

图3-21解：系统开环传递函数为官=10、思=1根据表3-45®=0.1）五、用误差系数法求误差函数动态误差利用（3-47）定义的稳态误差只能求出'b时的极限值，而难以看出其随时间变化的规律。这里介绍利用误差系数法求误差函数1、动态误差系数和误差函数气⑴求误差传递函数W）在E的邻域展开成泰勒级数，并取前n+1项，则全⑸=+©（0）占+§包（0应+…+£护项0E （3-67；于是系统对输入R（s）的误差E（s）可用下式表示，即E（s）=勺"（s）+&0、誓g 剧司+…+*①”顷0）广衣0）对上式进行拉氏反变换，得气（£）=耳（。）心）+包（O）F（f）+§©（0）尹（£）+・・・+*责％（0）舟：1（£）W可以写成营涂）=5）+ +勺他）+…+方服（.3-69）G=［理（0）,则C3-68）式

可以写成营涂）=5）+ +勺他）+…+方服（.3-69）这里称Ci为误差系数，逐)就是系统的误差函数或称动态误差，且有瓯E2、误差系数的计算方法-长除法(1)直接法：如果误差传递函数乳⑥是有理式，可直接用长除法把乳⑥写成按S的升幂排列的级数，对照式(3-36、68)，该级数的系数就是误差系数。例，某系统的结构图如图3-26所示，试求该系统在输入信号r(t)=t和扰动n(t)=0.1Sint同时作用下的误差函数图3-26图3-26解：①系统为I型系统，在r(t)=t单独作用下，由表3-4可得②扰动单独作用时系统的误差函数根据(3-53)，(3-56)和图3-26，只有扰动N(t)作用时，误差传递函数为用长除法求误差系数:用长除法求误差系数:根据长除法所得商值，对照式（3-67）中出⑥=-0.1s-0.09s2+0.019s3+■■■,Vf（0）=侦］=^（0）=-0.1弓=§店或（0）=一°四弓=?弟期（。）=0.019…又,/四）=0.Isint,.'.风（£）=0.lcos£,龙（£）=-0.Isin£,典）=~0.Icos^■■■对照（3-69）式,',?*（£）=日汾（£）=0.1-