勾股定理整章知识点+例题

1、 探索勾股定理基本知识点梳理知识点一勾股定理（1） 勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方。如果直角三角形的两条直角边长分别是b，斜边长为c，那么a2+b2=C2。（2） 勾股定理公式a2+b2=C2的变形有：a=C2-b2，b=C2-a2及c=a?+b2。（3） 勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中。（4） 应用勾股定理时，要注意确定哪条边是直角三角形的最大边也就是斜边。在RTAABC中，斜边未必是c，当ZA=90°时，a是斜边，a2=b2+c2；当ZB=90°时，b是斜边，b2=a2+c2。例1在^ABC中，/C=90°（1） 若a=5，c=13，则b=（2） 若a：b=3：4.且c=30，^ljb=知识点二勾股定理的验证（1） 勾股定理的证明方法有很多种，如采用了拼图的方法证明的。先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理。（2） 证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理如图是美国总统Garfield于1896年给出的一种验证勾股定理的办法，你能利用它证明勾股定理吗？请写出你的证明过程.（提示：如图三个三角形均是直角三角形）如图，四个全等的直角三角形的拼图，你能验证勾股定理吗？试试看.知识点三勾股定理的应用例2、如图9,在海上观察所A,我边防海警发现正北6km的B处有一可疑船只正在向东方向8km的C处行驶.我边防海警即刻派船前往C处拦截.若可疑船只的行驶速度为40km/h,则我边防海警船的速度为多少时，才能恰好在C处将可疑船只截住？8km C6kmA经典例题全解一、勾股定理与面积的综合运用在AABC中，/ACB=90°,AC=4,BC=3,求RTAABC斜边上的高CD的长度如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算一下土地的面积，以便计算一下产量.小明找了一卷米尺，测得AB=4米，BC=3米，CD=13米，DA=12米，又已知ZB=90度.那么这块土地的面积为多少平方米？如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A，B，C，D的边长分别是3,5,2,3,则最大正方形E的面积是二、翻折问题1、 翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换。2、 折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等。3、 在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系.首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件。解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案。我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数。如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿着直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD的长为如图，长方形ABCD中，AB=4,BC=3,将其沿直线MN折叠，使点C与点A重合，则CN的长为多少？如图，矩形ABCD中，AB=8cm,AD=10cm,E是CD上的一点，沿直线AE把^ADE折叠，点D恰好落在边BC上一点F处，则DE的长度为多少？三、构造直角三角形解决问题如图，小明在广场上先向东走10米，又向南走40米，再向西走20米，又向南走40米，再向东走70米.求小明到达的终止点与原出发点的距离.出发点1040、

20 、4070终止点如图，一巡逻艇在A处，发现一走私船在A处的南偏东60°方向上距离A处12海里的B处，并以每小时20海里的速度沿南偏西30°方向行驶，若巡逻艇以每小时25海里的速度追赶走私船，则追上走私船所需时间是多少？2、能得到直角三角形吗基本知识点梳理知识点一掌握判定直角三角形的条件，即勾股定理的逆定理(1)勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长b,c满足a2+b2=C2，那么这个三角形就是直角三角形。(2)运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直然后进一步结合其他已知条件来解决问题。注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是。例判断满足下列条件的三角形是否是直角三角形在^ABC中，/A=15°，/B=75°在ABC中，AC=12，AB=20，BC=16知识点二知道勾股数的意义，能识别一组数是否是勾股数勾股数：满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数。说明：三个数必须是正整数，例如2.5、6、6.5满足a2+b2=c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数。一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数。记住常用的勾股数再做题可以提高速度。如3,4,5；6,8，10；5，12，13； 经典例题全解一、直角三角形的判定例1、正方形网格中的^ABC，若小方格边为1，则^ABC是二、直角三角形的判定方法的实际意义例2、有一块空白地，/ADC=90°,CD=6米，AD=8米，AB=26米，BC=24米，现计划在该空地上进行绿化，若平均每平方米投资100元，那么该空白地绿化需要多少投入？例3、在西部开发建设中，政府为了方便A、B两个村庄，决定从A向B修筑一条笔直的公路，公路长为13km，而C地有一个半径为4.8km的鱼塘，并且A与C的距离为5km，B与C的距离为12km，请你用学过的知识帮助计算这条公路是否会穿过鱼塘？蚂蚁怎么走最近知识点一直角三角形的判断条件的应用例1、工人师傅将门砌到一定高度时，质检人员要测一下门上的四个角是否为直角，请帮质检人员想一个检验办法，并说明理由。知识点二平面展开-最短路径问题平面展开-最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径。一般情况是两点之间，线段最短。在平面图形上构造直角三角形解决问题。关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型。1、求圆柱侧面上两点间的最短路线问题例2、如图，有一个圆柱，它的高为15cm，底面半径为湍cm，在A点的一只蚂蚁想吃到B点的食物，爬行的最短路程为2、求长方体（或正方体）表面上两点间的最短路线问题例3如图，有一个长方体的长，宽，高分别是6,4,4,在底面A处有一只蚂蚁，它想吃到长方体上面B处的食物，需要爬行的最短路程是多少？例4、如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm.A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最