勾股定理知识要点及重点题型

勾股定理知识要点及重点题型一、知识梳理（一）勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c,那么。2+b2=C2即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。1.用面积法证明勾股定理：（1）如图，将四个全等的直角三角形拼成正方形。(I) (H)(II)(II)TOC\o"1-5"\h\zC / ,、 ，1，(1)5 =(a+b)2=。2+4X-ab。\o"CurrentDocument"正方形ABCD 2C /八，1 ，S -c2=(a-b)2+4X-ab。\o"CurrentDocument"正方形FGH 2勾股定理各种表达式：在RtAABC中，

ZC=90°,ZA.ZB.ZC的对边分另ij为a、b、c. 贝0c2=a2+b2,a2=c2一b2,b2=c2一a2。勾股定理的面积表示法（如右图）勾股定理的作用：（1） 已知直角三角形的两边求第三边。（2） 利用勾股定理解决实际问题。（3） 用于证明平方关系的问题。（二）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。勾股定理是直角三角形的性质定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理。 即：在^ABC中，若a2+b2=。2,则左ABC为RtA0满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.常用的勾股数组如：3,4,5；6,8,10；••-若a,b,c为一组勾股数，那么ka,kb,kc（k为正整数）也是勾股数.如何判定一个三角形是否是直角三角形。首先求出最大边（如c）；验证c2与a2+b2是否具有相等关系。若c2=a2+b2，则△ABC是以/C=90°的直角三角形；若a2+b2>c2，则三角形是锐角三角形；若a2+b2<c2，则三角形是钝角三角形。二、重难点突破1、重点：（1）勾股定理的性质和判定。（2）弄清a,b,c所对应三角形的三边。2、难点：（1）勾股定理及逆定理的运用。（2）勾股定理相关计算和证明。

三、典例剖析专题一：勾股定理例1：1、(直角三角形三边关系)已知直角三角形的两边长分别为3、4,则第三边长为—.变式训练：2、直角三角形有两条边为3和4,问斜边长为.3、 已知直角三角形的斜边长为13,其中一条直角边比另一条直角边长7,则该直角三角形的面积是.4.AABC中，AB=10,AC=17,BC边的高AD=8，求边BC的长。例2.(等面积法的运用)如图已知RtAABC中,ZA=90°,AB=5,AC=12,求斜边BC上的高。变式训练：如图已知：RtAABC中，/ACB=90°,AB=17,AC=8,求△ABC的面积。作CDXAB于D,求CD的长。若点O为此RtAABC内一点且点O到三边的距离相等，作OE、OF、OG分别垂直于AB、AC、BC，求OE的长。例3.(勾股定理法)如图△ABC中，AB=13,BC=14,AC=15,求面积。

变式训练：已知△ABC中，AB=AC=9,CD±AB于D,BD+BC=20,求BD和BC的长?例4：（勾股定理在折叠方面的运用）（2010山东）如图，长方形ABCD中，折痕为EF，合，已知AB=3cm,AD=9cm.求EF的长。变式训练1、（2010绵阳）如图，在△ABC中，/ACB=90°，AD是ZACB的平分线，AACD沿AD翻折，C点落在边AB上的点F处。已知AC=6，BC=8，求DF的长。2、（重庆市竞赛题）如图，长方形纸片ABCD，BC=a，AB=2a，沿对角线AC将^ADC翻折至AEC。求图中重叠部分（阴影部分）的面积。求图中重叠部分（阴影部分）的面积。3、如图，已知，折叠长方形ABCD的一边AD使点D落在BC边的点F处，AB=8cm，BC=10cm，求△FEC的面积。专题二：勾股定理逆定理例4：1、（判定一个三角形的形状）三边长分别是17cm，15cm，8cm的三角形的面积是

cm2。12、如图，正方形ABCD中，E为AD的中点，点F在CD上，且DF二顶CD4连结BE，EF，BF，求证△BEF是直角三角形变式训练如图所示的一块地，/ADC=90°，AD=12m,CD=9m,AB=39m,BC=36,求这块地的面积。专题三：最短路经问题例5：1.如图，有一圆柱底面直径为4cm（设兀=3），高为8cm，在圆柱的下底面点A处.有一只蚂蚁，它想吃到底面与A相对的B处的食物，需爬行的最短路程是多少？2、有一个长宽高分别为2cm，1cm，3cm的长方体，有一只小蚂蚁想从点A爬到点q处，则它爬行的最短路程为cm.3、如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，B且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，*并求出总费用是多少？ I一一C D---

4、如图，已知P是边长为4cm的正方形ABCD的对角线AC上的一个动点.E是CD边上一点，且DE为1cm，求PD+PE的最小值是.变式训练：1、长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm.如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点8,那么所用细线最短需要cm；如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点8,那么所用细线最短需要cm.2、 如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，求蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程dm?3、 如图，菱形ABCD中，AB=2，ZBAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动