基于最优控制的质押存货最优清算策略研究

基于最优控制的质押存货最优清算策略研究

1存货质押融资业务的后期管理中国中小企业对经济发展做出了重大贡献，但资金问题仍在继续。积极发展创新金融产品，促进中小企业快速发展，已成为关系中国国情发展的主要问题。物流公司参与的存款承诺融资模式是解决中小企业资金问题的有效途径。以贷款为贷款的资本类型，贷款公司将其资产的租赁义务以银行作为担保，并将质物交易给具有法律保留资产资格的物流公司（中介机构）。同时，为了获得贷款，运作活动被转移给物流公司（中介机构）。近年来，我国的优质存款融资业务发展迅速。许多物流企业、银行、大型企业积极参与了这一过程，创造了双赢的效果。例如，自1999年中国粮食和银行联合发展了第一种住房抵押贷款形式以来，中国的粮食和货币经济一直在发展。中国的粮食和整理与工商银行、银行、农业银行、银行等10多个金融机构开展了合作。仅2006年1月至10月，中国物资运输部完成了111亿起的承诺。与此同时,对这一迅猛发展的业务模式进行管理控制受到了社会各界人士越来越多的关注,其中不容忽视的是针对此业务后期管理的研究.存货质押融资业务的后期管理主要是指,贷款到期而企业无法清偿贷款,则存货质押融资业务进入清偿阶段的管理控制.当此业务被迫进入清偿阶段,银行需委托具有行业优势的物流企业将质押物进行变现.然而,由于存货质押融资业务中质押存货量往往较大,远高于短期市场需求.银行需要迅速清算质押存货时,难以找到足够的交易对手而被迫以比其期望值低得多的价格成交,这就使得银行承担较大的损失及风险.为解决这一问题,物流企业将利用其行业优势在现货市场、大宗商品交易市场或期货市场上将质押存货进行变现.当一笔大额变现交易在市场上进行时,由于市场流动性的存在以及大额交易行为改变供求平衡等原因,变现行为将引起价格的下跌.因此,银行无法以当前市场价格清算所有质押存货,这就需要使交易损失最小化的最优清算策略来支持质押存货清算顺利进行.本文研究质押存货在现货市场、大宗商品交易市场或期货市场上进行变现的最优清算策略,属于该业务的后期风险管理控制.国内外学者对存货质押融资业务的后期管理,尤其是质押物清算策略的研究还只是停留在定性阶段,没有进行定量分析.目前,只有证券市场领域存在针对最优清算策略的研究.Bertsimas和Lo假定变现时间外生,使用动态规划的方法研究了投资者以常速度在市场中变现股票的最优清算策略.Almgren和Chriss假定变现时间外生,使用均值方差法求解股票市场上的最优变现策略.Dubil采用随机动态规划的方法研究了变现速度恒定下的动态最优清算策略.Konishi以交易量加权的平均价格为标准,研究了变现时间内生的投资者最优清算时间及最优清算策略.国内学者胡小平对证券变现速度做了合理限制,采用最优控制理论求解了证券投资者的最优变现策略及内生的最优变现时间.在存货质押融资业务中,质押物的最优清算策略与证券的最优清算策略存在着显著的差别.存货质押融资业务中,清算期间银行需要委托物流企业利用其行业优势清算质押存货,产生委托管理费用.同时,质押存货往往数量较大,并对库存管理要求高,产生一定的仓储管理费用.因此,管理成本是清算期成本中不可忽视的一项支出.考虑存货质押融资业务中质押存货清算所具有的这些特质,本文借鉴证券最优变现领域的相关成果,构建银行的损失效用函数,采用最优控制理论求解最优清算策略,以帮助银行最大程度地减少由于贷款违约所遭受的损失及承担的风险.2借款企业清算业.1)银行委托物流企业对借款企业进行简单监管,物流企业利用其行业优势负责监管质押存货的价值变化,向银行汇报,以控制存货价值风险,同时物流企业在贷款期末将获得一定的监管收益.物流企业还将负责在企业违约的情况下,协助银行将质押存货以最优清算策略进行变现,最大程度减小银行的损失.假定在清算期间,物流企业与银行合作.2)贷款利率为常数R,银行将委托物流企业监管借款企业的成本r与贷款利率一并向借款企业收取.则t时刻贷款本息和为mt=m0e(R+r)t.3)采取动态控制存货价值量下限的方式.在贷款期期末,质押存货数量为q(tk),质押存货的价格为S(tk),贷款质押率为ω,在该期可能出现以下两种情况:a)当m0e(R+r)t≤ωS(tk)q(tk),借款企业还款,贷款合约顺利结束;b)当m0e(R+r)t≤ωS(tk)q(tk),借款企业拒绝还款,贷款合约中止,进入清算阶段.4)清算期间银行委托物流企业利用其行业优势清算、管理质押存货.设物流企业单位存货日管理成本为k,其中包含委托清算费用、仓储费用、出库入库费用、分检费用等.5)按照学者胡小平的理论可假定市场清算速度v为0或是介于之间.取市场最小交易单位除以交易间隔,取日交易总量除以日交易时间.6)假定质押存货是如铜一类的可在期货市场、现货市场及大宗商品交易市场上交易的标准商品,则按照Smith&McCardle和Brennan&Schwartz的理论,可假定质押存货的短期价格运动服从几何布朗运动规律.几何布朗运动比较准确地描述了金融资产(如权益证券)的价值变化,在一定程度上也能描述商品价格的变化.为了简化计算,本文用算术布朗运动代替几何布朗运动,假设质押存货价格运动服从算术布朗运动ds=σdW(t),其中W(t)为标准维纳过程.7)假定清算期期初,质押存货总量为x(0)=X;清算期期末,质押存货总量将实现x(T)=0.质押存货的清算速度为.8)当大额交易在市场上进行时,由于市场流动性的存在以及大额交易行为改变市场供求平衡等原因,变现行为将引起价格的下跌.这一交易行为只是市场整体交易行为的一部分,由于其他反向交易行为的发生,将导致价格产生一定的回升.若该交易行为代表了市场整体的预期行为则价格回升幅度较少,反之,则价格回升幅度较大.因此,同Holthausen,Leftwich和Mayers的观点,本文将质押存货的变现行为对市场价格的影响分为永久性影响与即时性影响.永久性影响指质押存货变现对市场均衡价格的影响一直持续整个清算期[0,T];即时性影响指质押存货变现仅短时间改变市场的供求平衡,对市场均衡价格的影响只存在于时间段(t-dt,t)内.同Almgren,Chriss的观点,本文假定交易对市场价格的影响与交易量之间为线性关系.永久性影响为g[v(t)]=γv(t),γ>0,γ为永久性影响系数.即时性影响为h[v(t)]=βv(t),β>0,β为即时性影响系数.3减少风险的定义由于交易对价格的永久性影响,市场价格为由于交易对价格的即时性影响,真正实现的交易价格为清算期间,委托物流企业管理的总成本为因此,在清算期间,银行付出的总成本为其中,为交易期间由于价格波动所产生的交易成本.由于v(t)、x(t)是确定性函数,又,则,假设银行的效用函数为均值方差效用函数,则其损失效用函数可表示为其中α反映银行的风险偏好.α<0时,银行偏好风险;α=0时,银行风险中性;α>0时,银行厌恶风险.本文假定银行为风险厌恶者.4最优清算策略下质押存货数量q以实现银行损失效用函数最小化为目标,借鉴相关研究成果,本文采用最优控制理论中的极小值原理求解最优清算策略.银行损失效用函数最小化等价于性能泛函最小化.定义Hamilton函数,得到相应的三个Hamilton方程式:受控系统状态方程,系统伴随方程,极值条件.由极值条件及Hamilton函数的控制域可得该函数在控制域下不同阶段可获得的极小值:时,取使得Hamilton函数得到最小值;时,取;时,取.定理1对于数量充分大的质押存货,清算期[0,T]分为三阶段,相应清算速度如下:证明由极小值原理可得Hamilton函数在最优轨线终点满足H(x*(T),v*(T),λ*(T))=βv*(T)2+λ(-v*(T))=0.由于λ*(T)>0,v*(T)>0,从而.由于时,取使得Hamilton函数得到最小值.则又由于λ*(t)具有单调下降性,因此,可知最优清算速度v*(t)也是随时间单调下降的.由式(10)可得v*(t)在三个时间阶段的值分别为,,.根据Hamilton方程式及相应的边界条件可求得最优变现策略在[0,T1],[T1,T2],[T2,T]三个阶段分别应遵循的变现曲线x1(t),x2(t),x3(t).在[0,T1]阶段,质押存货的数量应遵循曲线进行变现,在[T1,T2]阶段,质押存货的数量应遵循该曲线进行变现,在[T2,T]阶段,质押存货的数量应遵循该曲线进行变现,令其中,θ=2ασ2,,XU为清算期一阶段与二阶段的余留待变现存货数量分界线,XL为清算期二阶段与三阶段的余留待变现存货数量分界线.根据不同的余留存货数量选择相应的清算期阶段,不同的清算期阶段采取不同的清算策略.以下具体讨论当初始待变现存货量X取不同值时,银行相应的最优清算策略和最优清算时间:1)X>XU.根据式(9),最优清算策略是先以常速度卖出存货;当余留的存货数量降至XU时,再沿式(12)描述的最优清算轨线x2(t)卖出存货;当余留的存货数量降至XL时,以常速度卖出存货.总最优清算时间为其中.2)XL≤X≤XU.根据式(9),最优清算策略是先以式(12)描述的最优清算轨线x2(t)卖出存货;当存货量降至XL,再以常速度卖出存货.求得其中总最优清算时间为3)X≤XL.根据式(9),最优清算策略是以常速度变现,直至卖出所有存货.此时,最优清算时间为5最佳清算策略的参数敏感性分析5.1最优清算轨线分析最优清算策略中委托物流企业管理费用K对最优清算策略的影响.当X>XU取K分别为10、20、60三个数值,同时X=120000,,,α=10-8,σ=50%,β=0.004.最优清算轨线如图1所示.在清算期的第一阶段以常速度进行变现,K值的不同对清算策略无影响;在清算期的第二阶段,K值越大,银行每日所付出的成本越高,为了减少清算产生的成本,变现速度更快,清算时间更短,反之亦然;XL值很小,故第三阶段不进行变现交易.当X<XU时,取K分别为10、50、100三个数值,同时X=50000,,,α=10-8,σ=50%,β=0.004,清算只在第二阶段进行.最优清算轨线如图2所示.同样,为了减少交易成本,K值的增大,最优清算时间减小,反之亦然.5.2清算轨线的确定分析最优清算策略中风险偏好系数α对最优清算策略的影响.当X>XU取α分别为10-8、10-3、1三个数值,同时X=120000,,,k=10,σ=50%,β=0.004.最优清算轨线如图3所示.在清算期的第一阶段以常速度进行变现,α值的不同对清算策略无影响;在清算期的第二阶段,银行的风险厌恶程度越高,就越急于将质押存货迅速变现,以避免承担更高的价格波动风险,最优清算时间也就越短,反之亦然;XL值很小,故第三阶段不进行变现交易.当X<XU取α分别为10-8、10-2、1三个数值,同时X=1000,,,k=10,σ=50%,β=0.004,清算只在第二阶段进行.最优清算轨线如图4所示.同样,随着α值的增加,银行的风险厌恶程度也就越高,为避免承担更高未来时期的风险,最优清算时间也就越短,反之亦然.5.3最优清算轨线分析最优清算策略中即时性市场影响系数β对最优清算策略的影响.当X>XU时取β分别为0.004、0.0008、0.000004三个数值,同时取X=120000,,,α=10-8,σ=50%,K=10.最优清算轨线如图5所示.在清算期的第一阶段以常速度进行变现,β值的不同对清算策略无影响;在清算期的第二阶段,β值越大则表明交易行为对市场价格的瞬时影响越剧烈,因此最优清算策略将越缓慢完成,反之亦然;XL值很小,故第三阶段不进行交易.当X<XU时取β分别为0.04,0.004,0.0004三个数值,同时取X=5000,,,α=10-8,σ=50%,K=10,清算只在第二阶段进行.最优清算轨线如图6所示.同样,随着β值的增大,交易对市场价格的瞬时影响越剧烈,最优清算时间越长,反之亦然.6物流企业协助银行变风险假定银行现有的违约质押存货是如铜一类的可在现货市场、大宗商品交易市场或期货市场上交易的标准商品.其市场日平均交易量为5000吨,价格年波动率σ为50%.市场清算速度下界取市场最小交易单位除以交易间隔得10吨,市场清算速度上界取日交易总量除以日交易时间得15000吨.假定委托物流企业管理这批存货的日平均管理费用k为10元/吨,银行风险偏好系数α为10-8.物流企业协助银行变现质押存货时,假定考察到当质押存货的日交易量达到平均交易量的5%时,将对价格产生瞬时冲击,使价格变动一个单位1元,从而得到即时性市场影响系数值为β=1/(5000×5%0)=4×10-3.由式(14)、(15)计算可得XU=90000,XL=0.04≈0.算例1假定清算期初银行有违约质押存货12万吨,大于XU.则银行最优清算策略是先以常速度15000吨/日卖出存货;存货量降至90000吨时,再沿x2(t)卖出存货.最优清算时间共为14天.清算策略如表1所示.由表1可见,银行应在前2天以15000吨/天的速度变现质押存货,接下来的时间,变现速度逐渐减小.这是由交易对市场价格的影响、市场流动性、质押存货的流动性变化所造成的.算例2假定清算期初银行有违约质押存货5000吨,小于XU,大于XL.银行的最优清算策略是以式(12)描述