基于小波变换的频谱分析方法

基于小波变换的频谱分析方法

一、采样频率选取频带分析通常采用快速傅立叶变换（fft）方法，但高速傅立叶变换信号频率的计算精度由采样频率和采样点决定。假设采样频率为fs,采样点数为N,则频率分辨率为Δf=fs/N。对于待检测信号如果采样频率选取过高,将产生过饱和现象;如果采样频率选取过低,将产生欠采样现象。这两种情况就使得采样频率的选取受到限制。实际应用中,采用增加采样点数来提高频率分辨率,其缺点在于增加运算量,使实时性降低;此外,有些实际信号的变化比较快,而增加采样点数必然增加采样时间,这样就导致频谱检测跟踪不上信号的变化,从而限制了使用增加采样点数来提高频率分辨率的应用场合。本文提出了基于小波变换的频谱分析方法,通过小波变换方法来提高频率分辨率,对短数据仍然具有较高的频率分辨率,从而满足信号频谱检测准确度需求。二、小波变换方法用于提高光谱分辨率1.基于尺度的频谱检测小波变换的实质是使信号通过一组带通滤波器,这些滤波器的通带特性决定着信号频谱检测的精度。对于不同的信号希望有一个适合该信号的带通滤波器。根据小波变换的理论,小波滤波器的中心频率和通带带宽与尺度α成反比,这样就可以通过选择变换尺度α的值来选择滤波器的特性完成最佳的频谱检测。从而实现较短数据下的高分辨率的频谱检测,使用Morlet小波,其基本小波函数为Ψ(t)=e-t/Teuω0t(1)其对应不同尺度的频率特性为Ψ(αω)=π/T−−−−√⋅e[−(αω−ω0)2/(4/T)](2)Ψ(αω)=π/Τ⋅e[-(αω-ω0)2/(4/Τ)](2)式(1)和式(2)中,ω0是最大谱估计频率,为采样频率fs的一半;α是尺度因子;T为采样时间间隔。由式(1)和式(2)可以得出,滤波器的中心频率为ω0/α=fs/2α,其带宽随中心频率变化而变化。中心频率高,带宽宽;中心频率低,带宽窄。但带宽和中心频率的比值不变,这是常数Q滤波器。缓慢改变尺度就会使得滤波器的中心频率缓慢变化,两个邻近的滤波器的通带有共同的部分,信号通过这共同部分时,都可以得到正确的频谱检测结果。通过改变尺度α的值就可以精确控制滤波器特性,从而提高信号频谱检测的精度。实际中,只需要在感兴趣的频率段改变尺度就可以了。假设单一正弦信号通过连续的一组滤波器,这些滤波器的通带覆盖着0～fs/2的频率段,相邻的滤波器之间具有共同的通带频率段。尺度α的变化控制这些滤波器的特性,如果尺度α=1,则频率分辨率仅仅决定于采样点数和采样频率,这就和经典的FFT有同样的频率分辨率;如果使用尺度α=0.5,在同样采样点数下,则频率分辨率提高一倍,从而得到精确的频谱检测。使用尺度α为一个变化的量就可以实现不同频率段具有不同的频率分辨率。实际情况下,我们通过改变尺度α设置滤波器的带宽为滤波器中心频率的十分之一,每一个尺度对应一个滤波器,采样后的信号每经过一个滤波器都会得到一个检测结果,信号经过其中一个或两个相邻的滤波器后完全通过,从而得到正确的频谱检测结果。大部分滤波器将滤掉信号,只得到噪声。这通过比较数据可以判断出哪一组滤波器得到信号。对于信号幅度大于噪声幅度的信号检测,通过简单的比较数据大小就可以得到正确的结果;对于信号幅度小于噪声幅度的信号检测,只有通过多次检测才能判断出信号所在的频率段,此种情况,不在本论文考虑之中。2.调整采样频率在信号频谱检测中,总是希望信号频率正好落在带通滤波器通带的中心处。这样,信号几乎完全通过,而噪声达到最大限度的抑制。在实际信号频谱检测中,仅仅改变尺度的值不能保证信号频率正好落在带通滤波器通带的中心处,从而很难达到对检测精度要求很高的信号频谱检测,文献中达到10‰左右的检测精度。为了达到1‰的检测准确度,必须将信号尽可能的通过滤波器的中心处,也就是信号频率尽可能的接近滤波器通带的中心频率。我们采取调整采样频率来确保信号通过滤波器通带的中心处。这样,需要进行4～5次左右的采样频率的调整,一般情况下三次就满足要求。调整采样频率的过程如下:首先,选择一个适应范围较广的采样频率(例如,1kHz采样可以适用于100Hz～500Hz信号频率)得到一次精度较差的检测结果(为了提高检测时间,可以将尺度设置为1,和FFT有同样的频率分辨率,也可以直接使用FFT做第一次的频率检测);再紧接着以上一次的估计结果调整采样频率;一般选择采样频率为上一次检测结果的16倍,重复这个过程,直到最后两次频谱估计结果一样或很接近,完成频率检测,得到准确度较高的检测结果。这样调整采样频率的优点有三点,第一,保证了信号频谱检测的准确度;第二,初始化的采样频率选择范围广,只需要满足采样定理,减少了采样频率初始化过程;第三,只要检测到信号检测,就可以跟踪上信号频率的渐变过程,对于突变或者跳变的信号需要重新初始化,重新搜索信号频率。三、高频采样频率仿真考察如下信号的频谱检测结果y(t)=10sin(2πf0t+φ0)+4sin(2πf1t+φ1)+sin(2πfl,h)+dis(3)式中,f0是信号的主频率,也就是待估计的频率;f1是谐波干扰频率;φ0和φ1是相应的初始相位,φ0=φ1=0.2π,fl,h表示高频和低频干扰;dis是在0～1之间随机抽取的数据,均值为0.5。分别对输出信号频率在低频f0=40.5Hz处以及高频f0=600.5Hz进行仿真。这里,确定采样点数为64点。图1是低频情况下的频率检测结果,f0=40.5Hz,f1=50Hz,采样频率为200Hz,图中,曲线最大值对应的频率为40.56Hz,检测准确度为1.48‰。图2是高频情况下的频率检测结果,f0=600.5Hz,f1=580Hz,采样频率为3000Hz,图中,曲线最大值对应的频率为601.41Hz,检测准确度为1.52‰。图1和图2中的曲线可以随着采样点数的增加逼近到0Hz,在实际中没有必要检测很低频率段。表1是对应不同初始化采样频率对信号主频f0的检测结果,表中频率单位为Hz,精度单位为‰。仿真结果表明,对于一定的信号频率,只要采样频率设置的合适就可以很精确的测量到信号频率,可以使最大误差小于1‰。随机噪声、谐波以及高低频率处的干扰对信号主频率频谱的检测影响不大。即使初始化采样频率设置的不正确,依然可以根据测量结果逐步逼近最佳采样频率。理论上,只要检测的次数足够多,总可以逼近最佳采样频率;实际上,考虑到实时性的要求,一般设置初始化采样频率在信号频率到十倍信号频率之间。这样,只需要通过四次调整就可以接近最佳采样频率。一旦采样频率接近最佳采样频率,每一次的测量值基本上很接近,通过比较两次或更多次的测量结果就可以确定采样频率为最佳采样频率,从而结束对采样频率的调整。四、仿真率估计方法仿真使用式(3)提供的信号进行其他频率估计方法的仿真,设置信号采样点数和小波分析方法一样,均为64个采样点,设置f0=64Hz,f1=50Hz。1.fft算法与非整周期采样经典周期图法使用FFT变换,然后求取FFT变换后数据的模,从而得出信号的功率谱图。对于式(3)的信号,根据采样定理其采样频率最低为128Hz,此时周期图法的频率分辨率为128/64=2Hz,这也是在64点采样数据下能够达到的最小频率分辨率。对式(3)的信号进行仿真,选择同样的采样点数,FFT算法的检测准确度在4‰以上。实际中,采样频率一般设置都比信号频率的2倍大一点,所以,周期图法的实际频率分辨率还要大。从而导致检测的精度进一步降低。此外,非整周期采样对周期图的检测结果有一定的影响,实际应用中很难实现整周期采样。图3是FFT算法的谱估计图。2.bg算法仿真Burg算法是建立在数据基础上的AR系数求解的有效算法,其特点是根据线性预测原理,令前后向预测误差功率之和最小。但信号中加入白噪声后Burg算法对谱估计会出现谱线分裂现象。利用Burg算法进行频率估计,建立5阶模型,对式(3)的信号进行仿真,选择同样的采样点数,Burg算法的检测准确度在3‰以上,同时,在仿真时我们发现谐波干扰对Burg算法的影响是很大的,在有谐波干扰时如果采样频率选择得不好,Burg算法会得到错误的检测结果。图4是Burg算法的谱估计图。五