高中数学一轮复习考点专题83 特殊值法解决二项式展开系数问题 (含解析)

PAGE微专题83特殊值法解决二项式展开系数问题一、基础知识：1、含变量的恒等式：是指无论变量在已知范围内取何值，均可使等式成立。所以通常可对变量赋予特殊值得到一些特殊的等式或性质2、二项式展开式与原二项式呈恒等关系，所以可通过对变量赋特殊值得到有关系数（或二项式系数）的等式3、常用赋值举例：（1）设SKIPIF1<0，①令SKIPIF1<0，可得：SKIPIF1<0②令SKIPIF1<0，可得：SKIPIF1<0，即：SKIPIF1<0（假设SKIPIF1<0为偶数），再结合①可得：SKIPIF1<0（2）设SKIPIF1<0①令SKIPIF1<0，则有：SKIPIF1<0，即展开式系数和②令SKIPIF1<0，则有：SKIPIF1<0，即常数项③令SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0为偶数，则有：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即偶次项系数和与奇次项系数和的差由①③即可求出SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的值二、典型例题：例1：已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为________思路：观察发现展开式中奇数项对应的SKIPIF1<0指数幂为奇数，所以考虑令SKIPIF1<0，则偶数项相同，奇数项相反，两式相减即可得到SKIPIF1<0的值解：令SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0①令SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0②①SKIPIF1<0②可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0答案：SKIPIF1<0例2：已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0思路：本题虽然恒等式左侧复杂，但仍然可通过对SKIPIF1<0赋予特殊值得到系数的关系式，观察所求式子特点可令SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，只需再求出SKIPIF1<0即可。令SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0答案：B例3：设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0思路：所求SKIPIF1<0，在恒等式中令SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0答案：A例4：若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0等于（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0思路：虽然SKIPIF1<0展开式的系数有正有负，但SKIPIF1<0与SKIPIF1<0对应系数的绝对值相同，且SKIPIF1<0均为正数。所以只需计算SKIPIF1<0展开的系数和即可。令SKIPIF1<0，可得系数和为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0答案：A例5：若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0__________思路：所求表达式可变形为：SKIPIF1<0，从而只需求出SKIPIF1<0和系数和即可。令SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0答案：2014例6：若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0等于（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0思路：由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所求表达式只需令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0答案：A例7：若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0思路：所求表达式中的项呈现2的指数幂递增的特点，与恒等式联系可发现令SKIPIF1<0，可得：SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以所求表达式变形为：SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，从而表达式的值为SKIPIF1<0答案：D例8：已知SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0思路：在恒等式中令SKIPIF1<0可得系数和SKIPIF1<0，与条件联系可考虑先求出SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，展开式中SKIPIF1<0为最高次项系数，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0答案：B例9：若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值是（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0思路：观察所求式子中SKIPIF1<0项的系数刚好与二项展开式中SKIPIF1<0所在项的次数一致，可联想到幂函数求导：SKIPIF1<0，从而设SKIPIF1<0，恒等式两边求导再令SKIPIF1<0可解得SKIPIF1<0的值，再在原恒等式中令SKIPIF1<0计算出SKIPIF1<0即可解：设SKIPIF1<0SKIPIF1<0令SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0而在SKIPIF1<0中，令SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0答案：D例10：若等式SKIPIF1<0对于一切实数SKIPIF1<0都成立，则SKIPIF1<0（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0思路：从所求表达式项的系数与展开式对应项联系起来可联想到在恒等式中两边同取不定积分。例如：SKIPIF1<0，再利用赋值法令SKIPIF1<0即可得到所求表达式的值解：SKIPIF1<0，两边同取不定积分可得：SKIPIF1<0令SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0令SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0S