江西省南昌市二十八中教育集团联盟2023-2024学年九年级上学期开学考试数学试题（含解析）

南昌二十八中教育集团2023—2024学年暑期开学阶段性测试卷九年级数学一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1.中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中不是轴对称图形的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【详解】解：A，B，D选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；C选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；故选：C．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2.石墨烯具有优异的光学、电学、力学特性，在材料学、微纳加工、能源、生物医学和药物传递等方面具有重要的应用前景，被认为是一种未来革命性的材料，石墨烯中每两个相邻碳原子间的键长为0.000000000142米，数字“0.000000000142”用科学记数法表示为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．【详解】解：数字“0.000000000142”用科学记数法表示为．故选：B．【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．3.若一个三角形的三边长分别为2、6、a，则a的值可以是（）A.3 B.4 C.7 D.8【答案】C【解析】【分析】根据三角形的三边关系列出不等式，即可求出a的取值范围．【详解】解：∵三角形的三边长分别为2，6，a，∴6－2＜a＜6+2，即4＜a＜8，故选：C．【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，熟知三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键．4.下列二次根式中，能与合并的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先化简二次根式，根据同类二次根式的定义即可得出答案．【详解】解：A．，不能与合并，故该选项不符合题意；B．，能与合并，故该选项符合题意；C．，不能与合并，故该选项不符合题意；D．，不能与合并，故该选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了同类二次根式，二次根式的性质与化简，掌握一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键．5.如图，在中，点、、分别、、中点，以这些点为顶点，在图中能画出多少个平行四边形（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】C【解析】【分析】连接、、，根据三角形中位线定理和平行四边形的判定定理，即可得到答案．【详解】解：如图，连接、、，点、、分别是、、中点，、、是的三条中位线，，，，，，，平行四边形有、、，共3个，故选：C．【点睛】本题考查了三角形中位线定理和平行四边形的判定定理，解题关键是掌握三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半．6.如图，用弹簧测力计将一铁块悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，使铁块完全露出水面，并上升一定高度，则下列能反映弹簧测力计的读数y（单位：N）与铁块被提起的时间x（单位：s）之间的函数关系的大致图象是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据浮力的知识，铁块露出水面前读数不变，出水面后逐渐增大，离开水面后不变．【详解】解：由浮力知识得：，读数即为，在铁块露出水面以前，浮力不变，则此过程中弹簧的读数不变，当铁块慢慢露出水面开始，浮力减小，则拉力增加，弹簧的读数逐渐增大，当铁块完全露出水面后，浮力等于0，拉力等于重力，弹簧的读数不变，观察四个选项可知，只有选项A符合，故选：A．【点睛】本题考查了函数图象，解答本题的关键是明确题意，掌握一定的物理知识．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7分解因式：3x3－27x=________．【答案】3x(x－3)(x＋3)【解析】【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行求解．【详解】解：．故答案为：．【点睛】本题主要考查了提取公因式法和公式法分解因式，理提取公因式法和平方差公式是解答关键．8.某校举行了“珍爱生命，预防溺水”为主题的演讲比赛，提高学生的安全意识．演讲者的最终比赛成绩按照演讲内容、现场效果、外在形象三项得分分别占40%，40%，20%的比例折算．已知李明同学的三项原始得分分别是90分，95分，90分，那么李明同学最终比赛成绩为__________分．【答案】92【解析】【分析】利用加权平均数的计算方法求解即可．【详解】解：李明同学最终比赛成绩为（分）．故答案为：92．【点睛】本题考查了加权平均数，属于基础题，关键是掌握加权平均数的计算方法．9.在平面直角坐标系中，将向下平移3个单位，所得函数图象过，则a的值为______．【答案】【解析】【分析】先得到平移后的函数表达式，再代入，解方程即可得到答案．【详解】解：将向下平移3个单位得到，把代入得到，解得，故答案为：【点睛】此题考查了一次函数的平移和求自变量的的值，熟练掌握平移规律是解题的关键．10.以正五边形的顶点C为旋转中心，按顺时针方向旋转，使得新五边形的顶点落在直线上，则正五边旋转的度数至少为______°．【答案】【解析】【分析】依据正五边形的外角性质，即可得到的度数，进而得出旋转的角度．【详解】解：∵五边形是正五边形，∴，∴新五边形的顶点落在直线上，则旋转的最小角度是，故答案为：．【点睛】本题主要考查了正多边形、旋转性质，关键是掌握正多边形的外角和公式的运用．11.如图，在中，，，，分别是边，的中点，点在上，且，则的长是___________【答案】3【解析】【分析】根据三角形中位线定理和直角三角形的性质即可得到结论．【详解】解：∵点D，E分别是边，的中点，∴是的中位线，∵，∴，∵，∴，∴，故答案为：3．【点睛】本题考查了三角形中位线定理，直角三角形的性质，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．12.已知函数与，若，则x的值是__________．【答案】1或2或4【解析】【分析】根据分两种情况分别列出方程，并求解即可．【详解】解：∵，∴或解得：或或，故答案为：1或2或4【点睛】本题考查了一元一次方程及一元二次方程的解法，解决本题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法．三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13.（1）计算：（2）解方程：【答案】（1）3；（2），【解析】【分析】（1）利用算术平方根的定义、零指数幂、负指数幂的性质分别化简得出答案；（2）移项后提取公因式，然后利用因式分解法求得一元二次方程的解即可．【详解】（1）原式；（2），或，解得，．【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．14.以下是某同学化简分式的部分运算过程：解：原式…………第一步…………第二步…………第三步……（1）上面的运算过程中第___________步开始出现了错误；（2）请你写出完整的解答过程．【答案】（1）一（2）见解析【解析】【分析】（1）根据解答过程逐步分析即可解答；（2）根据分式混合运算法则进行计算即可．【小问1详解】解：故第一步错误．故答案为：一．【小问2详解】解：．【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，灵活运用分式的混合运算法则是解答本题的关键．15.如图，等边三角形的边长是4，D，E分别为边，的中点，延长至点F，使，连接，，．（1）求证：四边形是平行四边形；（2）求的长．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）由三角形中位线定理得，，再由，得，且，即可得出结论；（2）由平行四边形的性质得，再由等边三角形的性质得，，然后由勾股定理求出的长，即可解决问题．【小问1详解】证明：、分别是，中点，是的中位线，，，，，且，四边形是平行四边形；小问2详解】由（1）可知，四边形为平行四边形，，是等边三角形，，为的中点，，，，，．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、等边三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．16.已知四边形ABCD是平行四边形，BD为对角线，分别在图①、图②中按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）．（1）如图①，点P为AB上任意一点，请仅用无刻度的直尺在CD上找出另一点Q，使AP＝CQ；（2）如图②，点P为BD上任意一点，请仅用无刻度的直尺在BD上找出一点Q，使BP＝DQ．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）连接AC交BD于点O，作直线OP交CD于点Q，点Q即为所求作．（2）连接AC，连接AP延长至BC于E，连接EO延长至AD于F，连接CF交BD于点Q即为所求作．【小问1详解】根据平行四边形的性质可得，如图①，点Q即为所求作．【小问2详解】连接AC，连接AP延长至BC于E，连接EO延长至AD于F，连接CF交BD于点Q，则如图②，点Q即为所求作．【点睛】本题考查了作图和平行四边形的性质，解决本题的关键是掌握平行四边形的性质．17.已知关于x的一元二次方程（a+b）x2﹣2cx+（a﹣b）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．（1）如果x＝1是方程的一个根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．【答案】（1）△ABC是等腰三角形，理由见解析（2）x1＝0，x2＝1【解析】【分析】（1）结合题意，根据一元二次方程的性质，将果x＝1代入到原方程，计算得a＝c，根据等腰三角形的性质分析，即可得到答案；（2）根据等边三角形的性质，得a＝b＝c，代入原方程，得x2﹣x＝0，通过求解一元二次方程，即可得到答案．【小问1详解】解：∵x＝1是方程的根，∴（a+b）﹣2c+（a﹣b）＝0，∴a+b﹣2c+a﹣b＝0，∴a﹣c＝0，∴a＝c∴△ABC是等腰三角形；【小问2详解】解：∵△ABC是等边三角形，∴a＝b＝c，∴原方程可化为：2ax2﹣2ax＝0，∴x2﹣x＝0，∴∴x1＝0，x2＝1．【点睛】本题考查了一元二次方程、等腰三角形、等边三角形的知识，解题的关键是熟练掌握一元二次方程、等腰三角形的性质，从而完成求解．四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18.“人间烟火味，最抚凡人心”，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源．某经营者购进了型和型两种玩具，已知用520元购进型玩具的数量比用175元购进型玩具的数量多30个，且型玩具单价是型玩具单价的倍．（1）求两种型号玩具的单价各是多少元？根据题意，甲、乙两名同学分别列出如下方程：甲：，解得，经检验是原方程的解．乙：，解得，经检验是原方程的解．则甲所列方程中的表示_______，乙所列方程中的表示_______；（2）该经营者准备用1350元以原单价再次购进这两种型号的玩具共200个，则最多可购进型玩具多少个？【答案】（1）型玩具的单价；购买型玩具的数量（2）最多购进型玩具个【解析】【分析】（1）根据方程表示的意义，进行作答即可；（2）设最多购进型玩具个，根据题意，列出方程进行求解即可．【小问1详解】解：对于甲：表示的是：用520元购进型玩具的数量比用175元购进型玩具的数量多30个，∴分别表示型玩具和型玩具的数量，∴表示型玩具的单价；对于乙：表示的是：型玩具单价是型玩具单价的倍，∴，分别表示表示型玩具和型玩具的单价，∴表示购买型玩具的数量；故答案为：型玩具的单价；购买型玩具的数量【小问2详解】设购进型玩具个，则购买型玩具个，由（1）中甲同学所列方程的解可知：型玩具的单价为5元，则型玩具的单价为元，由题意，得：，解得：，∵为整数，∴；答：最多购进型玩具个．【点睛】本题考查分式方程和一元一次不等式的应用．读懂题意，找准等量关系，正确的列出方程和不等式，是解题的关键．19.已知一次函数（k、b为常数，且）的图象（如图1）．（1）________，________；（2）正比例函数（m为常数，且）与一次函数相交于点P（如图2），则不等式的解集为________：不等式组的解集为________．【答案】（1），（2），【解析】【分析】（1）直接将，代入求解即可；（2）看函数图象的高低，从函数图象中找出函数在上方部分时的值可得的解集；从函数图象中找出函数和都在轴上方所对应的自变量的范围即为不等式组的解集．【小问1详解】解：分别将，代入得：，解得；故答案为：，；【小问2详解】观察函数图象可得：当时，函数在上方，∴的解集为，观察函数图象，当时，函数和都在轴上方，则不等式组的解集为；故答案为：，．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：一次函数与一元一次不等式的关系从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．也考查了一次函数与一元一次方程．20.古希腊的几何学家海伦在他的《度量》一书中给出了利用三角形的三边求三角形面积的“海伦公式”：如果一个三角形的三边长分别为、、，设，则三角形的面积．我国南宋著名的数学家秦九韶，曾提出利用三角形的三边求面积的“秦九韶公式”（三斜求积术）：如果一个三角形的三边长分别为、、，则三角形的面积．依据上述公式解决下列问题：（1）若一个三角形的三边长分别是5，6，7，则这个三角形的面积等于______；（2）若一个三角形的三边长分别是，3，，求这个三角形的面积．【答案】（1）（2）3【解析】【分析】（1）把三角形的三边的长代入p，然后代入S，计算即可得解；（2）把三角形的三边的长代入S，计算即可得解．【小问1详解】解：，；故答案为：；【小问2详解】解：．【点睛】本题属于材料阅读题，创新题型，主要考查了二次根式的应用，难点在于对各项整理利用算术平方根的定义计算．五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21.甲、乙两名队员参加射击训练，每人射击10次，成绩分别如下：根据以上信息，整理分析数据如下：平均成绩/环中位数/环众数/环方差甲a771.2乙7b8c（1）a＝，b＝，c＝．（2）填空：（填“甲”或“乙”）．从中位数的角度来比较，成绩较好的是；从众数的角度来比较，成绩较好的是；成绩相对较稳定的是．（3）从甲、乙两名队员中选一名队员参加比赛，选谁更合适，为什么？【答案】（1）7，7.5，4.2（2）乙，乙，甲（3）选乙，理由见解析【解析】【分析】（1）根据平均数、中位数、方差的定义分别计算即可解决问题；（2）由表中数据可知，甲，乙平均成绩相等，根据中位数即可解答；甲，乙平均成绩相等，根据众数即可解答；根据方差的意义即可解答；（3）根据表格中的数据可以得到应选派哪一名队员参赛，注意本题答案不唯一，只要合理即可．【小问1详解】，，，故答案为：7，7.5，4.2；【小问2详解】由表中数据可知，甲，乙平均成绩相等，乙的中位数，众数均大于甲，说明乙的成绩好于甲，乙的方差大于甲．从平均数和中位数的角度来比较，成绩较好的是乙；从平均数和众数的角度来比较，成绩较好的是乙；成绩相对较稳定的是甲．故答案为：乙，乙，甲；【小问3详解】选乙，理由：甲、乙两名队员平均成绩一样，但乙的中位数比甲高，众数比甲高，说明乙的高分比甲多，所以选乙更合适．（答案不唯一）．【点睛】本题考查了条形统计图、折线统计图、平均数、中位数、众数、方差等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．22.已知：直线与x轴、y轴分别相交于点A和点B，点C在线段上．将沿折叠后，点O恰好落在边上点D处．（1）直接写出点A，点B的坐标；（2）求的长度；（3）取的中点M，若点P在y轴上，点Q在直线上，存在以C、M、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，则点Q的坐标为______．【答案】（1）；（2）；（3）或或【解析】【分析】（1）首先由直线，计算即可得出点A，B的坐标；（2）设，则，在中，利用勾股定理列方程可得答案；（3）求得，，设，，分当是对角线、是对角线、是对角线时，利用中点坐标公式即可求得点Q的坐标．【小问1详解】解：对于直线，令，则，令，则，∴；【小问2详解】解：∵，∴，由勾股定理得，，∵将沿折叠后，点O恰好落在边上点D处．∴，∴，设，则，在中，由勾股定理得，，解得，∴；【小问3详解】解：∵M是的中点，∴，∵，∴，设，，当是对角线时，则有，解得，，∴；当对角线时，则有，解得，，∴；当是对角线时，则有，解得，，∴；综上，点Q的坐标为