2024届云南省西南名校联盟高一数学第一学期期末调研试题含解析

2024届云南省西南名校联盟高一数学第一学期期末调研试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．设全集，，，则（）A. B.C. D.2．若∃x∈[0，3]，使得不等式x2﹣2x+a≥0成立，则实数a的取值范围是（）A.﹣3≤a≤0 B.a≥0C.a≥1 D.a≥﹣33．长方体中，，，则直线与平面ABCD所成角的大小A. B.C. D.4．设，，，则a，b，c的大小关系是（）A. B.C. D.5．是定义在上的偶函数，在上单调递增，，，则下列不等式成立的是（）A. B.C. D.6．函数的图像恒过定点，则的坐标是（）A. B.C. D.7．若函数的定义域为R，则下列函数必为奇函数的是（）A. B.C. D.8．已知函数，且，则A.3 B.C.9 D.9．函数f(x)=-|sin2x|在上零点的个数为()A.2 B.4C.5 D.610．的值是A.0 B.C. D.1二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．夏季为旅游旺季，青岛某酒店工作人员为了适时为游客准备食物，调整投入，减少浪费，他们统计了每个月的游客人数，发现每年各个月份的游客人数会发生周期性的变化，并且有以下规律：①每年相同的月份，游客人数基本相同；②游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约200人；③2月份的游客约为60人，随后逐月递增直到8月份达到最多.则用一个正弦型三角函数描述一年中游客人数与月份之间关系为__________；需准备不少于210人的食物的月份数为__________.12．已知在同一平面内，为锐角,则实数组成的集合为_________13．函数的单调减区间为__________14．已知函数是幂函数，且时，单调递减，则的值为___________.15．已知，，则的值为_______.16．已知集合（1）当时，求的非空真子集的个数；（2）当时，若，求实数的取值范围三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．提高隧道的车辆通行能力可改善附近路段高峰期间的交通状况.在一般情况下，隧道内的车流速度(单位：千米/小时)和车流密度(单位：辆/千米)满足关系式：.研究表明：当隧道内的车流密度达到辆/千米时造成堵塞，此时车流速度是千米/小时.（1）若车流速度不小于千米/小时，求车流密度的取值范围；（2）隧道内的车流量(单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时)满足，求隧道内车流量的最大值(精确到辆/小时)，并指出当车流量最大时的车流密度.18．已知关于x的不等式：a（1）当a=-2时，解此不等式；（2）当a>0时，解此不等式19．在①f(x)是偶函数；②是f(x)的图象在y轴右侧的第一个对称中心；③f(x)相邻两条对称轴之间距离为.这三个条件中任选两个，补充在下面问题的横线上，并解答.已知函数f(x)=sin(x+)(>0，0<<π)，满足________.（1）求函数f(x)的解析式；（2）将函数y=f(x)图象向右平移个单位，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍后所得到的图象对应的函数记作y=g(x)；若函数F(x)=f(x)+kg(x)在(0，nπ)内恰有2021个零点，求实数k与正整数n的值.20．中国茶文化博大精深，小明在茶艺选修课中了解到，不同类型的茶叶由于在水中溶解性的差别，达到最佳口感的水温不同.为了方便控制水温，小明联想到牛顿提出的物体在常温环境下温度变化的冷却模型：如果物体的初始温度是，环境温度是，则经过时间（单位：分）后物体温度将满足：，其中为正的常数.小明与同学一起通过多次测量求平均值的方法得到初始温度为98℃的水在19℃室温中温度下降到相应温度所需时间如表所示：从98℃下降到90℃所用时间1分58秒从98℃下降到85℃所用时间3分24秒从98℃下降到80℃所用时间4分57秒（1）请依照牛顿冷却模型写出冷却时间（单位：分）关于冷却水温（单位：℃）函数关系，并选取一组数据求出相应的值（精确到0.01）.（2）“碧螺春”用75℃左右的水冲泡可使茶汤清澈明亮，口感最佳.在（1）的条件下，水煮沸后在19℃室温下为获得最佳口感大约冷却___________分钟左右冲泡，请在下列选项中选择一个最接近的时间填在横线上，并说明理由.A.5B.7C.10（参考数据：，，，，）21．已知函数.（1）判断函数在上的单调性，并用定义证明；（2）记函数，证明：函数在上有唯一零点.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解题分析】先求出集合B的补集，再求【题目详解】因为，，所以，因为，所以，故选：B2、D【解题分析】等价于二次函数的最大值不小于零，即可求出答案.【题目详解】设，，使得不等式成立，须，即，或，解得.故选:D【题目点拨】本题考查特称命题成立求参数的问题，等价转化是解题的关键，属于基础题.3、B【解题分析】连接，根据长方体的性质和线面角的定义可知：是直线与平面ABCD所成角，在底面ABCD中，利用勾股定理可以求出，在中，利用锐角三角函数知识可以求出的大小.【题目详解】连接，在长方体中，显然有平面ABCD，所以是直线与平面ABCD所成角，在底面ABCD中，，在中，，故本题选B.【题目点拨】本题考查了线面角的求法,考查了数学运算能力.4、C【解题分析】先判断，再判断得到答案.【题目详解】；；；，即故选：【题目点拨】本题考查了函数值的大小比较，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.5、C【解题分析】根据对数的运算法则，得到，结合偶函数的定义以及对数函数的单调性，得到自变量的大小，根据函数在上的单调性，得到函数值的大小，得到选项.【题目详解】，而，因为是定义在上的偶函数，且在上单调递增，所以，所以，故选：C.6、D【解题分析】利用指数函数的性质即可得出结果.【题目详解】由指数函数恒过定点，所以函数的图像恒过定点.故选：D7、C【解题分析】根据奇偶性的定义判断可得答案.【题目详解】，由得是偶函数，故A错误；，由得是偶函数，故B错误；，由得是奇函数，故C正确；，由得是偶函数，故D错误；故选：C.8、C【解题分析】利用函数的奇偶性以及已知条件转化求解即可【题目详解】函数g（x）＝ax3+btanx是奇函数，且,因为函数f（x）＝ax3+btanx+6（a，b∈R），且，可得＝﹣3，则＝﹣g（）+6＝3+6＝9故选C【题目点拨】本题考查函数的奇偶性的应用，函数值的求法，考查计算能力．已知函数解析式求函数值，可以直接将变量直接代入解析式从而得到函数值，直接代入较为繁琐的题目，可以考虑函数的奇偶性的应用，利用部分具有奇偶性的特点进行求解，就如这个题目.9、C【解题分析】在同一坐标系内画出两个函数y1=与y2=|sin2x|的图象，根据图象判断两个函数交点的个数，进而得到函数零点的个数【题目详解】在同一直角坐标系中分别画出函数y1=与y2=|sin2x|的图象，结合图象可知两个函数的图象在上有5个交点，故原函数有5个零点故选C【题目点拨】判断函数零点的个数时，可转化为判断函数和函数的图象的公共点的个数问题，解题时可画出两个函数的图象，通过观察图象可得结论，体现了数形结合在解题中的应用10、B【解题分析】利用诱导公式和和差角公式直接求解.【题目详解】故选：B二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、①.②.5【解题分析】设函数为，根据题意，即可求得函数的解析式，再根据题意得出不等式，即可求解.【题目详解】设该函数为，根据条件①，可知这个函数的周期是12；由②可知，最小，最大，且，故该函数的振幅为100；由③可知，在上单调递增，且，所以，根据上述分析，可得，解得，且，解得，又由当时，最小，当时，最大，可得，且，又因为，所以，所以游客人数与月份之间的关系式为，由条件可知，化简得，可得,解得，因为，且，所以，即只有五个月份要准备不少于210人的食物.故答案为：；.12、【解题分析】分析：根据夹角为锐角得向量数量积大于零且向量不共线，解得实数组成的集合.详解：因为为锐角，所以且不共线，所以因此实数组成的集合为，点睛：向量夹角为锐角的充要条件为向量数量积大于零且向量不共线，向量夹角为钝角的充要条件为向量数量积小于零且向量不共线.13、##【解题分析】由幂函数、二次函数的单调性及复合函数单调性的判断法则即可求解.【题目详解】解：函数的定义域为，令，，，因为函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以函数的单调减区间为，单调增区间为.故答案为：.14、【解题分析】根据幂函数定义求出m的值，根据函数的单调性确定m的值，再利用对数运算即可.【题目详解】为幂函数，，解得：或当时，在上单调递增，不符合题意，舍去；当时，在上单调递减，符合题意；，故答案为：15、－.【解题分析】将和分别平方计算可得.【题目详解】∵，∴，∴，∴，又∵，∴，∴,故答案为：－.【点晴】此题考同脚三角函数基本关系式应用，属于简单题.16、（1）30（2）或【解题分析】（1）当时，可得中元素的个数，进而可得的非空真子集的个数；（2）根据，可分和两种情况讨论，可得出实数的取值范围【小问1详解】当时，，共有5个元素，所以的非空真子集的个数为【小问2详解】（1）当时，，解得；（2）当时，根据题意作出如图所示的数轴，可得或解得：或综上可得，实数的取值范围是或三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）最大值约为3250辆/小时，车流密度约为87辆/千米.【解题分析】（1）把代入已知式求得，解不等式可得的范围（2）由（1）求得函数，分别利用函数的单调性和基本不等式分段求得最大值，比较可得【题目详解】解：（1）由题意知当(辆/千米)时，(千米/小时)，代入得，解得所以当时，，符合题意；当时，令，解得，所以综上，答：若车流速度不小于40千米/小时，则车流密度的取值范围是.（2）由题意得，当时，为增函数，所以，等号当且仅当成立；当时，即，等号当且仅当，即成立.综上，的最大值约为3250，此时约为87.答：隧道内车流量的最大值约为3250辆/小时，此时车流密度约为87辆/千米.【题目点拨】关键点点睛：本题考查函数模型的应用，对于已经给出函数模型的问题，关键是直接利用函数模型列出方程、不等式或利用函数性质求解18、（1）{x|x<-12（2）当a=13时，解集为∅；当0<a<13时，解集为{x|3<x<【解题分析】（1）利用一元二次不等式的解法解出即可；（2）不等式可变形为(x－3)(x－1a)＜0，然后分a＝13、0＜a＜13、a＞【小问1详解】当a＝－2时，不等式－2x2＋5x＋3＜0整理得(2x＋1)(x－3)＞0，解得x＜－12或x＞3当a＝－2时，原不等式解集为{x|x＜－12或x＞【小问2详解】当a＞0时，不等式ax2－(3a＋1)x＋3＜0整理得：(x－3)(x－1a)＜0当a＝13时，1a＝当0＜a＜13时，1a＞3，解得3＜x＜当a＞13时，1a＜3，解得1a＜x综上：当a＝13时，解集为当0＜a＜13时，解集为{x|3＜x＜1a当a＞13时，解集为{x|1a＜x19、（1）（2），【解题分析】（1）根据三角函数的图象和性质，求出和的值即可，（2）根据函数图象变换关系，求出以及的解析式，根据函数零点性质建立方程进行讨论求解即可【小问1详解】解：①是偶函数；②，是的图象在轴右侧的第一个对称中心；③相邻两条对称轴之间距离为若选择①②，由①是偶函数，即，由②，是的图象在轴右侧的第一个对称中心；则，得，即选择①③：由①是偶函数，即，由③知：相邻两条对称轴之间距离为，即，则，则，则若选②③：③知：相邻两条对称轴之间距离为，即，则，则，则，由②，是的图象在轴右侧的第一个对称中心；，得，则，综上【小问2详解】解：依题意，将函数的图象向右平移个单位，得，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍得到，可得，所以，当时，，则在内的零点个数为偶数个，在内恰有2021个零点，为奇数个零点，故，令，可得，令，，则，△，则关于的二次方程必有两个不等的实根，，，且，则，异号，①当，且时，则方程和在区间，均有偶数个根，从而在区间，有偶数个根，不符合题意；②当，且时，则方程在区间有偶数个根，无解，从而方程在有偶数个根，不合题意同理，当且时，从而方程在有偶数个根，不合题意③当，，当时，只有一根，有两根，所以关于的方程在有三个根，由于，则方程在只有一个根，在区间上无实解，方程在区间上无实解，在区间上有两个根