控制工程基础第二章

本章要求内容提要控制系统数学模型的基本概念 时域模型—运动微分方程 拉氏变换与拉氏反变换 复域模型—传递函数 方块图和信号流图的建立步骤与方法

重

点传递函数概念的建立/典型环节和控制系统传递函数的推导

难

点物理系统传递函数的推导第二章系统的数学模型一、数学模型的基本概念1、数学模型数学模型是描述系统输入、输出量以及内部各变量之间关系的数学表达式，它揭示了系统结构及其参数与其性能之间的内在关系。静态数学模型：静态条件（变量各阶导数为零）下描述变量之间关系的代数方程。动态数学模型：描述变量各阶导数之间关系的微分方程。第二章系统的数学模型建立控制系统的数学模型，并在此基础上对控制系统进行分析、综合，是控制工程的基本方法。数学模型的表示方法：2、建立数学模型的方法解析法—对系统各部分的物理规律、化学规律、运动机理进行分析来建立数学模型。实验法—人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型进行逼近。这种方法也称为系统辨识。理论分析可以大致确定数学模型的阶次、参数与结构，而试验的方法可以最终确定数学模型的形式。从理论上建立系统的数学模型，常称为理论建模，本章重点研究。数学模型应能反映系统内在的本质特征，同时应对模型的简洁性和精确性进行折衷考虑。

微分方程是基本的数学模型，是列写传递函数的基础。1、建立数学模型的一般步骤1）分析系统工作原理，确定系统及各元件的输入、输出量；2）从输入端开始，按照信号的传递顺序，根据各变量所遵循的物理学定律写出各元、部件的微分方程；3）消去中间变量，写出输入、输出变量的微分方程；4）变换成标准形式：左出、右入，降幂排列。工程中的控制系统：机械的，电气的，液压的，气动的，热力的，化学的，其运动规律都可以用微分方程加以描述。时域中描述系统动态特性的数学模型。二、控制系统的运动微分方程2、控制系统微分方程的列写机械系统机械系统中以各种形式出现的物理现象，都可简化为质量、弹簧和阻尼三个要素：质量mfm(t)参考点x

(t)v

(t)弹簧KfK(t)fK(t)x1(t)v1(t)x2(t)v2(t)阻尼CfC(t)fC(t)x1(t)v1(t)x2(t)v2(t)机械平移系统mmfi(t)KCxo(t)fi(t)xo(t)00fm(t)fK(t)机械平移系统及其力学模型fC(t)静止（平衡）工作点作为零点，以消除重力的影响式中，m、C、K通常均为常数，故机械平移系统可以由二阶常系数微分方程描述。显然，微分方程的系数取决于系统的结构参数，而阶次等于系统中独立储能元件（惯性质量、弹簧）的数量。转换为标准形式注意：同一系统简化程度的不同，可以有不同的数学模型。弹簧－阻尼系统xo(t)0fi(t)KC弹簧-阻尼系统系统运动方程为一阶常系数微分方程。当质量m很小可不计时，系统由并联的弹簧和阻尼器组成。机械旋转系统Kθi(t)θo(t)00TK(t)TC(t)C粘性液体齿轮JJ—旋转体转动惯量；K—扭转刚度系数；C—粘性阻尼系数柔性轴例2-2：齿轮传动动力学分析。图中M—电动机；L—负载；Tm—电机输出扭矩；TL—负载扭矩；z1、z2、z3、z4—各齿轮齿数；J1、J2、J3—各轴及轴上齿轮的转动惯量；θ1、θ2、θ3—各轴及轴上齿轮的转角。

令：等效转动惯量

等效阻尼系数

等效输出转矩则：

电气系统电阻电气系统三个基本元件：电阻、电容和电感。Ri(t)u(t)电容Ci(t)u(t)电感Li(t)u(t)

R-L-C无源电路网络LRCui(t)uo(t)i(t)R-L-C无源电路网络一般R、L、C均为常数，上式为二阶常系数微分方程。若L=0，则系统简化为：有源电网络+−CRi1(t)ui(t)uo(t)i2(t)a即：例：列写下图所示机械系统的微分方程解：1)明确系统的输入与输出输入为f(t)，输出为x(t)2)列写微分方程，受力分析3)整理可得：小结物理本质不同的系统，可以有相同的数学模型，从而可以抛开系统的物理属性，用同一方法进行具有普遍意义的分析研究（信息方法）。从动态性能看，在相同形式的输入作用下，数学模型相同而物理本质不同的系统其输出响应相似。相似系统是控制理论中进行实验模拟的基础。通常情况下，元件或系统微分方程的阶次等于元件或系统中所包含的独立储能元件（惯性质量、弹性要素、电感、电容、液感、液容等）的个数；因为系统每增加一个独立储能元件，其内部就多一层能量（信息）的交换。系统的动态特性是系统的固有特性，仅取决于系统的结构及其参数。二、线性系统与非线性系统可以用线性微分方程描述的系统。如果方程的系数为常数，则为线性定常系统；如果方程的系数是时间t的函数，则为线性时变系统。线性系统线性系统满足叠加原理，即：可加性：齐次性：或：液体系统节流阀节流阀qi(t)qo(t)H(t)液位系统设液体不可压缩，通过节流阀的液流是湍流。A：箱体截面积；α：由节流阀通流面积和通流口的结构形式决定的系数，通流面积不变时，α为常数。根据流体力学定律：物质守恒定律流量公式上式为非线性微分方程，即此液位控制系统为非线性系统。若微分方程中的函数xi(t)、xo(t)及其各阶导数都是一次的，则该微分方程称为线性微分方程。线性系统微分方程的一般形式：式中，a1，a2，…，an和b0，b1，…，bm为由系统结构参数决定的实常数，m≤n。三、非线性数学模型的线性化1、线性化问题的提出线性化：在一定条件下作某种近似或缩小系统工作范围，将非线性微分方程近似为线性微分方程进行处理。非线性现象：机械系统中的高速阻尼器，阻尼力与速度的平方成反比；齿轮啮合系统由于间隙的存在导致的非线性传输特性；具有铁芯的电感，电流与电压的非线性关系等。将非线性微分方程在一定的条件下转化为线性微分方程的方法，称非线性微分方程的线性化。

非线性微分方程能进行线性化的一个基本假设是变量偏离其预期工作点的偏差甚小，这种线性化通常称为小偏差线性化。2、非线性数学模型的线性化泰勒级数展开法函数y=f(x)在其平衡点（x0,y0）附近的泰勒级数展开式为：略去含有高于一次的增量Δx=x-x0的项，则：或：y-y0=Δy=KΔx，其中：上式即为非线性系统的线性化模型，称为增量方程。y0=f(x0)称为系统的静态方程。对多变量系统，如：y=f(x1,x2)，同样可采用泰勒级数展开获得线性化的增量方程。增量方程：静态方程：其中：滑动线性化——切线法0xy=f(x)y0x0αΔxΔy’Δy非线性关系线性化A线性化增量方程为：Δy≈

Δy'=Δx⋅tgα切线法是泰勒级数法的特例。3、系统线性化微分方程的建立步骤确定系统各组成元件在平衡态的工作点；列出各组成元件在工作点附近的增量方程；消除中间变量，得到以增量表示的线性化微分方程。实例：液位系统的线性化节流阀节流阀qi(t)qo(t)H(t)液位系统解：静态方程非线性项的泰勒展开为：则：将方程式的瞬时值用它的额定值和微小增量之和来表示：注意到：减去稳态方程得到：实际使用中，常略去增量符号而写成：此时，上式中H(t)和qi(t)均为平衡工作点的增量。4、线性化处理的注意事项线性化方程的系数与平衡工作点的选择有关；线性化是有条件的，必须注意线性化方程适用的工作范围；某些典型的本质非线性，如继电器特性、间隙、死区、摩擦等，由于存在不连续点，不能通过泰勒展开进行线性化，只有当它们对系统影响很小时才能忽略不计，否则只能作为非线性问题处理。inout0近似特性曲线真实特性饱和非线性inout0死区非线性inout0继电器非线性inout0间隙非线性四、拉普拉斯变换及其应用Laplace（拉普拉斯）变换是描述和分析连续、线性、时不变系统的重要工具！拉氏变换可理解为广义单边傅立叶变换。傅氏变换建立了时域和频域间的联系，而拉氏变换建立了时域和复频域间的联系。通过拉氏变换将时域的微分方程变换为复数域的代数方程，这不仅运算方便，使系统大为简化，而且在经典控制论范畴，直接在频域中研究系统的动态特性，对系统进行分析、综合和校正，具有广泛的实际意义。1、复数的概念和运算（一）复数的概念定义虚数即定义复数其中，σ、ω均为实数，σ—复数s的实部；ω—复数s的虚部。复数s为复平面上的一个点。复数s也可看作复平面上的一个矢量。（二）复数的表示方法直角坐标表示法：向量表示: 模：

辐角：（逆时针为正）三角表示：指数表示：例：已知：试写出s1、s2的三角函数表示形式和指数表示形式。解：(a)(b)（三）复数运算法则（1）复数的加减法（2）复数的乘法复数的直角坐标表示法复数的指数表示法（3）复数的除法复数的直角坐标表示法复数的指数表示法例：已知：计算：解：(a)s=s1+s2

=(3+7∙j)+(5–12∙

j) =(3+5)+j∙(7–12) =8–5∙

j (b)直角坐标解法：指数解法：补充作业复数运算已知：s1=3+5∙j，s2=4-3∙j，s3=-2-7∙j；求：(1)s1、s2、s3的指数表示法1、拉氏变换设函数f(t)满足①t<0时f(t)=0②t>0时，f(t)分段连续且存在一正实常数σ，使得：则函数f(t)的拉普拉斯变换存在，并定义为：式中：s=σ+jω（σ，ω均为实数）；称为拉普拉斯积分；F(s)称为函数f(t)的拉普拉氏变换或象函数，它是一个复变函数；f(t)称为F(s)的原函数；L为拉氏变换的符号。上式表明，拉氏变换是这样一种变换：即在一定条件下，它能把一实数域中的实变函数变换为一个在复数域内与之等价的复变函数。拉氏变换是将给定的函数通过广义积分转换成一个新的函数，是一种积分变换，一般的在科学技术中遇到的函数，它的拉氏变换总是存在的，故以后不再对其存在性进行讨论。2、几种典型函数的拉氏变换单位阶跃函数1(t)10tf(t)单位阶跃函数指数函数（a为常数）指数函数0tf(t)1正弦函数与余弦函数正弦及余弦函数10tf(t)f(t)=sinωtf(t)=cosωt-1由欧拉公式，有：从而：同理：单位脉冲函数δ(t)0tf(t)单位脉冲函数ε1ε由洛必达法则：所以：单位速度函数（斜坡函数）10tf(t)单位速度函数1

单位加速度函数（抛物线函数）

单位加速度函数0tf(t)函数的拉氏变换及反变换通常可以由拉氏变换表直接或通过一定的转换得到。3、拉氏变换积分下限的说明在某些情况下，函数f(t)在t＝0处有一个脉冲函数。这时必须明确拉氏变换的积分下限是0－还是0+，并相应记为：序号12345671314常用拉氏变换表4、拉氏变换的主要定理

叠加定理

齐次性：L[af(t)]=aL[f(t)]，a为常数；叠加性：L[af1(t)+bf2(t)]=aL[f1(t)]+bL[f2(t)]

a，b为常数；显然，拉氏变换为线性变换。

微分定理

证明：由于即：所以：同样有：当f(t)及其各阶导数在t=0时刻的值均为零时（零初始条件）：当f(t)在t=0处具有间断点时，df(t)/dt在t=0处将包含一个脉冲函数。故若f(0+)≠

f(0－)，则：

积分定理

当初始条件为零时：若f(0+)≠

f(0－)，则：证明：同样：当初始条件为零时：

延迟定理

设当t<0时，f(t)=0，则对任意τ≥0，有：函数f(t-τ)0tf(t)τf(t)f(t-τ)

位移定理

例：

初值定理

证明：初值定理建立了函数f(t)在t=0+处的初值与函数sF(s)在s趋于无穷远处的终值间的关系。

终值定理

若sF(s)的所有极点位于左半s平面，即：存在。则：证明：又由于：即：终值定理说明f(t)稳定值与sF(s)在s=0时的初值相同。相似定理

若

且a为大于零的常数，LL关于卷积的说明：卷积h(t)是时间函数f(τ)与时间倒置函数g(t-τ)

相乘后求积分得出的值。⑴卷积的数学定义符号表示性质：⑵卷积定理若则

卷积定理

5、拉氏反变换L－1为拉氏反变换的符号。

利用拉氏反变换定义式求解——不常用

查拉氏变换表求解——对简单的象函数适用

部分分式法——象函数为有理分式函数时适用√拉氏反变换的求法部分分式法如果f(t)的拉氏变换F(s)已分解成为下列分量：F(s)=F1(s)+F2(s)+…+Fn(s)假定F1(s),F2(s),…，Fn(s)的拉氏反变换可以容易地求出，则：L-1[F(s)]=L-1[F1(s)]+L-1[F2(s)]+…+L-1[Fn(s)]=f1(t)+f2(t)+…+fn(t)在控制理论中，通常：为了应用上述方法，将F(s)写成下面的形式：式中，p1，p2，…，pn为方程A(s)=0的根的值，称为F(s)的极点；ci=bi

/a0

(i=0,1,…,m)。此时，即可将F(s)展开成部分分式。

F(s)只含有不同的实数极点式中，Ai为常数，称为s=-pi极点处的留数。1)取极限法假设求Ai

，将上式两边乘上(s+pi)，则有令S趋近于-Pi，即S+Pi→0即2)取导数法3)系数对比法把展开与B(s)比较。例：求的原函数。解：即：例求所示象函数的原函数f(t)解：其中：p1＝0、p2＝2、p3＝5同理：A2=0.5、A3＝-0.6其反变换为：分解成如下形式，

令复数相等有：①取极限法可求得

F(s)含有共轭复数极点有两种解法举例：解：解得：此外，解得：注意：极点的实部为指数函数的幂，决定衰减的快慢；极点的虚部在正弦、余弦函数中，决定振荡的频率。②取导数法设共轭复数根p1＝α+jω、p2＝α-

jω例求所示象函数的原函数解：p1＝－1+j2、p2＝－1－j2

F(s)含有重极点设F(s)存在r重极点-p0，其余极点均不同，则：式中，Ar+1，…，An利用前面的方法求解。……注意到：所以：例求所示象函数的原函数解：B(s)＝0有p1＝－1的三重根、p2＝0的二重根，所以F(s)可以展开为：从而：例：求的原函数。解：于是：

用MATLAB展开部分分式设：在MATLAB中，多项式通过系数行向量表示，系数按降序排列。如要输入多项式：x4-12x3+25x+126>>p=[1-12025126]p=1-12025126用num和den分别表示F(s)的分子和分母多项式，即：num=[b0

b1…bm]den=[a0

a1…an]MATLAB提供函数residue用于实现部分分式展开，其句法为：[r,p,k]=residue(num,den)其中，r,p分别为展开后的留数及极点构成的列向量、k为余项多项式行向量。若无重极点，MATLAB展开后的一般形式为：若存在q重极点p(j)，展开式将包括下列各项：例：求的部分分式展开。>>num=[111395226];>>den=[110355024];>>[r,p,k]=residue(num,den)r=1.00002.5000-3.00000.5000p=-4.0000-3.0000-2.0000-1.0000k=1展开式为：例：求的部分分式展开。>>num=[1001056];>>den=[15972];>>[r,p,k]=residue(num,den)r=-4.000020.0000-20.000010.0000p=-2.0000-1.0000-1.0000-1.0000k=1-5展开式为：函数residue也可用于将部分分式合并，其句法为：[num,den]=residue(r,p,k)>>r=[1234]';p=[-1-2-3-4]';k=0;>>[num,den]=residue(r,p,k)num=107015096den=110355024例：6、应用拉氏变换解线性微分方程求解步骤将微分方程通过拉氏变换变为s的代数方程；解代数方程，得到有关变量的拉氏变换表达式；应用拉氏反变换，得到微分方程的时域解。原函数（微分方程的解）象函数微分方程象函数的代数方程拉氏反变换拉氏变换解代数方程拉氏变换法求解线性微分方程的过程例设系统微分方程为：若xi

(t)

=1(t)，初始条件分别为x'o(0)、xo(0)，试求xo(t)。解：对微分方程左边进行拉氏变换(微分定理）：即：对方程右边进行拉氏变换：从而：所以：查拉氏变换表得：当初始条件为零时：零状态响应零输入响应应用拉氏变换法求解微分方程时，由于初始条件已自动地包含在微分方程的拉氏变换式中，因此，不需要根据初始条件求积分常数的值就可得到微分方程的全解。如果所有的初始条件为零，微分方程的拉氏变换可以简单地用sn代替dn/dtn得到。由上述实例可见：系统响应可分为两部分：零状态响应和零输入响应五、传递函数1、传递函数的概念和定义传递函数在零初始条件下，线性定常系统输出量的拉氏变换与引起该输出的输入量的拉氏变换之比。零初始条件：

t<0时，输入量及其各阶导数均为0；输入量施加于系统之前，系统处于稳定的工作状态，即t<0时，输出量及其各阶导数也均为0；传递函数求解示例质量-弹簧-阻尼系统的传递函数所有初始条件均为零时，其拉氏变换为：按照定义，系统的传递函数为：

R-L-C无源电路网络的传递函数所有初始条件均为零时，其拉氏变换为：几点结论传递函数是复数s域中的系统数学模型，其参数仅取决于系统本身的结构及参数，与系统的输入形式无关。若输入给定，则系统输出特性完全由传递函数G(s)决定，即传递函数表征了系统内在的固有动态特性。传递函数通过系统输入量与输出量之间的关系来描述系统的固有特性。即以系统外部的输入－输出特性来描述系统的内部特性。传递函数的一般形式考虑线性定常系统当初始条件全为零时，对上式进行拉氏变换可得系统传递函数的一般形式：令：则：N(s)=0称为系统的特征方程，其根称为系统的特征根。特征方程决定着系统的动态特性。N(s)中s的最高阶次等于系统的阶次。2、特征方程、零点和极点

特征方程式中，K称为系统的放大系数或增益。当s=0时：G(0)=bm/an=K从微分方程的角度看，此时相当于所有的导数项都为零。因此K反应了系统处于静态时，输出与输入的比值。

零点和极点

将G(s)写成下面的形式：N(s)=a0(s-p1)(s-p2)…(s-pn)=0的根s=pj

(j=1,2,…,n)，称为传递函数的极点；决定系统瞬态响应曲线的收敛性，即稳定性式中，M(s)=b0(s-z1)(s-z2)…(s-zm)=0的根s=zi(i=1,2,…,m)，称为传递函数的零点；影响瞬态响应曲线的形状，不影响系统稳定性系统传递函数的极点就是系统的特征根。零点和极点的数值完全取决于系统的结构参数。

零、极点分布图

将传递函数的零、极点表示在复平面上的图形称为传递函数的零、极点分布图。图中，零点用“O”表示，极点用“×”表示。G(s)=s+2(s+3)(s2+2s+2)的零极点分布图012312-1-2-3-1-2σjω3、传递函数的几点说明传递函数是一种以系统参数表示的线性定常系统输入量与输出量之间的关系式；传递函数的概念通常只适用于线性定常系统；传递函数是s的复变函数。传递函数中的各项系数和相应微分方程中的各项系数对应相等，完全取决于系统结构参数；传递函数是在零初始条件下定义的，即在零时刻之前，系统对所给定的平衡工作点处于相对静止状态。因此，传递函数原则上不能反映系统在非零初始条件下的全部运动规律；传递函数只能表示系统输入与输出的关系，无法描述系统内部中间变量的变化情况。一个传递函数只能表示一个输入对一个输出的关系，只适合于单输入单输出系统的描述。4、脉冲响应函数初始条件为0时，系统在单位脉冲输入作用下的输出响应的拉氏变换为：即：g(t)称为系统的脉冲响应函数（权函数）。系统的脉冲响应函数与传递函数包含关于系统动态特性的相同信息。5、典型环节及其传递函数环节具有某种确定信息传递关系的元件、元件组或元件的一部分称为一个环节。经常遇到的环节称为典型环节。任何复杂的系统总可归结为由一些典型环节所组成。典型环节示例比例环节输出量不失真、无惯性地跟随输入量，两者成比例关系。其运动方程为：xo(t)=Kxi(t)xo(t)、xi(t)—分别为环节的输出和输入量；K—比例系数，等于输出量与输入量之比。比例环节的传递函数为：z1z2ni(t)no(t)齿轮传动副R2R1ui(t)uo(t)运算放大器惯性环节凡运动方程为一阶微分方程：形式的环节称为惯性环节。其传递函数为：T—时间常数，表征环节的惯性，和环节结构参数有关式中，K—环节增益（放大系数）；如：弹簧-阻尼器环节xi(t)xo(t)弹簧-阻尼器组成的环节KC微分环节输出量正比于输入量的微分。运动方程为：传递函数为：式中，τ—微分环节的时间常数在物理系统中微分环节不独立存在，而是和其它环节一起出现。RCui(t)uo(t)i(t)无源微分网络无源微分网络显然，无源微分网络包括有惯性环节和微分环节，称之为惯性微分环节，只有当|Ts|<<1时，才近似为微分环节。除了上述纯微分环节外，还有一类一阶微分环节，其传递函数为：微分环节的输出是输入的导数，即输出反映了输入信号的变化趋势，从而给系统以有关输入变化趋势的预告。因此，微分环节常用来改善控制系统的动态性能。积分环节输出量正比于输入量对时间的积分。运动方程为：传递函数为：式中，T—积分环节的时间常数。积分环节特点：输出量取决于输入量对时间的积累过程。且具有记忆功能；具有明显的滞后作用。积分环节常用来改善系统的稳态性能。如当输入量为常值A时，由于：输出量须经过时间T才能达到输入量在t=0时的值A。如：有源积分网络+−CRi1(t)ui(t)uo(t)i2(t)a液压缸Aqi(t)xo(t)振荡环节含有两个独立的储能元件，且所存储的能量能够相互转换，从而导致输出带有振荡的性质，运动方程为：传递函数：式中，T—振荡环节的时间常数

ξ—阻尼比，对于振荡环节，0<ξ<1

K—比例系数振荡环节传递函数的另一常用标准形式为（K=1）：ωn称为无阻尼固有频率。如：质量-弹簧-阻尼系统传递函数：式中，当时，为振荡环节。二阶微分环节式中，τ—时间常数

ξ—阻尼比，对于二阶微分环节，0<ξ<1

K—比例系数运动方程：传递函数：延迟环节惯性环节从输入开始时刻起就已有输出，仅由于惯性，输出要滞后一段时间才接近所要求的输出值；运动方程：传递函数：式中，τ为纯延迟时间。延迟环节从输入开始之初，在0~τ时间内,没有输出，但t=τ之后，输出完全等于输入。延迟环节与惯性环节的区别：小结环节是根据微分方程划分的，不是具体的物理装置或元件。一个环节往往由几个元件的运动特性共同组成；同一元件在不同系统中作用不同，输入输出的物理量不同，可起到不同环节的作用。六、传递函数的方框图（重点）输入比较环节控制器执行环节检测环节-Error控制信号输出测量输出被控对象E(s)G1(s)C(s)G1(s)E(s)C(s)结构方框图传递函数方框图传递函数方框图的基本概念如果根据信号的流向，把每个环节的方框图连接起来，就构成了系统的传递函数方框图：Xi(s)G1(s)G2(s)H(s)-E(s)Xo(s)B(s)G3(s)系统的传递函数方框图说明：传递函数方框图（以后简称方框图）是系统数学模型的图解形式，形象直观地描述系统中各元件间的相互关系及其功能以及信号在系统中的传递、变换过程，是图解化的复域数学模型。方框图的结构要素信号线带有箭头的直线，箭头表示信号的传递方向，直线旁标记信号的时间函数或象函数。X(s),x(t)信号线信号引出点（线）表示信号引出或测量的位置和传递方向。

同一信号线上引出的信号，其性质、大小完全一样。

引出线X(s)X(s)X(s)X(s)X(s)X(s)函数方框(环节)G(s)X1(s)X2(s)函数方框函数方框具有运算功能，即：X2(s)=G(s)X1(s)传递函数的图解表示。求和点（比较点、综合点）信号之间代数加减运算的图解。用符号“⊗”及相应的信号箭头表示，每个箭头前方的“+”或“-”表示加上此信号或减去此信号。相邻求和点可以互换、合并、分解，即满足代数运算的交换律、结合律和分配律。⊗X1(s)X2(s)X1(s)±X2(s)±⊗⊗ABA-BCA-B+C⊗⊗A+C-BBCA