重庆市丰都县平都中学校2022-2023学年上学期第二次定时作业九年级数学试卷

2022-2023学年重庆市丰都县平都中学九年级第一学期第二次定时作业数学试卷一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请在答题卡上将对应题目的正确答案标号涂黑.1．垃圾混置是垃圾，垃圾分类是资源，下列可回收物、有害垃圾、厨余垃圾、其他垃圾四种垃圾回收标识中，是中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．抛物线y＝2（x﹣1）2+3的顶点坐标是（）A．（2，3） B．（1，3） C．（﹣1，3） D．（3，2）3．一元二次方程x2﹣x+1＝0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根4．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转85°得到△AB′C′，若∠C′AB′＝60°，则∠CAB′＝（）A．35° B．30° C．25° D．15°5．如图，△ABC内接于⊙O，若∠AOB＝120°，则∠C的度数是（）A．30° B．45° C．60° D．75°6．下图形都是由同样大小的实心圆点按一定规律组成的，其中第①个图形一共有5个实心圆点，第②个图形一共有8个实心圆点，第③个图形一共有11个实心圆点，…，按此规律排列下去，第⑨个图形中实心圆点的个数为（）A．23 B．25 C．27 D．297．关于二次函数y＝2x2+4x﹣1，下列说法正确的是（）A．图象与y轴的交点坐标为（0，1） B．开口向下 C．当x＜0时，y的值随x值的增大而减小 D．y的最小值为﹣38．某运动品牌的一款跑步鞋经过最近的两次降价，使每双的价格由1200元降至867元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为x，可列方程为（）A．1200（1﹣x）2＝867 B．1200（1﹣x）+1200（1﹣x）2＝867 C．867（1+x）2＝1200 D．1200（1﹣x）×2＝8679．已知一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根为x1，x2，则x12﹣5x1﹣2x2的值为（）A．﹣7 B．﹣3 C．2 D．510．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＞0；③8a+c＞0；④9a+3b+c＜0其中，正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．411．若关于x的一元一次不等式组无解，且关于y的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和是（）A．2 B．3 C．5 D．612．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0（a≠0）必有两个不相等的实根；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则b2﹣4ac＝（2ax0+b）2．其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题（本大题4个小题，每小题4分，共16分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．13．在平面直角坐标系中，点（3，4）关于原点对称的点的坐标是．14．已知关于x的方程x2+kx﹣6＝0的一个根为x＝2，则实数k的值为．15．在截面为半圆形的水槽内装有一些水，如图水面宽AB为6分米，如果再注入一些水后，水面上升1分米，此时水面宽度变为8分米．则该水槽截面半径为．16．为了应对疫情对经济的冲击，增加就业岗位，某区在5月份的时候开设了一个夜市，分为餐饮区、百货区和杂项区三个区域，三者摊位数量之比5：4：3，市场管理处对每个摊位收取50元/月的管理费，到了6月份，市场管理处扩大夜市规模，并将新增摊位数量的一半用于餐饮，结果餐饮区的摊位数量占到了夜市总摊位数量的45%，同时将餐饮区、百货区和杂项区每个摊位每月的管理费分别下调了10元、20元和30元，结果市场管理处6月份收到的管理费比5月份增加了，则杂货区新增的摊位数量与该夜市总摊位数量之比是．三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.17．解下列方程：（1）x2+x﹣3＝0；（2）（2x+3）2＝5（2x+3）．18．如图，四边形ABCD是菱形．（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：作出AB的垂直平分线EF，分别交AB，AC于点E和点F；连接BF．（2）在（1）问图中，当CF＝BC时，请求出∠ADC的度数．解：∵EF垂直平分AB∴AF＝①∴设∠CAB＝∠ABF＝x∴∠CFB＝∠CAB+∠ABF＝2x∵CF＝CB∵②＝∠CFB＝2x∴∠ABC＝∠ABF+∠FBC＝3x∵四边形ABCD是菱形∴AB＝BC，∠ADC＝∠ABC∴∠ACB＝∠CAB＝x．在△ABC中，∠CAB+∠ABC+∠BCA＝180°，即：x+3x+x＝180°∴x＝③∴∠ADC＝3x＝④四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.19．为了庆祝伟大的中国共产党第二十次全国代表大会召开，某校开展了“爱祖国•跟党走”的知识答题竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A.80≤x＜85，B.85≤x＜90，C.90≤x＜95，D.95≤x≤100）下面给出了部分信息：七年级10名学生的竞赛成绩是：90，81，90，86，99，95，96，100，89，84八年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：90，94，94七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表年级七年级八年级平均数9191中位数90b众数c100方差5250.4根据以上信息，解答下列问题：（1）直接写出上述图表中a、b、c的值；（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握的相关知识较好？请说明理由（写一条理由即可）；（3）该校七年级有1200人，八年级有1600人参加了此次答题竞赛活动，估计参加竞赛活动成绩优秀（x≥90）的学生人数是多少？20．在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（﹣1，2），B（﹣3，1），C（0，﹣1）．（1）请画出△ABC绕点C逆时针方向旋转90°后得到△A1B1C，并写出A1的坐标是，B1的坐标是．（2）请画出△ABC关于原点O对称的△A'B'C'，并写出A'的坐标是，C'点坐标是．21．如图，已知抛物线y1＝x2﹣4x﹣5与y轴相交于点A（0，﹣5），与x轴相交于点B（5，0）和点C，抛物线的顶点为点D，一次函数y2＝kx+b的图象经过A、B两点．（1）画出一次函数图象，并求出一次函数解析式；（2）根据图象直接写出y1＞y2的解集；（3）求△BCD的面积．22．第24届冬季奥运会在首都北京成功举办，使得北京成为历史上首个双奥之城．某特许经销商购进甲、乙两种冬奥纪念品，其中每个甲的进价是每个乙进价的0.75倍，甲、乙的销售单价分别为75元/件、80元/件．该经销商第一次购进甲、乙两种纪念品若干件，均花费600元，结果发现甲比乙多买5件．（1）求甲、乙的购进单价分别是多少元？（2）在经销商卖完第一批纪念品后，以相同进价再次购进两种纪念品，乙的采购数量和第一次保持一致．根据经验，甲的售价每降低1元，销量就在第一次的基础上增加1件，该经销商现对甲进行降价销售，乙售价保持不变．当甲、乙再次售完时，商家在第二次销售中获利1350元，请问商家第二次采购了甲多少件？23．双十一是深入人们生活中的购物狂欢节，而今年双十一我县全县学生居家学习，现规定一个四位自然数N的千位数字、百位数字与十位数字的和恰好为11，个位数字为千位数字与百位数字之差的绝对值，且这个四位数N能被11整除，那么称这个数N为“双11数”例如：N＝1463，∵1+4+6＝11，|1﹣4|＝3，且1463÷11＝133，∴1463是“双11数”；又如N＝6412，因为6+4+1＝11，|6﹣4|＝2，但6412÷11＝582…10，∴6412不是“双11数”．（1）判断2092，9207是否是“双11数”，并说明理由；（2）一个“双11数”N的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记，当G（N）为整数时，求出所有满足条件的N．24．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C．（1）求b，c的值．（2）如图1，点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，设点P的横坐标m．当m为何值时，△PBC的面积最大？并求出这个面积的最大值．（3）如图2，将该抛物线向射线BC方向平移个单位长度得到新的抛物线y1＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），平移后的抛物线与原抛物线相交于点D，点M为新抛物线上的一点，点N是原抛物线对称轴上一点，是否存在点M，N，使以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．25．在等腰Rt△ABC中，AB⊥AC，点D为AC边上一点，连接DB．（1）如图1，若∠ABD＝15°，BD＝2，求线段CD的长度；（2）如图2，将线段DB绕点D顺时针旋转90°得到线段DE，连接BE、CE，将线段DC绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接BF，线段CE、BF交于点G，连接AG，证明；（3）如图3，将线段DB绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，连接AE，直接写出的最小值．

参考答案一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请在答题卡上将对应题目的正确答案标号涂黑.1．垃圾混置是垃圾，垃圾分类是资源，下列可回收物、有害垃圾、厨余垃圾、其他垃圾四种垃圾回收标识中，是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解．解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意；B、是中心对称图形，故此选项符合题意；C、不是中心对称图形，故此选项不合题意；D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；故选：B．【点评】此题主要考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2．抛物线y＝2（x﹣1）2+3的顶点坐标是（）A．（2，3） B．（1，3） C．（﹣1，3） D．（3，2）【分析】已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标．解：抛物线y＝2（x﹣1）2+3的顶点坐标是（1，3）．故选：B．【点评】本题考查二次函数的性质，记住顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x＝h．3．一元二次方程x2﹣x+1＝0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根【分析】先计算根的判别式，然后利用根的判别式的意义判断方程根的情况．解：∵Δ＝（﹣1）2﹣4×1×1＝﹣3＜0，∴方程没有实数根．故选：D．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．4．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转85°得到△AB′C′，若∠C′AB′＝60°，则∠CAB′＝（）A．35° B．30° C．25° D．15°【分析】由旋转的性质得到∠C′AC＝85°，再进行简单计算，即可解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转85°得到△AB′C′，∴∠C′AC＝85°，∵∠C′AB′＝60°，∴∠CAB′＝∠C′AC﹣∠C′AB′＝85°﹣60°＝25°．故选：C．【点评】此题是旋转的性质题，考查了旋转角，解本题的关键是能图形中找到旋转角．5．如图，△ABC内接于⊙O，若∠AOB＝120°，则∠C的度数是（）A．30° B．45° C．60° D．75°【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论．解：∵∠ACB与∠AOB是同弧所对的圆周角与圆心角，∠AOB＝120°，∴∠ACB＝∠AOB＝60°．故选：C．【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，熟知圆周角定理是解答此题的关键．6．下图形都是由同样大小的实心圆点按一定规律组成的，其中第①个图形一共有5个实心圆点，第②个图形一共有8个实心圆点，第③个图形一共有11个实心圆点，…，按此规律排列下去，第⑨个图形中实心圆点的个数为（）A．23 B．25 C．27 D．29【分析】观察得出每两个相邻的图形中后一个图形总是在前一个图形的底部增加1个实心圆点，顶部的两侧各增加1个实心圆点，进而归纳任意两相邻的图形中后一个图形实心圆点数比前一个实心圆点数多3个，从而得出图形实心圆点数的一般变化规律．解：第①个图形的实心圆点数是5个．第②个图形的实心圆点数是5+3＝8．第③个图形的实心圆点数是5+3+3＝5+3×2．第④个图形的实心圆点数是5+3+3+3＝5+3×3．..．以此类推，第n个图形的实心圆点数是5+3（n﹣1）个．∴当n＝9时，第⑨个图形的实心圆点数是5+3×8＝29（个）．故选：D．【点评】本题主要考查学生观察与比较分析得能力，运用特殊到一般的数学思想可解决此类规律题．7．关于二次函数y＝2x2+4x﹣1，下列说法正确的是（）A．图象与y轴的交点坐标为（0，1） B．开口向下 C．当x＜0时，y的值随x值的增大而减小 D．y的最小值为﹣3【分析】根据题目中的函数解析式可以判断各个选项中的结论是否成立，从而可以解答本题．解：∵y＝2x2+4x﹣1＝2（x+1）2﹣3，∴当x＝0时，y＝﹣1，故选项A错误，∵a＝2＞0，∴开口向上，故B选项错误；该函数的对称轴是直线x＝﹣1，当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，∴当x＜0时，y随x的增大而减小是错误的，故选项C错误；图象的顶点坐标为（﹣1，﹣3），∴有最小值是﹣3，故选项D正确，故选：D．【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．8．某运动品牌的一款跑步鞋经过最近的两次降价，使每双的价格由1200元降至867元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为x，可列方程为（）A．1200（1﹣x）2＝867 B．1200（1﹣x）+1200（1﹣x）2＝867 C．867（1+x）2＝1200 D．1200（1﹣x）×2＝867【分析】利用经过两次降价后的价格＝原价×（1﹣平均每次降价的百分率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．解：依题意得：1200（1﹣x）2＝867．故选：A．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．9．已知一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根为x1，x2，则x12﹣5x1﹣2x2的值为（）A．﹣7 B．﹣3 C．2 D．5【分析】根据根与系数的关系及一元二次方程的解，可得出x12﹣3x1＝﹣1，x1+x2＝3，将其代入变形后的代数式中即可求出结论．解：∵一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根为x1，x2，∴x12﹣3x1＝﹣1，x1+x2＝3，∴x12﹣5x1﹣2x2＝x12﹣3x1﹣2（x1+x2）＝﹣1﹣2×3＝﹣7．故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程的解及根与系数的关系，利用根与系数的关系及一元二次方程的解，找出x12﹣3x1＝﹣1，x1+x2＝3是解题的关键．10．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＞0；③8a+c＞0；④9a+3b+c＜0其中，正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解：①由图知：抛物线与x轴有两个不同的交点，则Δ＝b2﹣4ac＞0，故①正确；②抛物线开口向上，得：a＞0；抛物线的对称轴为x＝﹣＝1，b＝﹣2a，故b＜0；抛物线交y轴于负半轴，得：c＜0；所以abc＞0；故②正确；③根据②可将抛物线的解析式化为：y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）；由函数的图象知：当x＝﹣2时，y＞0；即4a﹣（﹣4a）+c＝8a+c＞0，故③正确；④根据抛物线的对称轴方程可知：（﹣1，0）关于对称轴的对称点是（3，0）；当x＝﹣1时，y＜0，所以当x＝3时，也有y＜0，即9a+3b+c＜0；故④正确；所以这四个结论都正确．故选：D．【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．11．若关于x的一元一次不等式组无解，且关于y的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和是（）A．2 B．3 C．5 D．6【分析】表示出不等式组的解集，由不等式组有解，得到a的取值范围，表示出分式方程的解，由分式方程的解为正整数确定出a的值，相加即可．解：不等式组整理得：，解得：3＜x＜a，由不等式组有解，∴a≤3，分式方程去分母得：2y﹣3﹣a＝y﹣2，解得：y＝1+a，由分式方程解为正整数，且y≠2得到1+a＝3，4，解得：a＝2，3，则满足题意a的值有2和3，2+3＝5，故选：C．【点评】此题考查了分式方程的解，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．12．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0（a≠0）必有两个不相等的实根；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则b2﹣4ac＝（2ax0+b）2．其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质解决此题．解：①当x＝1时，a×12+b×1+c＝a+b+c＝0，那么一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个不相等的实数根或有两个相等的实数根，此时b2﹣4ac≥0成立，那么①一定正确．②方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则﹣4ac＞0，那么b2﹣4ac＞0，故方程ax2+bx+c＝0（a≠0）必有两个不相等的实根，进而推断出②正确．③由c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，得ac2+bc+c＝0．当c≠0，则ac+b+1＝0；当c＝0，则ac+b+1不一定等于0，那么③不一定正确．④，由b2﹣4ac＝，得．由x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则成立，那么④正确．综上：正确的有①②④，共3个．故选：C．【点评】本题主要考查一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质，熟练掌握一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质是解决本题的关键．二、填空题（本大题4个小题，每小题4分，共16分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．13．在平面直角坐标系中，点（3，4）关于原点对称的点的坐标是（﹣3，﹣4）．【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数解答．解：点（3，4）关于原点对称的点的坐标是（﹣3，﹣4）．故答案为：（﹣3，﹣4）．【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．14．已知关于x的方程x2+kx﹣6＝0的一个根为x＝2，则实数k的值为1．【分析】根据题意可得：把x＝2代入方程x2+kx﹣6＝0中得：22+2k﹣6＝0，然后进行计算即可解答．解：由题意得：把x＝2代入方程x2+kx﹣6＝0中得：22+2k﹣6＝0，2k＝6﹣4，2k＝2，k＝1，故答案为：1．【点评】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键．15．在截面为半圆形的水槽内装有一些水，如图水面宽AB为6分米，如果再注入一些水后，水面上升1分米，此时水面宽度变为8分米．则该水槽截面半径为5分米．【分析】如图，水面AB上升1分米得到水面CD，依题意得AB＝6分米，CD＝8分米，过O点作AB的垂线，垂足为E，交CD于F点，连接OA，OC，由垂径定理，得AE＝AB＝3分米，CF＝CD＝4分米，设OE＝x分米，则OF＝（x﹣1）分米，在Rt△OAE中和Rt△OCF中，根据勾股定理求得OA、OC的长度，然后由OA＝OC，列方程求x即可求半径OA．解：如图，依题意得AB＝6，CD＝8，过O点作AB的垂线，垂足为E，交CD于F点，连接OA，OC，由垂径定理，得AE＝AB＝3分米，CF＝CD＝4分米，设OE＝x分米，则OF＝（x﹣1）分米，在Rt△OAE中，OA2＝AE2+OE2，在Rt△OCF中，OC2＝CF2+OF2，∵OA＝OC，∴32+x2＝42+（x﹣1）2，解得x＝4，∴半径OA＝＝5（分米）．故答案为：5分米．【点评】本题考查了垂径定理的运用．关键是利用垂径定理得出两个直角三角形，根据勾股定理表示半径的平方，根据半径相等列方程求解．16．为了应对疫情对经济的冲击，增加就业岗位，某区在5月份的时候开设了一个夜市，分为餐饮区、百货区和杂项区三个区域，三者摊位数量之比5：4：3，市场管理处对每个摊位收取50元/月的管理费，到了6月份，市场管理处扩大夜市规模，并将新增摊位数量的一半用于餐饮，结果餐饮区的摊位数量占到了夜市总摊位数量的45%，同时将餐饮区、百货区和杂项区每个摊位每月的管理费分别下调了10元、20元和30元，结果市场管理处6月份收到的管理费比5月份增加了，则杂货区新增的摊位数量与该夜市总摊位数量之比是3：20．【分析】根据“餐饮区的摊位数量占到了夜市总摊位数量的45%”和“6月份收到的管理费比5月份增加了”列方程求解．解：由题意设6月份的餐饮区、百货区和杂项区三者摊位数量分别为5n，4n，3n，则6月份的管理费为：（5n+4n+3n）×50＝600n（元），7月份的管理费为：（1+）×600n＝650n（元），再假设新增摊位数量为m，则餐饮区新增摊位数量m，由餐饮区的摊位数量占到了夜市总摊位数量45%，可得：45%（12n+m）＝5n+m，化简后可得：m＝8n，即有新增摊位数量为8n，餐饮区新增摊位数量为4n，且7月份下调后的餐饮区、百货区和杂项区每个摊位每月的管理费分别为：40元、30元、20元，设7月份新增百货区a个，则新增杂项区（4n﹣a）个，则：40×9n+30（4n+a）+20×（7n﹣a）＝×12n×50，化简得：a＝3n，所以百货区新增的摊位数量与该夜市总摊位数量之比是3n：（12n+8n）＝3n：20n＝3：20．故答案为：3：20．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找到相等关系是解题的关键．三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.17．解下列方程：（1）x2+x﹣3＝0；（2）（2x+3）2＝5（2x+3）．【分析】（1）先求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出答案即可；（2）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可．解：（1）x2+x﹣3＝0，这里a＝1，b＝1，c＝﹣3，∵Δ＝b2﹣4ac＝12﹣4×1×（﹣3）＝13＞0，∴x＝＝，解得：，；（2）（2x+3）2＝5（2x+3）（2x+3）2﹣5（2x+3）＝0，（2x+3）（2x+3﹣5）＝0，2x+3＝0或2x+3﹣5＝0，解得：，x2＝1．【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．18．如图，四边形ABCD是菱形．（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：作出AB的垂直平分线EF，分别交AB，AC于点E和点F；连接BF．（2）在（1）问图中，当CF＝BC时，请求出∠ADC的度数．解：∵EF垂直平分AB∴AF＝①BF∴设∠CAB＝∠ABF＝x∴∠CFB＝∠CAB+∠ABF＝2x∵CF＝CB∵②∠CBF＝∠CFB＝2x∴∠ABC＝∠ABF+∠FBC＝3x∵四边形ABCD是菱形∴AB＝BC，∠ADC＝∠ABC∴∠ACB＝∠CAB＝x．在△ABC中，∠CAB+∠ABC+∠BCA＝180°，即：x+3x+x＝180°∴x＝③36°∴∠ADC＝3x＝④108°【分析】（1）利用基本作图作AB的垂直平分线即可；（2）先利用线段垂直平分线的性质得到AF＝BF，设∠CAB＝∠ABF＝x，则∠CBF＝∠CFB＝2x，∠ACB＝∠CAB＝x．再利用三角形内角和得到x+3x+x＝180°，求出x，从而得到∠ADC的度数．解：（1）如图，EF为所作；（2）∵EF垂直平分AB，∴AF＝BF，∴设∠CAB＝∠ABF＝x，∴∠CFB＝∠CAB+∠ABF＝2x，∵CF＝CB，∵∠CBF＝∠CFB＝2x，∴∠ABC＝∠ABF+∠FBC＝3x，∵四边形ABCD是菱形∴AB＝BC，∠ADC＝∠ABC，∴∠ACB＝∠CAB＝x．在△ABC中，∠CAB+∠ABC+∠BCA＝180°，即：x+3x+x＝180°，∴x＝36°，∴∠ADC＝3x＝108°．故答案为：BF，∠CBF，36°，108°．【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质和菱形的性质．四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.19．为了庆祝伟大的中国共产党第二十次全国代表大会召开，某校开展了“爱祖国•跟党走”的知识答题竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A.80≤x＜85，B.85≤x＜90，C.90≤x＜95，D.95≤x≤100）下面给出了部分信息：七年级10名学生的竞赛成绩是：90，81，90，86，99，95，96，100，89，84八年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：90，94，94七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表年级七年级八年级平均数9191中位数90b众数c100方差5250.4根据以上信息，解答下列问题：（1）直接写出上述图表中a、b、c的值；（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握的相关知识较好？请说明理由（写一条理由即可）；（3）该校七年级有1200人，八年级有1600人参加了此次答题竞赛活动，估计参加竞赛活动成绩优秀（x≥90）的学生人数是多少？【分析】（1）根据扇形统计图可求出“D组”所占的百分比，即可求出a的值，根据中位数、众数的意义可求出b、c的值；（2）通过中位数、众数、方差进行分析得出答案；（3）分别求出七、八年级样本中的优秀率，进而根据七、八年级的优秀率求出七、八年级的优秀人数，再求出总体中的优秀人数．解：（1）八年级成绩在“C组”的有3人，占3÷10＝30%，所以“D组”所占的百分比为1﹣10%﹣20%﹣30%＝40%，因此a＝40，八年级10名同学成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数都是94，因此中位数是94，即b＝94；七年级10名学生成绩出现次数最多的是90，因此众数是90，即c＝90，所以a＝40，b＝94，c＝90；（2）八年级的成绩较好，理由：八年级成绩的中位数、众数都比七年级的高，而方差比七年级的小，成绩比较稳定；（3）1200×+1600×＝1840（人），答：估计参加竞赛活动成绩优秀（x≥90）的学生人数有1840人．【点评】本题考查扇形统计图、中位数、众数、平均数、方差以及样本估计总体，掌握平均数、中位数、众数、方差的意义和计算方法是正确解答的前提．20．在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（﹣1，2），B（﹣3，1），C（0，﹣1）．（1）请画出△ABC绕点C逆时针方向旋转90°后得到△A1B1C，并写出A1的坐标是（﹣3，﹣2），B1的坐标是（﹣2，﹣4）．（2）请画出△ABC关于原点O对称的△A'B'C'，并写出A'的坐标是（1，﹣2），C'点坐标是（0，1）．【分析】（1）根据旋转的性质画图即可得到△A1B1C，由图可得答案．（2）根据中心对称的性质画图即可得到△A'B'C'，由图可得答案．解：（1）如图，△A1B1C即为所求.由图可得，A1的坐标为（﹣3，﹣2），B1的坐标为（﹣2，﹣4）．故答案为：（﹣3，﹣2）；（﹣2，﹣4）．（2）如图，△A'B'C'即为所求．由图可得，A'的坐标为（1，﹣2），C'点坐标为（0，1）．故答案为：（1，﹣2）；（0，1）．【点评】本题考查作图﹣旋转变换、中心对称，熟练掌握旋转的性质、中心对称的性质是解答本题的关键．21．如图，已知抛物线y1＝x2﹣4x﹣5与y轴相交于点A（0，﹣5），与x轴相交于点B（5，0）和点C，抛物线的顶点为点D，一次函数y2＝kx+b的图象经过A、B两点．（1）画出一次函数图象，并求出一次函数解析式；（2）根据图象直接写出y1＞y2的解集；（3）求△BCD的面积．【分析】（1）一次函数的图象就是直线AB，然后利用待定系数法求直线AB的解析式即可；（2）观察函数图象，找出抛物线在直线AB上方所对应的自变量的范围即可；（3）先解方程x2﹣4x﹣5＝0得C（﹣1，0），再把二次函数的一般式配成顶点式得到顶点D的坐标为（2，﹣9），然后根据三角形的面积公式求解．解：（1）如图，把A（0，﹣5），B（5，0）分别代入y2＝kx+b得，解得，∴y2＝x﹣5；（2）y1＞y2的解集为x＜0或x＞5；（3）当y1＝0，即x2﹣4x﹣5＝0，解得x1＝﹣1，x2＝5，∴C（﹣1，0），B（5，0），∵y1＝x2﹣4x﹣5＝（x﹣2）2﹣9，∴顶点D的坐标为（2，﹣9），∴△BCD的面积＝×（5+1）×9＝27．【点评】本题考查了二次函数与不等式：运用数形结合的思想，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围．也考查了待定系数法求函数解析式和抛物线与x轴的交点．22．第24届冬季奥运会在首都北京成功举办，使得北京成为历史上首个双奥之城．某特许经销商购进甲、乙两种冬奥纪念品，其中每个甲的进价是每个乙进价的0.75倍，甲、乙的销售单价分别为75元/件、80元/件．该经销商第一次购进甲、乙两种纪念品若干件，均花费600元，结果发现甲比乙多买5件．（1）求甲、乙的购进单价分别是多少元？（2）在经销商卖完第一批纪念品后，以相同进价再次购进两种纪念品，乙的采购数量和第一次保持一致．根据经验，甲的售价每降低1元，销量就在第一次的基础上增加1件，该经销商现对甲进行降价销售，乙售价保持不变．当甲、乙再次售完时，商家在第二次销售中获利1350元，请问商家第二次采购了甲多少件？【分析】（1）设乙的购进单价是x元，则甲的购进单价是0.75x元，根据甲比乙多买5件列出方程计算即可求解；（2）设甲降价m元，则甲的销量为（20+m）件，根据甲、乙再次售完时，商家在第二次销售中获利1350元列出方程计算即可求解．解：（1）设乙的购进单价是x元，则甲的购进单价是0.75x元，依题意有：﹣＝5，解得x＝40，经检验，x＝40是原方程的解，0.75x＝0.75×40＝30．故甲的购进单价是30元，乙的购进单价是40元；（2）甲购进600÷30＝20（件），乙购进600÷40＝15（件），乙的获利（80﹣40）×15＝600（元），设甲降价m元，则甲的销量为（20+m）件，依题意有：（75﹣m﹣30）（20+m）＝1350﹣600，解得x1＝30，x2＝﹣5（舍去），20+m＝20+30＝50．故商家第二次采购了甲50件．【点评】本题考查了分式方程的应用，一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键．23．双十一是深入人们生活中的购物狂欢节，而今年双十一我县全县学生居家学习，现规定一个四位自然数N的千位数字、百位数字与十位数字的和恰好为11，个位数字为千位数字与百位数字之差的绝对值，且这个四位数N能被11整除，那么称这个数N为“双11数”例如：N＝1463，∵1+4+6＝11，|1﹣4|＝3，且1463÷11＝133，∴1463是“双11数”；又如N＝6412，因为6+4+1＝11，|6﹣4|＝2，但6412÷11＝582…10，∴6412不是“双11数”．（1）判断2092，9207是否是“双11数”，并说明理由；（2）一个“双11数”N的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记，当G（N）为整数时，求出所有满足条件的N．【分析】（1）根据题意对两个数进行运算验证；（2）用代数式的形式表示出来N和G（N），再分组讨论出符合的情况．解：（1）∵2+0+9＝11，|2﹣0|＝2，且2092÷11＝190……2，∴2092不是“双11数”；∵9+2+0＝11，|9﹣2＝7|，9207÷11＝837，∴9207是“双11数”．（2）∵N＝1000a+100b+10c+d，a+b+c＝11，|a﹣b|＝d，∴①a≥b时，d＝a﹣b，G（N）＝，N＝991a+89b+110，b＝1时，a＝8，N不是11的倍数；b＝2时，a＝5，N不是11的倍数；b＝3时，a＝7，N不是11的倍数；b＝4时，a＝5，N不是11的倍数；b＝5时，a＝5或a＝6，N只为：6501．②a＜b时，d＝b﹣a，G（N）＝，N＝989a+91b+110，a＝1时，b＝8，N不是11的倍数；a＝2时，b＝5，N不是11的倍数；a＝3时，b＝7，N不是11的倍数；a＝4时，b＝5，N是11的倍数，N＝4521；a＝5时，b＝5或b＝6，N均不是11的倍数；∴N为：6501或4521．【点评】本题考查了用代数式来解决问题，关键找到符合题意的所有情况．24．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C．（1）求b，c的值．（2）如图1，点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，设点P的横坐标m．当m为何值时，△PBC的面积最大？并求出这个面积的最大值．（3）如图2，将该抛物线向射线BC方向平移个单位长度得到新的抛物线y1＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），平移后的抛物线与原抛物线相交于点D，点M为新抛物线上的一点，点N是原抛物线对称轴上一点，是否存在点M，N，使以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将点A（1，0）和点B（﹣3，0）代入y＝﹣x2+bx+c，即可求解析式；（2）求出直线BC的解析式y＝x+3，过P点作PQ⊥x轴交BC于Q，由已知可得P（m，﹣m2﹣2m+3），则Q（m，m+3），则S△PBC＝﹣（m+）2+，当m＝﹣时，S△PBC有最大值，此时P（﹣，）；（3）根据题意可知抛物线向右平移1个单位，向上平移1个单位，可求平移后的函数解析式为y＝﹣x2+5，当﹣x2﹣2x+3＝﹣x2+5时，求出D（﹣1，4），设M（t，﹣t2+5），N（1，n