一个带约束条件的二元函数最值的求法(四)

一个带约束条件的二元函数最值的求法江苏省东海县白塔高级中学陈大连邮编222345电话近年来高考与各地的模拟考试中悄然出现一种平时练习中不太常见的数学问题——求带约束条件的二元函数最大值或最小值，这种问题因条件与目标函数的不同其解法也往往不同.本文将给出一道典型小题的多种解法并对解法加以说明，以帮助读者能够迅速解决这种问题并增强解题的灵活性.问题(2015届江苏省宿迁市高三一模第9题)已知实数x,y满足x2-xy+y2=1，则x+y的最大值为.解法1令x+y=t，则y=t-x，将其代入条件得，x2-x(t-x)+(t-x)2=1，整理，[x+y=2,得3x2—3tx+12—1=0.令△=(-3t)2-4x3(t2-1)>0，解得-2<t<2.当｛即Ix2一xy+y2=1x=y=1时右边的等号成立，所以t=x+y的最大值为2.注此解法对目标函数整体换元，然后将条件化为关于某个变元的一元二次方程，依据其判别式的非负性得到目标函数的最值，其中“可将条件化为关于某个变元的一元二次方程”是此解法得以成功的关键所在.需要提醒的是在得到-2<t<2时要注意检查等号成立的条件.解法2由x2-xy+y2=1配方，得(x+y)2-3xy=1，再由基本不等式，得(x+y)2=1+3xy<1+3(x+y)2，即(x+y)2<1+3(x+y)2，解得(x+y)2<4，即22-2<x+y<2，从而x+y<2.当x=y=1时等号成立，所以x+y的最大值为2.注由于约束条件为二元二次方程，我们可以考虑对其配方，但配方的途径有很多，上解法注意结合目标函数配方，并运用基本不等式，构造出一个关于目标函数式x+y的不等式，通过解不等式求出函数的最值，这种构造不等式求最值或范围是常见的思路.解法3由x解法3由x2-xy+y2=1配方，得y3y(x-—)2+—y2=1.令x-—=cosa242亘y=sina2TOC\o"1-5"\h\z33则一y^•■'3sina，(x一—)+-y=\/3sina+cosa，即x+y=*3sina+cosa^2^2^2冗冗=2sin(a+-)<2易见当a=-时等号成立，所以所求的最大值为2.注由于x2-xy+y2=1的左边是一个非负式子，可以配方成两个式子的平方和，为三角换元创造条件._解法4由解法3知等式条件可配方为(x-2)2+3y2=1•令x-2=s，叵y=t，则条件422化为s2+12=1，目标函数x+y=s+冋.由线性规划知识，当动直线s+73t=P与圆s2+12=1相切时Ps2+12=1相切时P最大或最小,J12+6/3)2

中2是最大值，即x+y的最大值为2.注此解法通过换元将问题化为线性规划问题，借助约束条件与目标函数的几何意义求解，直观明了.解法5当x=0时y2=1,y=±1,x+y=±1.当x丰0时,Qx2一xy+y2=1,(x+y)2=(x+y)2x2一xy+y2x2+2xy+y2x2一xy+y21+2•2+(2)21+2t+121-2+(2)2-1+,—t+11+,—t+121—t+12xx

(1-1+12)+3t1+3t

其中t=丄易求1+3t的x1—t+t2最大值为4（只需考虑t〉0情形），即（x+y）2<4，从而x+y<2.综合，得所求的最大值为2.注上解法运用齐次化方法，将目标函数化为一元分式函数，之所以能这样做，是因为约束条件左边是齐次式（二次）而目标函数也是齐次式（一次）根据次数关系再将目标函数平方为（x+y）2求其最大值.一般地，如果约束条件与目标函数均为齐次式，可考虑这种方法.解法6x+y解法6x+y=s,s+tx=2s—ty=T代入x2—xy+y2=1，得（耳）2-字-耳+（耳"=1，化简，得宁+手=1，它表示椭圆，显然s的取值乙乙乙乙范围是[—2,2]，而s就是x+y，所以x+y的最大值为2.x+y=s注由于条件中含有xy项，且x2项与y2项的系数相等，若我们作线性代换（y'、x-y=t,则可以化去变元的混合乘积项，使等式条件只含有变元的平方项，这样我们就能看清等式条件所表示的图形特征，以便于从几何角度求解.解法7令x+y=p，x=—+1,y=—-1，则（£+1）2-（—+1）（£-1）+（—-1）2=1，化22222简，得P+3t2=1，所以p<1，从而p2<4，-2<p<2，可见x+y的最大值为2.44注上解法用的是平均代换，通常当条件为两变元的和等于一常数，会考虑这种方法.以上各解法能紧扣问题特点，都比较简捷，而下面的解法虽对此题不够简捷，却值得解法8当x,y中有一个为0时，由对称性，不妨x=0，则y=±1，此时x+y=±1.当x,y同号时，因求的是x+y的最大值，只须考虑x〉0,y〉0情形.此时令x+y=p,x=pcos2a,y=psin2a，其中p>0.代入条件，得p2cos4a-p2cos2asin2a

+p2sin4a=1，从而p2=cos4a-cos2asin2a+sin4a（cos2a+sin2a）2-3cos2asin2a11TOC\o"1-5"\h\zv=43_3•1—二sin22a1-44当x,y异号时，由对称性，不妨x>0,y<0，此时令x+y=p，x=p,cos2a1tan2ay=-ptan2a，p>0，代入条件，得p2+p2+p2tan4a=1，从而p2=cos4acos4acos2cos4a1=<1.1tan2a1+sin2a+sin4a++tan4acos4acos2a综合三种情况，得p<2，即x+yV2，其中等号可取到，所以x+y的最大值为2.注若目标函数为x2+y2，则易想到三角换元x=pcosa,y=psina，但若目标函数为x+y且x,y>0，也可考虑三角换元x=pcos2a,y=psin2a.若目标函数为x2-y2，可考虑三角换元x=p—1—,y=ptana，但若目标函数为x-y(x,y>0),则也可考虑令cosa1x=p,y=psm2a.cos2a解法9由x2-xy+y2=1得y=x土'4-3x2解法9由x2-xy+y2=1得y=22由柯西不等式的二元形式ax+byV・a2+b2x2+y2，得迈（J3x）土—^4-3x2V^2^2^23）2+（2）2•\'&3x）2+（訂—3x2）2=2.当£：（土2）=&3x）24—3x2，即x=1时等号成立，所以x+y的最大值为2.注上解法用的是消元法，此解法看似平淡无奇，但使用的范围也较广，只要能依据等rra-b这一步也可改为运用向量求解：，同式条件将一个变元用另一个变元的代数式表示，都可考虑这一方法.另，使用柯西不等式的这一步也可改为运用向量求解：，同J3]样可得一G'3x）土—<4一3x2V2<2<解法10设九为待定的正常数，则x2-xy+y2—九(x+y)=x2-(y+九)x+y2—九y=（x-宁）2+y2-Xy-呼2=（x-甲）2+4y2-号y弋=（x-字）2+1（y2-2入y）斗242424244

\2>-X2.4=(X-丑)2+3(y\2>-X2.424*4y=九,当<y+九即x=y=X时等号成立，此时九2—X-X+X2=1，解得九二1，从而有〔2x2—xy+y2—(x+y)>—12=—1,即1—(x+y)>—1,即x+y<2,且等号能成立，所以x+y的最大值为2.注此解法先引入待定的系数X，然后依次对x,y进行配方，当得到两个式子的平方和后便根据其非负性将构建的式子放缩，最后利用等号成立的条件及函数的约束条件确定待定系数的值，其中配方的方法我们称之为主元配方法或拉格朗日配方法.这种解法是处理带等式(二元二次整式)约束条件的二元整式函数最值问题的较一般的方法.如果我们在解此类题问题时一时没有找到简单的方法，不妨试用这一方法.以上10种解法思路各不相同，是解决带等式约束条件二元函数最值问题的常用方法，希抓住问题特点灵活运用.本题还有其它解法，读者可继续探究.为帮助读者进一步熟悉此类问题的解法，下面备几道练习题供参考使用：已知正实数x,y满足2xy+2x+y=3，求x+y的最小值.已知实数x,y满足2xy+2x+y=3，求4x2+y2的最小值.已知实数x,y满足x2—2xy—3y2=1，求x2+y2的最小值.x2TOC\o"1-5"\h\z已知实数x，y满足——y2=1，则3x2—2xy的最小值.4若实数x,y满足x2—4xy+4y2+4x2y2二4，则x+2y的最大值为.24已知正实数x,y满足x++3y+=10，则xy的取值范围为.xy已知(2x—y)2=(5+2y)(1-2y),x,y>0，则2x+y的最大值为.已知实数x,y满足x3—y3=1，x>0,y>0，求(x2—y2)(x+y)的取值范围.练习答案:1.2迈—3；2.2;3.出5；4.6+4迈；5.2巨；6.[1,8]；7.3迈—2；2438-(1,3)练习解答(仅提供一种):练习解答(仅提供一种):3—2x1.由2xy+2x+y=3得y=-2x+13—2x—1—2x+4所以-+y=-+=-+2x+12x+141431431-3=x-1+冇=2(2x+1)+冇-1>2込(2x+1)-冇-i-2，且等号能成立.所以x+y的最小值是2、：2—.^22.由基本不等式得2x-y<Qx)[+护,2x+y<\：2[(2x)2+y2，所以3=2xy+2x+y<(2x)2+y2+<2[(2x)2+y2，解得(2x)2+y2>2，即4x2+y2>2，当2x=y且2xy+2x+y=3即x=y=1等号成立，所以4x2+y2的最小值为2.23.令x=rcosd,y=rsina，则x2+y2=r2，条件化为r2cos2a一2r2cosasina一3r2sin2a=1，由此得r2cos2a-2cosasina-3sin2a==>1+cos2asin2a-3•1—cos2a2cos2a-sin2a-1J5cos(2a+^)-1_45-12sin一215+1，其中等号能显然成立.44.令=丄,y=tana，则x=丄，3x2-2xy=上±-空=旦-空竺2cosacosacos2acosacos2acos2a12-4sina=4(3-sina)=41-sin2a_(9一sin2a)一8一(3+sina)-86+(-3+sina)-L--sina3-sina:8一>===6+4迈，当6一[(3一讪"E]6-彰--崗6一心o=3—sina=即sina=3—2\:2时等号成立.一sina5.配方，得(x+2y)2+4x2y2—8xy+4二8,(x+2y)2+4(xy-1)2二8，所以(x+2y)2<8，所以x+2y<2\：2，当xy=1且x+2y>0、x2-4xy+4y2+4x2y2=4时等号成立，故x+2y的最大值为2^2.TOC\o"1-5"\h\zt2t4x6.令xy=t，则y=-，代入条件，得x++3--+丄=10，整理，得xxxt48(1+—)x2-10x+(2+3t)=0.其判另式100—4(1+—)(2+3t)>0，解得1<t<.tt388当x=y=1时t=1；当x=2,y=3时t=3.故xy的取值范围为[1,#.7.对条件配方，得(2x-y)2+4(y+1)2=9.令2x-y=s,2(y+1)=t，则有

y=—一1,2x=s+—一1,2x+y=s+1-2，问题化为在s2+12=9（t>2）条件下求p=s+1一222的最大值.由线性规划知识知，在坐标系s-o-1中当动直线p=s+1-2与圆弧s2+12=9（t>2）切于点（3i2,3-）时p最大，最大值为3\2-2.(x—y)(x(x—y)(x+y)2

(x-y)(x2