数模差分方程模型课件

第一节差分方程基本的基本概念与性质第二节市场经济中的蛛网模型第三节简单的鹿群增长模型第四节减肥计划——节食与运动第五节差分形式的阻滞增长模型第六节按年龄分组的种群增长第七章差分方程模型第一节差分方程基本的基本概念与性质第七章差分方程模型1第一节差分方程的概念及性质一.差分的定义与运算法则1.差分的定义第一节差分方程的概念及性质一.差分的定义与运算法则1.差2数模差分方程模型课件3解解4解解52.差分的四则运算法则可参照导数的四则运算法则学习2.差分的四则运算法则可参照导数的四则运算法则学习6二差分方程的基本概念1.差分方程与差分方程的阶定义1二差分方程的基本概念1.差分方程与差分方程的阶定义17定义2：定义2：8

注：由差分的定义及性质可知，差分方程的不同定义形式之间可以相互转换。注：由差分的定义及性质可知，差分方程的不同定义形式之间可以92.差分方程的解含有相互独立的任意常数的个数与差分方程的阶数相同的差分方程的解.差分方程的通解2.差分方程的解含有相互独立的任意常数的个数与差分方程的差分10为了反映某一事物在变化过程中的客观规律性，往往根据事物在初始时刻所处状态，对差分方程所附加的条件.通解中任意常数被初始条件确定后的解.初始条件差分方程的特解为了反映某一事物在变化过程中的客观规律性，往往根据事物在初始11引例1：Fibonacci数列问题13世纪意大利著名数学家Fibonacci在他的著作《算盘书》中记载着这样一个有趣的问题：一对刚出生的幼兔经过一个月可长成成兔，成兔再经过一个月后可以繁殖出一对幼兔.若不计兔子的死亡数，问一年之后共有多少对兔子？月份01234567…幼兔10112358…成兔011235813…总数1123581321…引例1：Fibonacci数列问题13世纪意大12

将兔群总数记为fn,n=0,1,2,…，经过观察可以发现，数列{fn}满足下列递推关系：

f0=f1=1,fn+2=fn+1+fn,n=0,1,2,…

这个数列称为Fibonacci数列.Fibonacci数列是一个十分有趣的数列，在自然科学和数学领域中都有着广泛的应用.Fibonacci数列的一些实例.1.蜜蜂的家谱

2.钢琴音阶的排列

3.树的分枝

4.杨辉三角形将兔群总数记为fn,n=0,1,2,…，经过观察13引例2：日常的经济问题中的差分方程模型1）.银行存款与利率

假如你在银行开设了一个1000元的存款账户，银行的年利率为7%.用an表示n年后你账户上的存款额，那么下面的数列就是你每年的存款额：

a0,a1,a2,a3,…,an,…

设r为年利率，由于an+1=an+ran,因此存款问题的数学模型是：

a0=1000,an+1=(1+r)an,n=1,2,3,…引例2：日常的经济问题中的差分方程模型1）.银行存款与利率142）.家庭教育基金

从1994年开始，我国逐步实行了大学收费制度.为了保障子女将来的教育费用，小张夫妇从他们的儿子出生时开始，每年向银行存入x元作为家庭教育基金.若银行的年利率为r，试写出第n年后教育基金总额的表达式.预计当子女18岁入大学时所需的费用为100000元，按年利率3%计算，小张夫妇每年应向银行存入多少元?

设n年后教育基金总额为an，每年向银行存入x元，依据复利率计算公式，得到家庭教育基金的数学模型为：

a0=x,an+1=(1+r)an+x,n=0,1,2,3,…2）.家庭教育基金从1994年开始，我国逐步实153）.抵押贷款

小李夫妇要购买二居室住房一套，共需30万元.他们已经筹集10万元，另外20万元申请抵押贷款.若贷款月利率为0.6%，还贷期限为20年，问小李夫妇每月要还多少钱？

设贷款额为a0，每月还贷额为x，月利率为r，第n个月后的欠款额为an，则

a0=200000,a1=(1+r)a0-x,a2=(1+r)a1-x,……an=(1+r)an-1-x,n=1,2,3,…3）.抵押贷款小李夫妇要购买二居室住房一套，共16例3例317证明证明18三.线性差分方程解的结构n阶齐次线性差分方程的标准形式n阶非齐次线性差分方程的标准形式三.线性差分方程解的结构n阶齐次线性差分方程的标准形式n191.n阶齐次线性差分方程解的结构问题:1.n阶齐次线性差分方程解的结构问题:20（是任意常数）

那么称这些函数在区间内线性相关；否则称线性无关.

（是任意常数）212.n阶常系数非齐次线性差分方程解的结构由此可见，要求出n阶常系数非齐次线性差分方程（2）的通解，只需求出（1）的通解和（2）的一个特解即可.2.n阶常系数非齐次线性差分方程解的结构由此可见，要求出n阶22一阶常系数齐次线性差分方程的一般形式一阶常系数非齐次线性差分方程的一般形式四一阶常系数线性差分方程的解法一阶常系数齐次线性差分方程的一般形式一阶常系数非齐次线性差分23数模差分方程模型课件24解解25数模差分方程模型课件26特征方程特征根解特征方程特征根解27解解28二、一阶常系数非齐次线性差分方程的求解二、一阶常系数非齐次线性差分方程的求解29数模差分方程模型课件301.1.31(1)(2)综上讨论(1)(2)综上讨论32解对应齐次方程通解特征方程特征根代入方程,得原方程通解为解对应齐次方程通解特征方程特征根代入方程,得原方程通解为33解对应齐次方程通解代入方程,得解对应齐次方程通解代入方程,得34解解352.2.36数模差分方程模型课件37数模差分方程模型课件38日常的经济问题中的差分方程模型1.银行存款与利率

假如你在银行开设了一个1000元的存款账户，银行的年利率为7%.用an表示n年后你账户上的存款额，那么下面的数列就是你每年的存款额：

a0,a1,a2,a3,…,an,…

设r为年利率，由于an+1=an+ran,因此存款问题的数学模型是：

a0=1000,an+1=(1+r)an,n=1,2,3,…日常的经济问题中的差分方程模型1.银行存款与利率392.家庭教育基金

从1994年开始，我国逐步实行了大学收费制度.为了保障子女将来的教育费用，小张夫妇从他们的儿子出生时开始，每年向银行存入x元作为家庭教育基金.若银行的年利率为r，试写出第n年后教育基金总额的表达式.预计当子女18岁入大学时所需的费用为100000元，按年利率3%计算，小张夫妇每年应向银行存入多少元?

设n年后教育基金总额为an，每年向银行存入x元，依据复利率计算公式，得到家庭教育基金的数学模型为：

a0=x,an+1=(1+r)an+x,n=0,1,2,3,…2.家庭教育基金从1994年开始，我国逐步实行40家庭教育基金模型的解

由a0=x,an+1=(1+r)an+x,n=0,1,2,3,…

得通解:

将a0=x,=1+r,b=x代入,得c=x(1+r)/r,因此方程的特解是:

将a18=100000,r=0.03代入计算出x=3981.39.家庭教育基金模型的解由a0=x,an+413.抵押贷款

小李夫妇要购买二居室住房一套，共需30万元.他们已经筹集10万元，另外20万元申请抵押贷款.若贷款月利率为0.6%，还贷期限为20年，问小李夫妇每月要还多少钱？

设贷款额为a0，每月还贷额为x，月利率为r，第n个月后的欠款额为an，则

a0=200000,a1=(1+r)a0-x,a2=(1+r)a1-x,……an=(1+r)an-1-x,n=1,2,3,…3.抵押贷款小李夫妇要购买二居室住房一套，共需42购房抵押贷款模型的解

由a0=200000,an+1=(1+r)an-x,n=0,1,2,3,…将

=1+r,b=-x代入得到方程的特解:

若在第N个月还清贷款，令aN=0,得:

将a0=200000,r=0.006,N=20*12=240代入计算出x=1574.70购房抵押贷款模型的解由a0=200000,434.分期付款

小王看到一则广告：商场对电脑实行分期付款销售.一台售价8000元的电脑，可分36个月付款，每月付300元即可.同时他收到了银行提供消费贷款的消息：10000元以下的贷款，可在三年内还清，年利率为15%.那么，他买电脑应该向银行贷款，还是直接向商店分期付款？

经过分析可知，分期付款与抵押贷款模型相同.设第n个月后的欠款额为an，则

a0=8000,an+1=(1+r)an-300,n=0,1,2,3,…

贷款模型

a0=8000,an+1=(1+0.15/12)an-x,n=0,1,2,3,…4.分期付款小王看到一则广告：商场对电脑实行分44第二节市场经济中的蛛网模型问题供大于求现象商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定价格下降减少产量增加产量价格上涨供不应求描述商品数量与价格的变化规律数量与价格在振荡第二节市场经济中的蛛网模型问供大于求现商品数量与价格45蛛网模型gx0y0P0fxy0xk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格消费者的需求关系生产者的供应关系减函数增函数供应函数需求函数f与g的交点P0(x0,y0)~平衡点一旦xk=x0，则yk=y0,xk+1,xk+2,…=x0,yk+1,yk+2,…=y0

蛛网模型gx0y0P0fxy0xk~第k时段商品数量；46xy0fgy0x0P0设x1偏离x0x1x2P2y1P1y2P3P4x3y3P0是稳定平衡点P1P2P3P4P0是不稳定平衡点xy0y0x0P0fg

曲线斜率蛛网模型

xy0fgy0x0P0设x1偏离x0x1x2P2y1P1y247在P0点附近用直线近似曲线P0稳定P0不稳定方程模型方程模型与蛛网模型的一致在P0点附近用直线近似曲线P0稳定P0不稳定方程模型方48

~商品数量减少1单位,价格上涨幅度

~价格上涨1单位,(下时段)供应的增量考察

,的含义

~消费者对需求的敏感程度

~生产者对价格的敏感程度

小,有利于经济稳定

小,有利于经济稳定结果解释xk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格经济稳定结果解释~商品数量减少1单位,价格上涨幅度~价格上涨149经济不稳定时政府的干预办法1.使

尽量小，如

=0

以行政手段控制价格不变2.使

尽量小，如

=0靠经济实力控制数量不变xy0y0gfxy0x0gf结果解释需求曲线变为水平供应曲线变为竖直经济不稳定时政府的干预办法1.使尽量小，如=050模型的推广

生产者根据当前时段和前一时段的价格决定下一时段的产量。生产者管理水平提高设供应函数为需求函数不变二阶线性常系数差分方程x0为平衡点研究平衡点稳定，即k

,xk

x0的条件模型的推广生产者根据当前时段和前一时段的价格决定下一时段的51方程通解(c1,c2由初始条件确定)

1,2~特征根，即方程的根平衡点稳定，即k

,xk

x0的条件:平衡点稳定条件比原来的条件放宽了模型的推广方程通解(c1,c2由初始条件确定)1,2~特征根，即521、问题的分析

由于公鹿和母鹿的比例大致相等，所以在此仅考虑母鹿的增长。鹿群的增长与鹿的死亡率和生育率密切相关，因为鹿的生育周期为一年，即一岁以上的母鹿可以生育，所以我们把母鹿分为两组，一岁以下的为幼鹿，其余的为成年鹿。根据这样的分组，一年以后存活的幼鹿都为成年鹿，而这一年中出生的鹿构成新的幼鹿。从以上的分析，我们可把观测的时间间隔取为一年。2、模型假设１）动物的数量足够大，故可以用连续的方法来度量。２）只考虑母鹿，并将其分为两组，一岁以下为幼鹿组，其余为成年鹿组。第三节简单的鹿群增长模型1、问题的分析由于公鹿和母鹿的比例大致相等，所以53

３）把时间离散化，每年观测一次，即环境因素、生育、死亡方式等每年重复发生。

４）不考虑饱和状态，即在所考虑的时间段内，种群的增长几乎不受自然资源的制约。５）疾病是死亡的主要原因，鹿的死亡数与鹿的总数成正比。６）鹿的生育数与鹿的总数成正比。3、模型的建立与求解分别以和表示第n年幼鹿和成年鹿的数量。

一年后，幼鹿存活的数量与之比叫做幼鹿的存活率。

由假设５，每年的存活率是一常数，分别以和表示幼鹿和成年鹿的存活率。

３）把时间离散化，每年观测一次，即环境因素、生育、死亡方式54

因为年长的幼鹿在这一年之内可能超过一岁，因而有生育能力。根据假设６，生育率也是常数，分别以和表示幼鹿和成年鹿的生育率。

假设刚出生的幼鹿在哺乳期的存活率为s。一年以后，原来的幼鹿可生育幼鹿数为

成年鹿可生育的幼鹿数为

由于哺乳期的新生幼鹿的存活率为s，所以一年以后新的幼鹿数：

(7.2.1)一年以后，原来的幼鹿存活数为

原来的成年鹿的存活数为

所以新的成年鹿的数目是(7.2.2)因为年长的幼鹿在这一年之内可能超过一岁，因而有55(7.2.1).(7.2.2)联立起来，即得下面的线性差分方程组：(7.2.3)或用矩阵表示为：

(7.2.4)

这是一个一步方程，令

，A=则(7.2.4)式可表示为

(7.2.5)

(7.2.1).(7.2.2)联立起来，即得下面的线性差分方56于是可推出：或=

n

(7.2.6)

如果知道开始时幼鹿数量和成年鹿的数量，由(7.2.6)可算出第n年的鹿的总数。

为了给出解的一般表达式，先把矩阵A对角化：

令=0即

得特征方程：

(7.2.7)于是可推出：或=57其判别式为

=

由于s,

都是大于零的，所以判别式Δ>0，和矩阵A可以对角化。

特征方程(7.2.7)有两个相异的实根，这保证了

对于特征根，从下面的线性方程组

=可解得特征向量

同理可解得对应于特征根的特征向量其判别式为=由于58所以可得矩阵P＝

使得A＝即于是得

将上式代入(7.2.6)式=所以可得矩阵P＝使得A＝即于是得将上式代入(7.59=记

=

(7.2.8)所以

=

=

=记=60

由此可得：

n

故解得：(7.2.9)现在利用公式(7.2.9)对下面的一组数据

＝0.8（千头）＝0.3＝0.62s＝0.8

＝1（千头）＝1.5

＝0.75由此可得：n故解得：(7.2.9)61计算今后6年鹿的总数。为此，将以上数据代入(7.2.7),解得将数据代入(7.2.8)得最后由(7.2.9)得计算今后6年鹿的总数。为此，将以上数据代入(7.2.7),解62

4、模型评价

该模型的假设中，没有考虑资源的制约，所以当鹿群的增长接近饱和状态时，该模型失效。如果考虑自然资源的制约，则模型假设中的第６条不成立，这时生育率与食物的获取有关。4、模型评价该模型的假设中，没有考虑资源的制约63第四节减肥计划——节食与运动背景

多数减肥食品达不到减肥目标，或不能维持

通过控制饮食和适当的运动，在不伤害身体的前提下，达到减轻体重并维持下去的目标分析

体重变化由体内能量守恒破坏引起

饮食（吸收热量）引起体重增加

代谢和运动（消耗热量）引起体重减少

体重指数BMI=w(kg)/l2(m2).18.5<BMI<25~正常；BMI>25~超重;BMI>30~肥胖.第四节减肥计划——节食与运动背景多数减肥食品达不到减肥64模型假设1）体重增加正比于吸收的热量——每8000千卡增加体重1千克；2）代谢引起的体重减少正比于体重——每周每公斤体重消耗200千卡~320千卡(因人而异),

相当于70千克的人每天消耗2000千卡~3200千卡；3）运动引起的体重减少正比于体重，且与运动形式有关；4）为了安全与健康，每周体重减少不宜超过1.5千克，每周吸收热量不要小于10000千卡。模型假设1）体重增加正比于吸收的热量——每8000千卡增加体65某甲体重100千克，目前每周吸收20000千卡热量，体重维持不变。现欲减肥至75千克。第一阶段：每周减肥1千克，每周吸收热量逐渐减少，直至达到下限（10000千卡）；第二阶段：每周吸收热量保持下限，减肥达到目标2）若要加快进程，第二阶段增加运动，试安排计划。1）在不运动的情况下安排一个两阶段计划。减肥计划3）给出达到目标后维持体重的方案。某甲体重100千克，目前每周吸收20000千卡热量，体重维持66

确定某甲的代谢消耗系数即每周每千克体重消耗20000/100=200千卡基本模型w(k)~第k周(末)体重c(k)~第k周吸收热量~代谢消耗系数(因人而异)1）不运动情况的两阶段减肥计划每周吸收20000千卡w=100千克不变确定某甲的代谢消耗系数即每周每千克体重消耗20000/167

第一阶段:w(k)每周减1千克,c(k)减至下限10000千卡第一阶段10周,每周减1千克，第10周末体重90千克吸收热量为1）不运动情况的两阶段减肥计划第一阶段:w(k)每周减1千克,c(k)减至下限10068

第二阶段：每周c(k)保持Cm,w(k)减至75千克1）不运动情况的两阶段减肥计划基本模型第二阶段：每周c(k)保持Cm,w(k)减至75千克69

第二阶段：每周c(k)保持Cm,w(k)减至75千克第二阶段19周,每周吸收热量保持10000千卡,体重按减少至75千克。第二阶段：每周c(k)保持Cm,w(k)减至75千克70运动

t=24(每周跳舞8小时或自行车10小时),14周即可。2）第二阶段增加运动的减肥计划根据资料每小时每千克体重消耗的热量

(千卡):

跑步跳舞乒乓自行车(中速)游泳(50米/分)7.03.04.42.57.9t~每周运动时间(小时)基本模型运动t=24(每周跳舞8小时或自行车10小时),14713）达到目标体重75千克后维持不变的方案每周吸收热量c(k)保持某常数C，使体重w不变

不运动

运动(内容同前)3）达到目标体重75千克后维持不变的方案每周吸收热量c(k)72第五节差分形式的阻滞增长模型连续形式的阻滞增长模型(Logistic模型)t

,x

N,x=N是稳定平衡点(与r大小无关)离散形式x(t)~某种群t时刻的数量(人口)yk~某种群第k代的数量(人口)若yk=N,则yk+1,yk+2,…=N讨论平衡点的稳定性，即k

,

yk

N？y*=N是平衡点第五节差分形式的阻滞增长模型连续形式的阻滞增长模型(73离散形式阻滞增长模型的平衡点及其稳定性一阶(非线性)差分方程(1)的平衡点y*=N讨论x*的稳定性变量代换(2)的平衡点离散形式阻滞增长模型的平衡点及其稳定性一阶(非线性)差分方程74(1)的平衡点x*——代数方程x=f(x)的根稳定性判断(1)的近似线性方程x*也是(2)的平衡点x*是(2)和(1)的稳定平衡点x*是(2)和(1)的不稳定平衡点补充知识一阶非线性差分方程的平衡点及稳定性(1)的平衡点x*——代数方程x=f(x)的根稳定性判断7501的平衡点及其稳定性平衡点稳定性x*

稳定x*

不稳定另一平衡点为x=0不稳定01的平衡点及其稳定性平衡点稳定性x*稳定x*不稳定另一7601/2101的平衡点及其稳定性01/2101的平衡点及其稳定性77初值x0=0.2数值计算结果b<3,x

b=3.3,x

两个极限点b=3.45,x4个极限点b=3.55,x8个极限点0.41181000.4118990.4118980.4118970.4118960.4118950.4118940.4118930.4118920.411891

0.379630.336620.272010.20000b=1.7k0.61540.61540.61540.61540.61540.61540.61540.61540.61540.6154

0.60490.63170.41600.2000b=2.60.82360.47940.82360.47940.82360.47940.82360.47940.82360.4794

0.48200.82240.52800.2000b=3.30.84690.43270.85300.44740.84690.43270.85300.44740.84690.4327

0.43220.85320.55200.2000b=3.450.81270.35480.88740.50600.82780.37030.88170.54050.81270.3548

0.39870.87110.56800.2000b=3.55初值x0=0.2数值计算结果b<3,xb=3.3,78倍周期收敛——x*不稳定情况的进一步讨论单周期不收敛2倍周期收敛(*)的平衡点x*不稳定，研究x1*,x2*的稳定性倍周期收敛——x*不稳定情况的进一步讨论单周期不收敛2倍周期79倍周期收敛的稳定性x1*x2*x*b=3.4y=f(2)(x)y=xx0倍周期收敛的稳定性x1*x2*x*b=3.4y=f(2)(x80倍周期收敛的进一步讨论出现4个收敛子序列