基于maxw方程的磁场测量误差分析

基于maxw方程的磁场测量误差分析

0轴磁传感器测量误差的分析误差是测量仪器性能的重要指标，主要用于分析测量设备的测量精度。在磁测量中,经常会用到正交三轴磁传感器进行测量。然而,在利用正交三轴磁传感器测量磁场时,由于辐射源点与测量传感器之间距离大小、传感器实际尺寸大小、辐射磁场分布的非线性和不均匀性等因素,均会带来测量上的误差。以往,在利用正交三轴磁传感器测量磁场时,往往把三轴磁传感器视为理想点测量,忽略传感器实际尺寸带来的测量误差。但实际测量时,由于传感器客观尺寸因素的存在带来测量结果的负面影响比较大。所以,本文对三轴磁传感器实际尺寸大小所引起的测量误差进行分析。文章首先基于磁偶极子辐射场理论,通过求解Maxwell方程建立三维磁场测量数学模型,然后利用MATLAB仿真计算结果,从标量测量和矢量测量两种不同测量方法层面研究各测量因素对测量误差的影响。该结论可以为分析三轴磁传感器的测量准确度提供一定理论参考依据,并在三维磁场测量时进行测量误差的定量分析有一定借鉴作用。1磁偶极子辐射理论r1)在创建磁场测量误差模型时,假设测量点到源点距离r(r远大于辐射电流环线度尺寸),以满足磁偶极子辐射理论的基本条件;2)为磁场测量误差建模简单,计算方便,视传感器位置在中心点处建立模型,再根据传感器实际参数来修正模型。2建模和计算2.1传感器轴线点位置根据经验正交三轴磁传感器构成一正方体。为计算推导方便,建立如图1所示右手空间球坐标系,原点位于磁偶极子圆心,磁偶极矩方向沿z轴正向,相互垂直的x轴与y轴指向按右手规则定义,传感器轴线方向与坐标轴方向一致。设传感器立方体模型中心点o′为空间任意点,球坐标为o′(r,θ,φ,),其中r为原点o至o′点的距离,θ为有向段oo′与OZ轴正向的夹角,φ为过点o′和OZ轴的半平面与XOZ平面之间夹角。与X、Y、Z轴方向平行放置的传感器轴线中心点分别为P、Q、S,其球坐标分别为:P(r0,θ0,φ0,),Q(r1,θ1,φ1,),S(r2,θ2,φ2)。显然,o′点直角坐标(X,Y,Z)与球坐标(r,θ,φ)存在以下关系:{X=rsinθcosφY=rsinθsinφΖ=rcosθr′=rsinθ⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪X=rsinθcosφY=rsinθsinφZ=rcosθr′=rsinθ(1)其中:0≤r<+∞,0≤θ≤π,0≤φ≤π;r′为r在XOY平面的投影;同理,P、Q、S点坐标也有上面的对应关系。2.2轴磁传感器测量原理磁场测量原理:测量空间磁场时,利用单个线圈在一定距离处感应的磁场信号值转换成电压值。基于磁偶极子辐射场的分布特性和传播特性,对于给定的磁矩为M的磁偶极子辐射源,在空间任意距离源点r处的场强与磁矩M有一定的关系,通过求解Maxwell方程得到在直角坐标下的磁场三分量表示为:Ηx=ΜXΖ4πμr5(3+j3Κr-Κ2r2)e-jΚrHx=MXZ4πμr5(3+j3Kr−K2r2)e−jKr(2)Ηy=ΜYΖ4πμr5(3+j3Κr-Κ2r2)e-jΚrHy=MYZ4πμr5(3+j3Kr−K2r2)e−jKr(3)Ηz=Μ4πμr5[3Ζ2-r2+jΚr(3Ζ2-r2)+Κ2r2r′2]e-jΚr(4)Hz=M4πμr5[3Z2−r2+jKr(3Z2−r2)+K2r2r′2]e−jKr(4)总场强:Η=√Η2x+Η2y+Η2zH=H2x+H2y+H2z−−−−−−−−−−−−√(5)其中,K为媒质的复波数,Κ=ω√μ(ε-jσ/ω)K=ωμ(ε−jσ/ω)−−−−−−−−−−√;ω为电磁波传播角频率;μ为导磁率;ε为介电常数;σ为导电率。根据图1中给出的设定有以下关系式:r2020=r2+a2-2arcosα(6)其中,a=(√2l-ϕ)/2a=(2l−−√−ϕ)/2;l为正方体边长,ϕ为传感器直径;α为oo′与o′P之间的夹角,a为传感器轴线中心点到o′点之间的距离。由式(1)、式(2)可求出o′点的Hx及P点的H′x分量:Ηx=Μsin2θcosφ8πμr3(3+j3Κr-Κ2r2)e-jΚrΗ′x=Μsin2θ0cosφ08πμr30(3+j3Κr0-Κ2r20)e-jΚr0(7)Hx=Msin2θcosφ8πμr3(3+j3Kr−K2r2)e−jKrH′x=Msin2θ0cosφ08πμr30(3+j3Kr0−K2r20)e−jKr0(7)同理由式(1)、式(3)可得o′点的Hy和Q点的H′y;相应由式(1)、式(4)可得o′点的Hz和S点的H′z;在计算Q点H′y时,对应α转变为oo′与o′Q之间夹角α′;计算S点的H′z时,对应α变为oo′与o′S之间夹角α″。在利用正交三轴磁传感器进行空间磁场测量时,经常用到的是标量测量,也可进行矢量测量。由此,产生磁场测量误差定义也有所不同。三维磁场测量误差定义一(标量测量误差):三轴磁传感器的理想点o′的真值H与三轴传感器实际测量值H′之差为测量绝对误差;相应的相对误差即为绝对误差与真值之比。即:ΔH=|H|-|H′|(8)γ=ΔΗΗ×100%(9)三维磁场测量误差定义二(矢量测量误差):先计算三轴磁传感器的单个传感器分量的测量误差,再进行三轴合成即得传感器总测量误差。即X轴方向传感器的测量绝对误差为:ΔHx=Hx-H′x(10)相应也可得Y、Z轴方向传感器的测量绝对误差ΔHy、ΔHz;故可通过合成得正交三轴传感器磁场测量的绝对误差、相对误差为:ΔΗ2=√(ΔΗx)2+(ΔΗy)2+(ΔΗz)2(11)γ2=ΔΗ2Η×100%(12)3计算和结果显示3.1测量相对误差函数的求解在计算时预先设置参数:令辐射源磁矩M=10-3A·m2,f=100Hz,代入式(8)、式(9)中,可得磁场标量测量绝对误差和相对误差关于l,ϕ,r和α变量的函数ΔH=f(l,ϕ,r,α),γ=g(l,ϕ,r,α);同理代入式(11)、式(12)可得磁场矢量测量误差函数ΔH2=f′(l,ϕ,r,α),γ2=g′(l,ϕ,r,α)。为了方便计算,设置传感器立方体中心o′点在球坐标系X轴上。取不同条件下,l和ϕ已知,r变化时,场强标量测量、矢量测量绝对误差ΔH的变化曲线如图2、图6;相对误差γ随r的变化曲线如图3、图7;当ϕ已知,图4、图8中三条曲线分别表示在传感器长度l取不同值时对应γ随r变化曲线;图5、图9中曲线分别表示在传感器l已知,直径ϕ取不同值时γ随r变化曲线。3.2结果分析1测量绝对误差h随r衰减变化梯度从图2、图6中可看出,当在已知条件l=3cm,ϕ=1.5cm下,在测量距离r<0.2m时,场强测量绝对误差ΔH随r衰减变化梯度大,r>0.2m时,ΔH随r变化相对比较缓慢;从图3中可看出,r<0.2m内测量时,其测量误差相对较大γ>10%;当r>0.2m测量时,γ<10%。所以,依据本文计算条件,在实际标量测量时若要求γ<10%,测量距离宜取r>0.2m处测量;矢量测量时取r>0.4m处测量。2测量大小的选取由图4、图8可以看出,已知ϕ=1.5cm条件下,在相同测量距离处,相对误差γ随传感器长度l增大而增大,特别在近距离(r<0.4m)处,其幅度变化尤为明显;因此,选取传感器时应尽量选长度短的传感器测量。若实际测量中要求测量指标:在距离r>0.35m处测量时γ<10%。则标量测量时应选择3cm<l<4cm的传感器测量比较适宜;矢量测量时若测量指标取r>0.53m处测量时γ<10%,则传感器选l≤3cm。3多传感器测量的比较已知l=3cm,由图5、图9知在同样测量距离r下,相对误差γ随传感器直径ϕ增大而减小;所以,选取传感器时应适当选直径较大的传感器进行测量。若实际测量中要求测量指标:在距离r>0.34m处测量时γ<10%。则标量测量时应选择0.5cm<ϕ<1.5cm的传感器测量比较适宜;矢量测量时指标取r>0.39m处测量时γ<15%,则选0.5cm<ϕ<1.5cm的传感器测量。由上面计算结果分析可知,在利用三轴磁传感器进行近距离磁场测量时,由于辐射场分布的非线性及传感器尺度影响的关系,带来测量误差较大,所以在选择测量点时,测量距离应适当大于辐射源尺度(即满足基本假设的第一个条件),以减小非线性测量误差。从计算结果图3～图9中可以明显观察到利用三轴磁传感器进行磁场测量时,由于传感器实际尺寸带来的测量误差,矢量测量要比标量测量大。而通过对传感器长度、直径因素带来测量误差的横向比较分析可知,在考虑选择测量传感器时,应适当选长度短、直径大的传感器(即理想点测量),以提高测量精度,但考虑到实际测量可行性时两者要兼顾。4测