15离散数学蜂考突击课

课时一2题1.下列语句中，下面哪一个选项是命题？（ 我正在说谎. 0110000010100111000011101111001011100111001010100111课时一112)真值：真、假. 10110000010100111000011101111001011100111001010100111 242 能被整除. 能被整除. “除非，否则非”等等，符号化为424242的充要条件是是无理数. 能被整除 能被整除 ，就，所以仅当才才“除非“除非，否则非.33)设为对的一个赋值，若指定的一组值使为1设为任一命题公式设为任一命题公式若不是矛盾式，则称为可满足式.3)设为对的一个赋值，若指定的一组值使1，则称这组值为设设若不是矛盾式，则称4课时一 . 如果和是偶数， （判断题）18191819. .设：我听课，：我做课堂笔记.命题“我一边听课，一边做课堂笔记”符号化. . 小静只能挑选或房间如果和是偶数， （判断题）记：小李今天18岁，：小李今年19岁，则“小李今年18岁或19岁”可以翻译成. 设：我听课，：我做课堂笔记.命题“我一边听课，一边做课堂笔记”符号化 设表示“天下大雨，表示“他在室内运动，则命题“除非天下大雨，否则他不在 5 命题公式中成真赋值的个数为 6 课时二 为重言式，则称与是等值的，记. （对的分配律（对的分配律7课时二 为重言式，则称与是等值的，记. （对的分配律（对的分配律 8. .析取范式：由有限个简单合取式的析取构成的命题式.，其中5 9析取范式：由有限个简单合取式的析取构成的命题式.表1 表2 设与是命题变元 表1 2 设与是命题变元含 因此，该命题公式的主析取范式是题题2.含个命题变项的命题公式的主合取范式 因此，该命题公式的主析取范式是主合取范式是则称是一个联结词完备集.设是两个命题，复合命题“与的否定式”称作.即复合命题“或的否定式”称作.即 含个命题变 含个命题变 . 含个命题变项的命题公式的主析取范式为，则它的主合取范 主合取范式是是两个命题，复合命题“复合命题“ 某电路中有个灯泡和个开关、、.已知在且仅在下述种情况下灯亮1)的扳键向上，、的扳键向下2)的扳键向上，、的扳键向下 、的扳键向上，的扳键向下4)、的扳键向上，的扳键向下设表示灯亮 分别表示、、扳键向上，求的主析取和主合取范式 （表示与非 课时二 . 含个命题变项的命题公式的主析取范式为，则它的主合取范 课时三设和是两个命题公式当且仅当 是重言式时称从可推出或是前提的 命题公式推出的推理正确当且仅当为重言式①①②②③③④④⑤⑤⑥⑥⑦⑦⑧⑧⑨⑨、、1)的扳键向上，、的扳键向下的扳键向上，、、的扳键向上，的扳键向下设表示灯亮 分别表示、、扳键向上，求的主析取和主合取范式 推的推理正确当且仅 得证课时三设和是两个命题公式当且仅当 是重言式时称从可推出或是前提的 命题公式推出的推理正确当且仅当为重言式 得证是有效结论.推的推理正确当且仅 前提： 得证是有效结论. ① ② ⑤ ⑥⑤附加 ⑧ 4.如果小张守第一垒并且小李向队投球，则队取胜；或者队未取胜，或者队成为联赛第一名；队没有成为联赛的第一名；小张守第一垒.因此，小李没向队投球.：小李向队投球：队成为联赛第一名. ① ② 判断以下结论是否有效：前提是： ： ）下列个推理中，不正确的是 在自然推理系统中，用构造法证明下面推理. (1)或盗窃了文物若证词正确，则在午夜前屋里灯光未灭试问谁是盗窃犯？试写出推导过程.设:“盗窃了文物，“盗窃了文物，：“作案时间发生在午夜前，“午夜前屋里灯光灭了，“证词正确”.如果小张守第一垒并且小李向队投球，则队取胜；或者队未取胜，或者队成为联赛第一名；队没有成为联赛的第一名；小张守第一垒.因此，小李没向队投球.：小李向队投球 ④前提引 课时四只有是素数，才是素数如果大于，则大于解：(1)设元谓 ：是素数，命题可符号化(2)设元谓 课时三 ： ）下列个推理中，不正确的是 在自然推理系统中，用构造法证明下面推理. (1)或盗窃了文物试问谁是盗窃犯？试写出推导过程.设:“33全称量词：符号 表示个体域中“所有的存在量词：符号表示个体域中有一个个体 ：是人 ：长着黑头发.则该命题 ：是人 ：是人 ：是火车 ：是汽车 ：跑得比快，那么命题“ . ：是运动员 ：是大学生，命题“不是所有的运动员都是大学生.” 或和中，称为指导变元，为量词的辖域. 的辖域中，所有出现都称作约束出现，题1 是指导变元，量词的辖域 .在中，是约束出现，而且约束出现两次，和均为自由出现，各自由出现一次.公式中含个量词，前件上的量词的指导变元为，的辖 是约束出现 是自由出现.后件中的量

的指导变元

的辖域为是约束出现，自由出现两次，自由出现一次，约束出现一次，设为一公式，若在任何情况下的任何赋值下均为真，则称为永真式或逻辑有效式；若在任何情况下的任何赋值下均为假，则称为矛盾式或永假式.设为一公式，若在任何情况下的任何赋值下均为真，则称为永真式或逻辑有效式；若在任何情况下的任何赋值下均为假，则称为矛盾式或永假式.若至少存在一个情况下的一个赋值使为真，则称 课时四只有是素数，才是素数如果大于，则大于.解：(1)设元谓 ：是素数，命题可符号化(2)设元谓 对任何均存在使得 对任何均存在使得 存在对任何均使得 存在对任何均使得 ：是学生 ：喜欢英语.则命题“有些学生喜欢英语”的符号化 ：是人 ：犯错误，命题“没有不犯错误的人”符号化为 ：是人， ：是花， ：喜欢，则命题“有些人喜欢所有的 ：是火车， ：是汽车， ：比快，则命题“每列火车都比某 谓词公式中量词 ， 全称量词：符号， 表示个体域中“所有的”.存在量词：符号表示个体域中有一个个体.：是人；：长着黑头发.则该命题符 ：是人；：是人；：：：跑得比 .： 或课时五 是永真式，则称与等值，记作 1)量词否定等值式含自由出现的个体变项2含自由出现的个体变项，不含中，称为指导变元，和的辖域中，题1 是指导变元，量词的辖域 .在中，是约束出现，而且约束出现两次，和 均公式中含个量词，前件上的量词的指导变元为，的辖域 均 是约束出现 是自由出现.后件中的量

的指导变元

的辖域为 含自由出现的个体变项， 解：消去量词，课时四 对任何均存在使得 对任何均存在使得 存在对任何均使得 存在对任何均使得 ：是学生 ：喜欢英语.则命题“有些学生喜欢英语”的符号化. ：是人 ：犯错误，命题“没有不犯错误的人”符号化为 ：是人， ：是花， ：喜欢，则命题“有些人喜欢所有的 ：是火车， ：是汽车， ：比快，则命题“每列火车都比某 谓词公式中量词 ， 先消去，再消去题2.设是不含变元的公式，谓词公 题2.设是不含变元的公式，谓词公 先消去再消去， 因此，的真值为为或，课时五 是永真式，则称与等值，记 1含自由出现的个体变项，则含自由出现的个体变项，不含 含自由出现的个体变项，在谓词逻辑中，从前提出发推出结论的推理的形式结构，依然采用如下的：，不在，：，为使得：，中无变元：先消去，再消去2.设是不含变元 2.设是不含变元 ：.先消去，得 再消去，得因此，的真值为为或，1.构造下面推理的证明.前提： ⑤前提引⑥⑤ ④前提引⑤ ④ 在谓词逻辑中，从前提出发推出结论的推理的形式结构，依然采用如下的，不在，为使得中无变元题题：是北极熊. ：是白色的. ：是棕熊.前提： ⑥前提引⑦ ⑥ 题1.构造下面推理的证明. ⑤前提引⑥⑤ 在个体域中， ， ，谓词 ， ，求的 ①② ④前提引⑤ ④ ， ，其真值为的公式 前提：在自然推理系统中构造下面推理再证明.前提：， ：是大一学生 ：要学习英语：：是北极熊. ：是白色的. ：是棕熊. ⑥前提引⑦ ⑥ 11或成员.元素和集合之间的关系是隶属关系，即属于或不属于，属于记作于记作，2)设为集合，如果中的每个元素都是中的元素，则称是的子集，记作,如果不被.3)设且，则称与.4)设且,则称是.5)不含任何元素的集合称作空集，记作6个元素的子集称作它的 ，将的子集分类 元子集：元子集： 课时五 在个体域中， ， ，谓词 ， ，求的 ①② 7)7)设为集合，把的全体子集构成的集合称作的幂集，记 8)若是元集，则有9记作 8)若是元集，则有9记作 ，则的幂集 元子集： . ，， 答案：,1.对1.对 和人，其中同时会英语和日语的有人，会英、德、和法语中任种语言的都是人.已知会日语的人既不懂法语也不懂德语，分别求只会一种语言（法、日）设同时会种语言的有人，只会英、法或德语一种语言的分别 和人.将 ，会种语言的人数为. ， ，其真值为的公式 前提： 在自然推理系统中构造下面推理再证明.前提：， ：是大一学生 ：要学习英语：要学习离散数学. 之间既不能被和，也不能被整除的可被整除可被整可被整除 表示有穷集的元素数，表示小于等于的最大整数，则 课时六于记作2)设,如果不被3)设，则称与4)设,则称是56个元素的子集称作它的，将 零 77)设为集合，把的全体子集构成的集合称作.8)若有记作 8)若有记作 ，则 . 若集合的元素个 是集合，若，则

被整除

被整除， 求 计算机班的名学生中，有人在第一次考试中得，人在第次考试中得，已知有人两次考试均未得，则两次考试都得的学生人数为 某班有个学生，会语言的人，会语言的人，会 语言的人，以上三门都会的人，都不会的没有，请问仅会两门的有几人？（要求写出求解过程） 名学生中，语言课有人优秀，数据结构课有人优秀，离散数学课有人优秀.并且语言和数据结构两门课都优秀的有人；语言和离散数学两门课都优秀的有人；数据结构和离散数学两门课都优秀的有人.此外，还有人一门优秀都没得到.如果获得门优秀者可得奖学金 元，获得门优秀者可得奖学金 ，则一定有 .，.. 设同时会种语言的有人，只会英、法或德语一种语言的分别 和人.将 ，会种语言的人数为. 可被整除可被整除 表示有穷集的元素数，表示小于等于的最大整数，则 课时七二元关系由两个元素由两个元素和，其中是它的第一元素，设序对组成的集合称作和 对任意集合，根据定义

零44果.2)设的任何子集所定义的二元关系称作从到当时称作3)若，的子集就有个，每一个子集代表一个二元关系，因此 ，设关系为上的小于关系， 答案：题题2.设为集合， ，则上最多可定 .上的特殊关系：空关系，全域关系上的特殊关系：空关系，全域关系，恒等关系 则的关系矩阵 设，是设，是上的关系，的关系图记作，有个顶点一条从到 上的二元关系的关系矩 答案：课时六 若集合的元素个

被整除 被整除， 计算机班的名学生中，有人在第一次考试中得，人在第次考试中得，已知有人两次考试均未得，则两次考试都得的学生人数为 某班有个学生，会语言的人，会 语言的人，会 语言的人，以上三门都会的人，都不会的没有，请问仅会两门的有几人？（要求写出求解过程） 名学生中，语言课有人优秀，数据结构课有人优秀，离散数学课有人优秀.并且语言和数据结构两门课都优秀的有人；语言和离散数学两门课都优秀的有人；数据结构和离散数学两门课都优秀的有人.此外，还有人一门优秀都没得到.如果获得门优秀者可得奖学金 元，获得门优秀者可得奖学金元，仅获得一门优秀者可得奖学金元，问为该专业学生发奖学金需多少元？ 设设的定义域和值域的并集称作 4)4)设是二元关系，的逆关系，简称为的逆，记 5)设为二元关系，对

，则上有 设 分别表示和的最大公约数和最小公倍数，则的关系矩 设，为上的关系，且关系矩阵为：

，则的关 ， ， ， ，从到的关 8.，，求 课时八二元关系在上自反在上自反在上反自反在上对称在上反对称在0 置，中相应的位1如果顶点到有边，到有边，则从到课时七二元关系其中是它的第一元素，是它的第二元素.序对组成的集合称作和的笛卡尔积，记作..1)对任意集合.1)对任意集合.题题1.给 ，上的关 题题2.设集合为整数集，则上的小于关系具有性质 ，上关系的关系图如下图，则具有 上的关系的关系矩阵 2)设时称作上的二元关系.3)若的子集就有个，每一个子集代表一个上的二元关系，因此上有，设关系为.答案：2.设，则上最多可定 设是非空集合上的关系，的自反设是非空集合上的关系，的自反（对称或传递）闭包是上的关系，使；3)对上任何包含的自反（对称或传递）关系 一般将的自反闭包记作. 和上的关 求：的 112)设为非空集合上的等价关系，称为关于的等价类，简称为的等价类，简记 或上的特殊关系：空关系，全域关系上的特殊关系：空关系，全域关系，恒等关系则则的关系矩阵 答案：，是，是，有个顶点，在一条从到上的二元关系的关系矩阵. ，如下定义上的关系称作与模相等，即除以的余数与除以的余数相等，求等价类.称作与模相等，即除以的余数与除以的余数相等，求等价类.334)设为非空集合，若的子集族，是的子集构成的集合）则称是的一个划分.设设..4)4)设是二元关系，的逆关系，简称为的逆，记 5)设为二元关系，对，.，. 则和是的划分其他都不是的划分.因为中的子集 和有交， 中含有空集，而根本不是 这些划分与上的等价关系之间的一一对应：对应于全域关系，对应于恒等关系，和分别对应于等价关系，和，其中课时七

，则上有 设 ， 分别表示和的最大公约数和最小公倍数，则的关系矩阵. 设，为上的关系，且关系矩阵为：

，则的关 ， ， ，从到的关 .8.，，求4证：是上的等价关系.证：是上的等价关系.， ③ ，，是传递的综上，是上的等价关系.课时八二元关系在上自反在上自反在上反自反在上对称在上反对称在素全是0 置，中相应的位置都是1如果顶点到有边，到有边，则从到也有边设，则称为的最大元.，则称为的最小元.系，记作集合和上的偏序关系.，线段连接和. 无无无无无1.，上的关系 题题2.设集合为整数集，则上的小于关系具有性质 反自反的，反对称的，传递的自反的，反对称的，传递的 反自反的，对称的，传递的答案：，上关系的关系图如下图，则具有 反自反性、对称性反对称性、传递性 自反性、对称性答案： 反自反的，对称的，传递的 自反的，对称的，传递的答案：.设，则称为的极大元，则称为的极小元从以上定义可以看出，最小元与极小元是不一样的.最小元是中最小的元素，它与中其他小元可能有多个.如果中只有一个极小元则它一定是设，则称为的极大元，则称为的极小元设是非空集合上的关系，的自反（对称或传递）设是非空集合上的关系，的自反（对称或传递）闭包是上的关系，使 3)对上任何包含的自反（对称或传递）关系 和上的关系 1)1)2或.设，则称为的上界.为的最无无无无无无设，则称为的下界.设，则称为的下界.为的最②子集的上、下界不一定存在，如果存在可能多个③子集的上、下确界不一定存在，如果存在一定唯一，如下定义上的关系： 称作与模相等，即除以的余数与除以的余数相等，求等价类3)3)4)设为非空集合，若的子集族）则称是的一个划分. 设，为上的关系，其关系图如下所示，则具有

则的 设，上的二元关系关系图和关系矩阵，并判断的性质.

.列出关系求设，是上二元关系，且给 ，则的自反闭包 设集合，是集合上的二元关系，1)具有什么性质？（自反、反自反、对称、反对称、传递关系2) 1)具有什么性质？（自反、反自反、对称、反对称、传递关系2) 设是集 集合的基数是，则 则和是的划分其他都不是的划分.因为中的子集 和有交， 中含有空集，而根本不是 这些划分与上的等价关系之间的一一对应：对应于全域关系，对应于恒等关系，和分别对应于等价关系，和，其中 ，则对的元素进行划分正确的是 设，上的等价关系 ，则对应于的的划分是（ 假定是所有正整数序对构成的集合，是上的关系，定义为证明是上等价关系 的哈斯图如下图所示，则关系的的表达式 ，为上的整除关系，则为偏序关系. ，表示整除关系则 证：是上的等价关系.证：是上的等价关系.，自反.， ，对称.③ ，，是传递的综上，是上的等价关系. 11)设为二元关系，若使对于函数，并称为在的值.解：是函数，不是函数因为对应存在和满 2)设为集合，如果为函数，且，2)设为集合，如果为函数，且，，则称作从到作.3)设.a)若，则称b)若，则称c)若既是满射又是单射的，则称系，记作集合和上的偏序关系线段连接和.无无无无无44)若；；； 则 而 .题题3.函数是 ，为实数集合 为到上的实数闭区间 射 从以上定义可以看出，最小元与极小元是不一样的.最小元是中最小的元素，它与中其他小元可能有多个..设设有 ，函数 ， ；. .11和2设，：. 设设是从到的函数，则称：为函数无无无无无无①子集的上、下界和上、下确界可在集合中寻找 课时八 ，为上的关系，其关系图如下所示，则具有（

则的 ，上的二元关系关系图和关系矩阵，并判断的性质.

，是上二元关系，且给 ，则的自反闭 ，是集合上的二元关系 ，上的关 设是集 设，，以下哪一个关系是从到的一一对应函数 ，下列上的关系构成到的映射的是 设 ，则到的函数个数为（ 集合到共有个不同的函数，则中元素个数不可能是 是整数集合，定义函数： ，则函数是（ 单射非满射射 设和是定义在实数集合上的函数 ， . 若为函数， 集合的基数是，则 11)设为集合，函数设为集合，函数 2)设为上的二元运算，如果对于任意的3)设为上的二元运算，如果对于任意的4)设为上的二元运算，如果对于任意的则称该运算适合幂等律. ，则对的元素进行划分正确的是 ，上的等价关系 ，则对应于的 证明是上等价关系. 的哈斯图如下图所示，则关系的的表达式 ，为上的整除关系，则为偏序关系 ，表示整除关系 55和右零元么一个元素的逆元记 课时九11)设成立，则称对于函数，并称为在的值.解：是函数，不是函数因为对应存在和满 2)设，则称作从到的函数，记2)设，则称作从到的函数，记作3)设a)若，则称b)若，则称c)若既是满射又是单射的，则称： ，上的二元运 解：单位元是，没有零元， .单位元是，零元是，只有有逆元， ，其中是非空集合，是上的一个二元运算，如果运算是封 ，其中是非空集合，是上的一个二元运算，如运算是封闭的.运算是可结合的，即对任意的 是一个代数系统，其中是非空集合，是上一个二元运算，如运算是封闭的.（广群运算是可结合的.（半群存在幺元.（独异点4)若是从有限集到有限集的函数，则有4)若是从有限集到有限集的函数，则有， 则 而 .3.函数是 双射 既不是单射，也不是满射答案：. 答案：群独异点 是代数系统，为二元运算，如果是可结合的，的单位元为，则 题题3.设是有理数集

运算是封闭设运算是可结合该运算的幺元是于 ，，函数，；. 答案：.112设， 设设为函数 在自然数集中定义运算“”表示求两个数的最小公倍数，则该运算的幺元 设是整数集，在上定义二元运算为 ，其中“”和“”分别 集合上的代数运算的运算表如下，求关于运算 ， ..已知，是有理数集，，证 在整数集合上代数系统 ，其中右边是一课时九 ，，以下哪一个关系是从到的一一对应函数 ，下列上的关系构成到的映射的是 ，则到的函数个数为 集合到共有个不同的函数，则中元素个数不可能是 是整数集合，定义函数： ，则函数是（ 设和是定义在实数集合上的函数 ， . 若为函数， 课时十一111)一个无向图 b)是无序积2)一个有向图 345)设为的端点，，则称，则称2称为环.如果顶点不与边关联，则称若两个顶点课时十11)设为集合，函数设为集合，函数 23466)设为的端点，为的始点，为的终点，并称，则称为作.设.8)握手定理：ab题题1.已知阶无向图中有条边，各顶点的度数均为，又已 .99)设为的阶无向图题题2.一个阶有向图的度序列 设为任意阶无向简单图，则.题设为任意阶无向简单图，则.题3.一个无向图有五个结点其中个的度数 则第个结点的度数不可能 题4.下列四组数据中，能作为某个阶无向简单图的度序列的为 题4.下列四组数据中，能作为某个阶无向简单图的度序列的为 11)11)为阶无向简单图，若个顶点相邻，则称为阶.题题5.阶无向完全图的边的条 ，上的二元运算解：单位元是，没有零元，且 .单位元是，零元是，只有有逆元，. ，其中是非空集合，是上的一个二元运算，如果运算是封 ，其中是非空集合，是上的一个二元运算，如运算是封闭的.运算是可结合的，即对任意的 是一个代数系统，其中是非空集合，是上一个二元运算，如运算是封闭的.（广群运算是可结合的.（半群存在幺元.（独异点设设为无向图，称作到为分别称为，则称11)设无向图 ..若无向图是平凡图或中任何两个顶点都是连通的，则称为连通图，否则称2)设是有向图，对中任意两个结点到，若从到存在通路，则称到3)设如果图如果图任意两个结点间是相互可达的，则称c)如果图在略去有向边的方向后得到的无向图是连通的，则称题题1.已知有向 ，其中 ，则为 强连通图 单向连通图 都不是答案：. 答案：群独异点 3.设运算是封闭的设运算是可结合的该运算的幺元是对于 2.图中所示的图2.图中所示的图 为顶点与边的关联为.，为.为顶点邻接到顶点的边的条数，则称为，或简记为.课时十 在自然数集中定义运算“”表示求两个数的最小公倍数，则该运算的幺元 设是整数集，在上定义二元运算为 ，其中“”和“”分别是数的加法和乘法，则代数系统的幺元是 集合上的代数运算的运算表如下，求关于运 ， 结合律，且有幺元； 3.设为有向图设为有向图的邻接矩阵，，则的次幂为中到长度为的通路数，其 为到自身长度为的回路数，为中长度为的通路（含回路）为前面已经计算出有向图的邻接矩阵，下面给 不难看出，中到长度 的通路分别 条.到自身长度为 条，其中有复杂回路.中长度小于等于的通路有条，其中有条回路.设设称为，简记为，所以已知，是有理数集，，证明是群在整数集合上代数系统，定义： ，其中右边是一课时十一 设无向图的度数列是，则图的边数 有向图的度数列 一个无向图有四个结点，其中个的度数 ，则第个结点的度数不可能 是 ，若的邻接矩 ，则图中 条边，的出 ，的入 课时十一11)一个无向图1)一个无向图 b)是无序积2)一个有向图 3)4)5)设为的端点，，则称2称为环.如果顶点不与边关联，则称 已知无向图的邻接矩阵 ，则有 点， 点，边设图如图所示求的邻接矩阵求，并说明从到的长为的通路有多少条中长为的通路一共有多少条？有向图如图写出图的邻接矩阵、可达矩阵66为的端点，为的终点，并称，则称为81. 课时十二有向图是欧拉图当且仅当题题1.判断给定图若存在一条经过图中的每个结点恰好一次这条路称作欧拉路 题题2.无向连通图是欧拉图，当且仅当中每一个顶点的度数都 99为2. 设3.设3.则第个结点的度数不可能 答案：答案：11)设为阶无向简单图，若11)设为阶无向简单图，若个顶点相邻，则称题5.阶无向完全图的边的条 .设是阶无向简单图，若对于中任意不相邻的顶 则中存在哈密顿通路.b)设是阶无向简单图，若对于中任意不相邻的顶 则中存在哈密顿回路. 设设为无向图，称作到为，则称1)设无向图1)设无向图若无向图是平凡图或中任何两个顶点都是连通的，则称为连通图，否则称2)设是有向图，对3)设c)如果图题1.题1.已知有向图，，则为 .设是中的一条通路，中所有边的权之和称作.类似地，可以定义为回路.（无向图和有向图，当和连通（可达）时，称从到长度最短的路径，为从到的最短路径，称其长度为从到的距离，记作；当和不连通不可达）.及顶点和，其中每一条边的权为非负实数，求从到的最短路径.1.带权图如图所示，求从答案：2.图中所示的图的关联矩阵为2.图中所示的图的关联矩阵为 为顶点与边的关联为的关联矩阵，记作为的关联矩阵，记作为，或简记为.课时十二 连通无向图含有欧拉回路的充分必要条件 下列的个图中，不是欧拉图的是 用算法求下图所示带权图中到其余各顶点的最短路径设为有向图设为有向图的邻接矩阵，为中到长度为的通路数，其 为到自身长度为的回路数，为（含回路）为 不难看出，中到长度为 条.到自身长度为 条，其中有复杂回路.中长度小于等于的通路有条，其中有条回路.为的可达矩阵，记作，简记为用标号法求下图中从到其余顶点的最短路径和距离课时十一 设无向图的度数列是，则图的边数 有向图的度数列 . 单向连通图也必然是强连通的；弱连通图未必是单向连通的； 单向连通图必然是弱连通的. 是 ，若的邻接矩 ，则图中 条边，的出 ，的入 112)设是阶..3)设是阶非平凡的无向树，则中至少有两片树叶.1.无向简单图是棵树，当且仅当（ ，则有 点， 点，边求的邻接矩阵求，并说明从到的长为的通路有多少条中长为的通路一共有多少条？有向图如图2（3.设是个顶点的完全图，则从3.设是个顶点的完全图，则从中删除（）4.一棵树有两个度顶点，个度顶点和个度顶点，则度顶点数为（4.一棵树有两个度顶点，个度顶点和个度顶点，则度顶点数为（11)设，且，则称为若，则称为2)如果无向图的生成子图是树，则称是3)设无向连通带权图，是的一棵生成树，的各边权之和称为的.4)无向图有生成树当且仅当课时十二 题题2.无向连通图是欧拉图，当且仅当中每一个顶点的度数都 1. 若有向图的基图是无向树，则称这个有向图为有向树.一个顶点的入度为，其余顶（即路径中的边数）称作的层数.设为一棵非平凡的根树, ，若可达，则称为的祖先，为的后代；若邻接到（即 ，则称为的父亲，而为的儿子，若，的父亲相同，则称与是兄弟.设二叉树有片树 是的层数，在所有有片树叶，带权

或44)设 设1.下面给出的符号串集合中，构成前缀码的是（设是阶无向简单图，若对于中任意不相邻的顶 b)设是 采用采用元前缀码，求传输数字最少的元前缀码，画出最优树，并求传 长为 乘各频率为权，用算法求最 传传传 用长为的 设是中的一条通路，中所有边的权之和称作.类似地，可以定义为回路的长度，当和连通（可达）；当和不连通（不可达）1.课时十三 有个顶点 设图是有个顶点的连通图，总度数为，则从中删去 一颗无向树有片树叶，个度分支点，其余的分支都是度顶点，则有 无向图具有生成树，当且仅 .的所有生成树 图中所示为个城市间直接通信线路的预测造价，则各个城市之间能够通信的最小总造 用算法计算带权的最优叉树，并 设在通讯中这个字母，传输出现的频率分别如下课时十二 连通无向图含有欧拉回路的充分必要条件 若图有穿梭于图的每条边一次且仅一次的回路