2024届北京市第四中学高一数学第一学期期末质量跟踪监视试题含解析

2024届北京市第四中学高一数学第一学期期末质量跟踪监视试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．设命题，则为A. B.C. D.2．已知，且满足，则值A. B.C. D.3．已知函数在R上为减函数，则实数a的取值范围是（）A. B.C. D.4．下列命题中正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则5．若直线l1∥l2，且l1的倾斜角为45°，l2过点（4，6），则l2还过下列各点中的A.(1,8) B.(-2,0)C.(9,2) D.(0,-8)6．函数满足：，已知函数与的图象共有4个交点，交点坐标分别为,,,，则：A. B.C. D.7．已知函数f(x)＝(a∈R)，若函数f(x)在R上有两个零点，则a的取值范围是（）A.(－∞，－1) B.(－∞，1)C.(－1，0) D.[－1，0)8．已知命题，则p的否定为（）A. B.C. D.9．下列函数中，与函数是同一函数的是（）A. B.C. D.10．函数f(x)=在[—π，π]的图像大致为A. B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知直线,直线若，则______________12．将一个高为的圆锥沿其侧面一条母线展开，其侧面展开图是半圆，则该圆锥的底面半径为______13．若直线与垂直，则________14．已知函数的图象过原点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则______15．函数的最小值为_______16．已知函数，的值域为，则实数的取值范围为__________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数是定义域为的奇函数.（1）求实数的值；（2）若，不等式在上恒成立，求实数的取值范围；（3）若，且函数在上最小值为，求的值.18．是否存在锐角，使得：，同时成立？若存在，求出锐角的值；若不存在，说明理由.19．如图是函数的部分图像，是它与轴的两个不同交点，是之间的最高点且横坐标为，点是线段的中点.（1）求函数的解析式及上的单调增区间；（2）若时，函数的最小值为，求实数的值.20．如图所示，某居民小区内建一块直角三角形草坪，直角边米，米，扇形花坛是草坪的一部分，其半径为20米，为了便于居民平时休闲散步，该小区物业管理公司将在这块草坪内铺设两条小路和，考虑到小区整体规划，要求M、N在斜边上，O在弧上（点O异于D，E两点），，.（1）设，记，求的表达式，并求出此函数的定义域.（2）经核算，两条路每米铺设费用均为400元，如何设计的大小，使铺路的总费用最低？并求出最低总费用.21．已知函数（1）求函数的单调区间；（2）求函数图象的对称中心的坐标和对称轴方程

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解题分析】特称命题否定为全称命题，所以命题的否命题应该为，即本题的正确选项为C.2、C【解题分析】由可求得，然后将经三角变换后用表示，于是可得所求【题目详解】∵,∴,解得或∵,∴∴故选C【题目点拨】对于给值求值的问题，解答时注意将条件和所求值的式子进行适当的化简，然后合理地运用条件达到求解的目的，解题的关键进行三角恒等变换，考查变换转化能力和运算能力3、D【解题分析】根据分段函数单调性,可得关于的不等式组,解不等式组即可确定的取值范围.【题目详解】函数在R上为减函数所以满足解不等式组可得.故选:D【题目点拨】本题考查了分段函数单调性的应用,根据分段函数的单调性求参数的取值范围,属于中档题.4、C【解题分析】利用不等式性质逐一判断即可.【题目详解】选项A中，若，，则，若，，则，故错误；选项B中，取，满足，但，故错误；选项C中，若，则两边平方即得，故正确；选项D中，取，满足，但，故错误.故选：C.【题目点拨】本题考查了利用不等式性质判断大小，属于基础题.5、B【解题分析】由题意求出得方程，将四个选项逐一代入，即可验证得到答案.【题目详解】由题直线l1∥l2，且l1的倾斜角为45°，则的倾斜角为45，斜率由点斜式可得的方程为即四个选项中只有B满足方程.即l2还过点(-2,0).故选B【题目点拨】本题考查直线方程的求法，属基础题.6、C【解题分析】函数的图象和的图象都关于（0，2）对称，从而可知4个交点两两关于点（0，2）对称，即可求出的值【题目详解】因为函数满足：，所以的图象关于（0，2）对称，函数，由于函数的图象关于（0，0）对称，故的图象也关于（0，2）对称，故.故答案为C.【题目点拨】若函数满足，则函数的图象关于点对称7、D【解题分析】当x>0时，f(x)有一个零点，故当x≤0时只有一个实根，变量分离后进行计算可得答案.【题目详解】当x>0时，f(x)＝3x－1有一个零点x＝.因此当x≤0时，f(x)＝ex＋a＝0只有一个实根，∴a＝－ex(x≤0)，函数y=－ex单调递减，则－1≤a<0.故选：D【题目点拨】本题考查由函数零点个数确定参数的取值，考查指数函数的性质，属于基础题.8、D【解题分析】全称命题的否定为存在命题，利用相关定义进行判断即可【题目详解】全称命题的否定为存在命题，命题，则为.故选：D9、C【解题分析】确定定义域相同，对应法则相同即可判断【题目详解】解：定义域为，A中定义域为，定义域不同，错误；B中化简为，对应关系不同，错误；C中定义域为，化简为，正确；D中定义域为，定义域不同，错误；故选：C10、D【解题分析】先判断函数的奇偶性，得是奇函数，排除A，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案【题目详解】由，得是奇函数，其图象关于原点对称．又．故选D【题目点拨】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】由两条直线垂直，可得，解方程即可求解.详解】若，则，解得，故答案为：【题目点拨】本题考查了由两条直线互相垂直，求参数的范围，熟练掌握直线垂直的充要条件是解题的关键，考查了运算能力，属于基础题.12、1【解题分析】设该圆锥的底面半径为r，推导出母线长为2r，再由圆锥的高为，能求出该圆锥的底面半径【题目详解】设该圆锥的底面半径为r，将一个高为的圆锥沿其侧面一条母线展开，其侧面展开图是半圆，，解得，圆锥的高为，，解得故答案为1【题目点拨】本题考查圆锥的底面半径的求法，考查圆锥性质、圆等基础知识，考查运算求解能力，是基础题13、【解题分析】根据两直线垂直的等价条件列方程，解方程即可求解.【题目详解】因为直线与垂直，所以，解得：，故答案为：.14、##0.75【解题分析】根据条件求出，，再代入即可求解.【题目详解】因为的图象过原点，所以，即．又因为的图象无限接近直线，但又不与该直线相交，所以，，所以，所以故答案为：15、【解题分析】根据正弦型函数的性质求的最小值.【题目详解】由正弦型函数的性质知：，∴的最小值为.故答案为：.16、##【解题分析】由题意，可令，将原函数变为二次函数，通过配方，得到对称轴，再根据函数的定义域和值域确定实数需要满足的关系，列式即可求解.【题目详解】设，则，∵，∴必须取到，∴，又时，，，∴，∴.故答案为：三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）0（2）（3）2.【解题分析】（1）是定义域为的奇函数,由，得到的值；（2）根据得到的范围，从而得到的单调性，结合的奇偶性，得到将不等式转化为在上恒成立，通过得到的范围；（3）由得到，从而得到解析式，令，得到，动轴定区间分类讨论，根据最小值为，得到的值.【题目详解】（1）因为是定义域为的奇函数，所以，所以，所以，经检验，当时，为上的奇函数（2）由（1）知:，因为，所以，又且，所以，所以是.上的单调递减函数，又是定义域为的奇函数，所以，即在上恒成立，所以，即，所以实数的取值范围为（3）因为，所以，解得或(舍去)，所以，令，则，因为在R上为增函数，且，所以，因为在上最小值为，所以在上的最小值为，因为的对称轴为，所以当时，，解得或（舍去），当时，，解得（舍去），综上可知:.【题目点拨】本题考查根据函数奇偶性求参数的值，根据函数的性质解不等式，二次函数在上恒成立问题，根据函数的最小值求参数的范围，运用了换元的方法，属于中档题.18、存在，【解题分析】利用两角和的正切公式可得，结合可求及，求出后可得的值.【题目详解】假设存在锐角使得，同时成立.得，所以.又因为，所以.因此可以看成是方程的两个根.解该方程得.若，则.这与为锐角矛盾.所以，故，因为为锐角，所以.所以满足条件的存在，且.【题目点拨】三角方程的求解的基本方法是消元法，也可以利用三角变换公式把三角方程化简为角的三角函数的方程，求出它们的值后可得角的大小，化简三角方程时要关注三角方程的结构形式便于找到合理的三角变换方法.19、（1）（2）【解题分析】（1）由点是线段的中点，可得和的坐标，从而得最值和周期，可得和，再代入顶点坐标可得，再利用整体换元可求单调区间；（2）令得到，讨论二次函数的对称轴与区间的位置关系求最值即可.【题目详解】（1）因为为中点，，所以，，则，，又因为，则所以，由又因为，则所以令又因为则单调递增区间为.（2）因为所以令，则对称轴为①当时，即时，；②当时，即时，（舍）③当时，即时，（舍）综上可得：.【题目点拨】本题主要考查了利用三角函数的图象求解三角函数的解析式及二次函数轴动区间定的最值问题，考查了学生的分类讨论思想及计算能力，属于中档题.20、（1），；（2），.【解题分析】（1）过作的垂线交与两点，求出，即可求出的表达式，并求出此函数的定义域.（2）利用辅助角公式化简，即可得出结果.【题目详解】（1）如图，过作的垂线交与两点，则，，，，，则，，所以，，（2），，当，即时，总费用最少为.21、（1）增区