2021年黑龙江省哈尔滨市第一三○中学高三数学理联考试卷含解析

2021年黑龙江省哈尔滨市第一三○中学高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知角的终边与单位圆交于点，那么的值是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D2.（5分）一个四面体的顶点都在球面上，它们的正视图、侧视图、俯视图都是右图．图中圆内有一个以圆心为中心边长为1的正方形．则这个四面体的外接球的表面积是（）A．πB．3πC．4πD．6π参考答案：B【考点】：球的体积和表面积．【专题】：计算题；空间位置关系与距离．【分析】：由三视图可知：该四面体是正方体的一个内接正四面体．此四面体的外接球的半径为正方体的对角线长为．利用球的表面积计算公式即可得出．解：由三视图可知：该四面体是正方体的一个内接正四面体．∴此四面体的外接球的直径为正方体的对角线长为．∴此四面体的外接球的表面积为表面积为=3π．故选：B．【点评】：本题考查了三棱锥的三视图、正方体与外接球的性质、球的表面积的计算公式，考查了推理能力与空间想象能力、计算能力，属于中档题．3.下列四个命题中的真命题为（

）A.，使得

B.，总有C.，，

D.，，参考答案：D略4.某程序框图如图所示,当程序运行后，输出T的值是(A)30

(B)31

(C)55

(D)56参考答案：B5.设是定义在上以2为周期的偶函数，已知，，则函数在上()A．是增函数且

B．是增函数且

C．是减函数且

D．是减函数且参考答案：D6.等差数列的前n项和是Sn，若，，则S10的值为

A．55

B．60

C．65

D．70参考答案：C7.若，则下列不等式成立的是A. B. C. D.参考答案：A略8.下列命题中正确的是（（）A．若p∨q为真命题，则p∧q为真命题B．“a＞0，b＞0”是“+≥2”的充分必要条件C．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1或x=2”的逆否命题为“若x≠1或x≠2，则x2﹣3x+2≠0”D．命题p：?x0∈R，使得x02+x0﹣1＜0，则￢p：?x∈R，使得x2+x﹣1≥0参考答案：D【考点】命题的真假判断与应用．【分析】A根据且命题和或命题的概念判断即可；B均值定理等号成立的条件判断；C或的否定为且；D对存在命题的否定，应把存在改为任意，然后再否定结论．【解答】解：A、若p∨q为真命题，p和q至少有一个为真命题，故p∧q不一定为真命题，故错误；B、“a＞0，b＞0”要得出“+≥2”，必须a=b时，等号才成立，故不是充分必要条件，故错误；C、命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1或x=2”的逆否命题为“若x≠1且x≠2，则x2﹣3x+2≠0”，故错误；D、对存在命题的否定，应把存在改为任意，然后再否定结论，命题p：?x0∈R，使得x02+x0﹣1＜0，则￢p：?x∈R，使得x2+x﹣1≥0，故正确．故选：D．9.平面向量，的夹角为60°，=（2，0），||=1，则|+2|=(

) A． B． C． D．2参考答案：A考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据已知条件可求出，，又，从而能求出=．解答： 解：由得；所以根据已知条件可得：=．故选A．点评：考查根据向量坐标求向量长度，数量积的计算公式，以及求向量长度的方法：．10.设集合等于A.

B.

C.

D.参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知等比数列{an}的公比为正数，a2=1，，则a1的值是．参考答案：【考点】等比数列的性质．【专题】计算题；方程思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】由已知数据可得首项和公比的方程组，解方程组可得．【解答】解：由题意设等比数列{an}的公比为q，则q＞0，∵a2=1，a3?a9=2a52，∴a1q=1，a12?q10=2（a1q4）2，两式联立解得a1=，q=．故答案为：．【点评】本题考查等比数列的通项公式，求出数列的首项和公比是解决问题的关键，属基础题．12.函数在区间上取值范围为____________.参考答案：[,]13.不等式的解集为．参考答案：[-1,6]14.函数，若互不相同，且，则的取值范围是___________;参考答案：（32，35）15.设F1，F2为椭圆的左、右焦点，经过F1的直线交椭圆C于A，B两点，若△F2AB是面积为的等边三角形，则椭圆C的方程为．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题设条件知列出a，b，c的方程，结合三角形的面积，求出a，b求出椭圆的方程．【解答】解：F1，F2为椭圆的左、右焦点，经过F1的直线交椭圆C于A，B两点，若△F2AB是面积为的等边三角形，可得：，×=4，a2=b2+c2，解得a2=18，b2=12，c2=6．所求的椭圆方程为：．故答案为：．16.已知a≠0，函数，(e为自然对数的底数），若存在一条直线与曲线和均相切，则最大值是

．参考答案：e因为，，所以，，设曲线和的切点坐标分别为(，)，(，)，则，可得，代入上式可得：，构造函数，求得最小值为0，所以的最大值为e．17.已知实数x，y满足，则x2+y2的最小值是．参考答案：【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，设z=x2+y2，利用z的几何意义，即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：设z=x2+y2，则z的几何意义是区域到原点距离，由图象可知当直线x+y﹣3=0与圆相切时，此时距离最短，d=，即z=d2=故答案为：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）设函数，且（为自然对数的底数）.（1）求实数与的关系；（2）若函数在其定义域内为单调函数，求实数的取值范围；（3）设，若存在，使得成立，求实数的取值范围.参考答案：令，要使在其定义域内为单调函数，只需在内满足或恒成立.（1）当时，，.在内为单调减函数，故符合条件.……………3分（2）当时，.只需，即时，此时.在内为单调增函数，故符合条件.

…………5分（3）当时，.只需，此时.在内为单调减函数，故符合条件.综上可得,或为所求.

…………6分（3）在上是减函数，时，；时，.即.（1）当时，由（1）知，在上递减，，不合题意.8分（2）当时，由知，..由（Ⅱ）知，当时，单调递增，，不合题意.………10分（3）当时，由（Ⅱ）知在上递增，，又在在上递减，.即，.综上，的取值范围是.……12分略19.（10分）（2014?西藏一模）已知AB为半圆O的直径，AB=4，C为半圆上一点，过点C作半圆的切线CD，过点A作AD⊥CD于D，交半圆于点E，DE=1．（Ⅰ）求证：AC平分∠BAD；（Ⅱ）求BC的长．参考答案：20.（本小题满分12分）PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，根据现行国家标准GB3095–2012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米~75毫克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标。从某自然保护区2012年全年每天的PM2.5监测值数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如下表所示：PM2.5日均值（微克/立方米）[25,35](35,45](45,55](55,65](65,75](75,85]频数311113（1）从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽取3天，求恰有1天空气质量达到一级的概率；（2）从这10天的数据中任取3天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列；（3）以这10天的PM2.5日均值来估计一年的空气质量状况，则一年（按366天算）中平均有多少天的空气质量达到一级或二级。（精确到整数）参考答案：解：（Ⅰ）记“从10天的PM2.5日均监测数据中，随机抽出三天，恰有一天空气质量达到一级”为事件，

……1分.

……4分（Ⅱ）依据条件，服从超几何分布：其中，的可能值为，其分布列为：

……6分

……8分

（Ⅲ）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级或二级的概率为，一年中空气质量达到一级或二级的天数为，则~

……10分，一年中平均有256天的空气质量达到一级或二级

.…12分

略21.设数列{an}的前n项和为Sn=2n2，{bn}为等比数列，且a1=b1，b2（a2﹣a1）=b1．（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；（Ⅱ）设cn=，求数列{cn}的前n项和Tn．参考答案：【考点】数列的求和；等差数列的通项公式；数列递推式．【专题】计算题；综合题．【分析】（I）由已知利用递推公式可得an，代入分别可求数列bn的首项b1，公比q，从而可求bn（II）由（I）可得cn=（2n﹣1）?4n﹣1，利用乘“公比”错位相减求和．【解答】解：（1）：当n=1时，a1=S1=2；当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2n2﹣2（n﹣1）2=4n﹣2，故{an}的通项公式为an=4n﹣2，即{an}是a1=2，公差d=4的等差数列．设{bn}的公比为q，则b1qd=b1，d=4，∴q=．故bn=b1qn﹣1=2×，即{bn}的通项公式为bn=．（II）∵cn===（2n﹣1）4n﹣1，Tn=c1+c2+…+cnTn=1+3×41+5×42+…+（2n﹣1）4n﹣14Tn=1×4+3×42+5×43+…+（2n﹣3）4n﹣1+（2n﹣1）4n两式相减得，3Tn=﹣1﹣2（41+42+43+…+4n﹣1）+（2n﹣1）4n=∴Tn=【点评】（I）当已知条件中含有sn时，一般会用结论来求通项，一般有两种类型：①所给的sn=f（n